66中立体几何练习题.docx
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66中立体几何练习题
高一必修2立体几何练习题
1.直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系( ).
A.平行B.相交C.异面D.不能确定
解析 直线a与直线b可能平行、相交或异面.
答案 D
2.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面( ).
A.平行B.相交
C.平行或相交D.重合
解析 无数条直线可以是平行直线,此时两平面相交,否则两平面平行.
答案 C
3.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________.
解析 ∵四边形AA1B1B是平行四边形,
∴A1B1∥AB,
∴A1B1∥平面ABC,
同理,四边形B1BCC1是平行四边形,
∴B1C1∥BC,
∴B1C1∥平面ABC,而A1B1∩B1C1=B1,
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
答案 平行
4.不同直线m、n和不同平面α、β,给出下列命题:
①
⇒m∥β;②
⇒n∥β;
③
⇒m、n异面;④
⇒m∥β.
其中假命题有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析 ②中n∥β或nβ;③中m、n可以共面;④中m∥β或mβ.只有①为真命题.
答案 D
5.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下面的推理正确的个数为________.
(1)aα,bα,a∥β,b∥β⇒α∥β;
(2)α∥β,aα,bβ⇒a∥b;
(3)a∥α,α∩β=b⇒a∥b;
解析 题中三个推理都是错误的,我们可以在正方体模型中找到反例,如图所示:
(1)取AB、CD的中点E、F,则EF∥平面ADD1A1,BC∥平面ADD1A1,且BC平面ABCD,EF平面ABCD,但显然,平面ABCD与平面ADD1A1不平行.
(2)平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AB平面ABCD,B1C1平面A1B1C1D1,但AB与B1C1异面.
(3)A1C1∥平面ABCD,平面ABCD∩平面A1B1BA=AB,但A1C1与AB异面.
答案 0
6.下列命题中正确的序号是________.
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②如果直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内任意一条直线都没有公共点.
解析 借助如图所示的长方体模型,棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;A1B1所在直线
平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB平面ABCD,所以③不正确;命题④正确.
答案 ④
7.如图所示,四棱锥PABCD的底面是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
证明你的结论.
解 如题图,存在当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.
因为FM
平面AEC,CE平面AEC,所以FM∥平面AEC.
由EM=
PE=ED,得E是MD的中点,
连接BM,BD.设BD∩AC=O,则O是BD的中点,连接OE,则BM∥OE.因为BM
平面AEC,OE平面AEC,所以BM∥平面AEC.
因为FM∩BM=M,所以平面BFM∥平面AEC.
又BF平面BFM,所以BF∥平面AEC.
8.(创新拓展)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1;
(2)EG∥平面BB1D1D;
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明
(1)取BB1的中点M,连接MC1,
∵H是AA1的中点,∴MH綉A1B1綉C1D1,MB綉GF,
∴四边形HMC1D1是平行四边形,四边形MBFC1是平行四边形
∴HD1∥MC1,又MC1∥BF,
∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,
则OE綉
DC,
又D1G綉
DC,
∴OE綉D1G,
∴四边形OEGD1是平行四边形,
∴EG∥D1O.
又D1O平面BB1D1D,EG
平面BDD1B1,
∴EG∥平面BDD1B1.
(3)由
(1)知D1H∥BF,
又BD∥B1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,
BF、BD平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,
DB∩BF=B,
∴平面BDF∥平面B1D1H.
9.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点.求证:
平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
证明 ∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴BE=CF且BE∥CF,
∴四边形BEFC为平行四边形,从而EF∥BC,
又EF
平面BCF1E1,
BC平面BCF1E1,
∴EF∥平面BCF1E1,
同理,D1F∥平面BCF1E1.
又EF平面EFD1A1,
D1F平面EFD1A1,EF∩D1F=F,
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
10.(12分)已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC.
求证:
AD⊥平面SBC.
证明 ∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴SA⊥BC.
又SA∩AC=A,
∴BC⊥平面SAC,
∵AD平面SAC,
∴BC⊥AD.
又SC⊥AD,SC∩BC=C,SC平面SBC,
BC平面SBC,
∴AD⊥平面SBC.
11.(13分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.求证:
(1)直线BD1∥平面PAC;
(2)平面BDD1⊥平面PAC;
(3)直线PB1⊥平面PAC.
证明
(1)设AC∩BD=O,
连接PO,
在△BDD1中,∵P、O分别是DD1、BD的中点,
∴PO∥BD1,
又PO平面PAC,BD1
平面PAC,
∴直线BD1∥平面PAC.
(2)长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,
∴底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥DD1.
又BD∩DD1=D,BD平面BDD1,
DD1平面BDD1,∴AC⊥平面BDD1,
∵AC平面PAC,
∴平面PAC⊥平面BDD1.
(3)∵PC2=2,PB
=3,B1C2=5,
∴PC2+PB
=B1C2,△PB1C是直角三角形,
PB1⊥PC.同理PB1⊥PA,
又PA∩PC=P,PA平面PAC,
PC平面PAC,∴直线PB1⊥平面PAC.
12.(10分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(1)证明:
EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥EABC的体积V.
(1)证明 在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,
∴EF∥BC.
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC∥AD,
∴EF∥AD.
又∵AD平面PAD,EF
平面PAD,∴EF∥平面PAD.
(2)解 连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G.
则EG⊥平面ABCD,且EG=
PA.
在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,
∴AP=AB=
,EG=
.
∴S△ABC=
AB·BC=
×
×2=
,
∴VEABC=
S△ABC·EG=
×
×
=
.
13.(10分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=
a,求证:
(1)PD⊥平面ABCD;
(2)平面PAC⊥平面PBD;
(3)∠PCD为二面角PBCD的平面角.
证明
(1)∵PD=a,DC=a,PC=
a,
∴PC2=PD2+DC2,
∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD,
又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由
(1)知,PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,而四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,
∴AC⊥平面PDB.同时AC平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由
(1)知PD⊥BC,
又BC⊥DC,
∴BC⊥平面PDC,
又∵PC平面PDC,
∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角PBCD的平面角.
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下结论:
①AB⊥平面BCC1B1;②AC⊥平面CDD1C1;③AC⊥平面BDD1B1.
其中正确的序号是________.
解析 结合图形,利用线面垂直的判定定理进行判断.
答案 ①③
15.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于平面α内两条相交直线,则l⊥α;
②若l∥α,则l平行于α内所有直线;
③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;
④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;
⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l.
其中正确命题的序号是________.
解析 利用线面、面面关系的判定及性质求解.
①④是线面垂直、面面垂直的判定定理,故均正确.l∥α,则l与α内的直线可能平行,也可能异面,故②不正确;两个平面平行时,分别在两平面内也可以有相互垂直的直线,故③不正确;两个平面平行,两个平面内的直线有可能是异面直线,故⑤不正确.
答案 ①④
16.已知m、n是两条不同直线,α、β、γ是三个不同平面,下面命题正确的是( ).
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β
解析 A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交.∴A不正确;
C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面.∴C不正确;
D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交.∴D不正确.
故选B.
答案 B
17.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为( ).
①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;
④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
A.1B.2C.3D.0
解析 由线面垂直的性质知①④正确.②中b可能满足bα,故②错误.③中b能与α相交(不垂直),也可能平行,故③不正确.
答案 B
18.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( ).
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.
答案 D
19.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( ).
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
解析 取BD中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
∴BD⊥面AOC,BD⊥AC,
又BD、AC异面,
∴选C.
答案 C
20.关于直线m、n与平面α、β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;④若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n.其中正确命题的序号为( ).
A.①②B.③④C.①④D.②③
解析 对于①,m、n可以平行、相交,也可以异面,故①不正确;对于②,由α⊥β可知在α内存在直线a⊥β,因为n⊥β,所以a∥n.又因为m⊥α,所以m⊥a,所以n⊥m,故②正确;对于③,由n∥β可知在β内存在直线a∥n,因为α∥β且m⊥α,所以m⊥β,所以m⊥a,所以m⊥n.故③正确;对于④,m有可能垂直于n,故④不正确.
答案 D
21.四棱锥PABCD,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=AD,四边形ABCD是正方形,E是PD的中点,则AE与PC的位置关系为________.
解析 由CD⊥AE,AE⊥PD.
则AE⊥平面PCD,∴AE⊥PC.
答案 垂直
22.如图所示,α⊥β,CDβ,CD⊥AB,ECα,EFα,∠FEC=90°.
求证:
平面FED⊥平面DCE.
证明 ∵α⊥β,CD⊥AB,α∩β=AB,
∴CD⊥α.
又∵EFα,∴CD⊥EF.
又∵FEC=90°,∴EF⊥EC.
又∵EC∩CD=C,
∴EF⊥平面DCE.
又∵EF平面EFD,
∴平面EFD⊥平面DCE.
23.如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,再过点A作AE⊥SB交SB于点E.过点E作EF⊥SC交SC于点F.
(1)求证:
AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于点G,求证:
AG⊥SD.
证明
(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,
∴SA⊥BC.
∵ABCD为矩形,
∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB,
∴BC⊥AE.又SB⊥AE,
∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SC.又EF⊥SC,
∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,
又AD⊥DC,
∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
由
(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,
∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.
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