上海市交大附中学年高一下学期期末数学试题.docx

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上海市交大附中学年高一下学期期末数学试题

上海市交大附中【最新】高一下学期期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、填空题

1．已知a，b为常数，若，则______；

2．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；

3．已知，且为第三象限角，则的值等于______；

4．将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为______；

5．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；

6．已知数列满足：

（），设的前项和为，则______；

7．方程，的解集是__________．

8．将正整数按下图方式排列，2019出现在第行第列，则______；

1

234

56789

10111213141516

………

9．已知，若对任意，均有，则的最小值为______；

10．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；

11．如图中，，，，M为AB边上的动点，，D为垂足，则的最小值为______；

12．设，数列满足，，将数列的前100项从大到小排列得到数列，若，则k的值为______；

二、单选题

13．设，则“”是“”的（）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

14．若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列也是等比数列.若数列是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（）.

A．是等差数列

B．是等差数列

C．是等差数列

D．是等差数列

15．下列四个函数中，与函数完全相同的是（）

A．B．

C．D．

16．设，，在，，…，中，正数的个数是（）

A．15B．16C．18D．20

三、解答题

17．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．

18．已知数列满足：

．

（1）若为等差数列，求的通项公式；

（2）若单调递增，求的取值范围；

19．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.

（1）求的值及函数的值域；

（2）若，且，求的值.

20．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．

（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；

（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；

21．设数列的前n项和为，满足，，．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，求数列的通项公式；

参考答案

1．2

【解析】

【分析】

根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.

【详解】

因为，所以，

又因为，所以，

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.

2．9

【分析】

分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.

【详解】

因为，所以时，，时，，

又因为在上递增，在也是递增的，

所以，又因为对任意正整数都有，所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.

3．

【分析】

根据条件以及诱导公式计算出的值，再由的范围计算出的值，最后根据商式关系：

求得的值.

【详解】

因为，所以，

又因为且为第三象限角，所以，

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查三角函数中的给值求值问题，中间涉及到诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.三角函数中的求值问题，一定要注意角的范围，避免出现多解.

4．

【分析】

将设为，考虑即为，两式相减构造方程即可求解出的值，即可得到对应的最简分数.

【详解】

设，则，

由可知，解得.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查将无限循环小数化为最简分数，主要采用方程的思想去计算，难度较易.

5．

【分析】

先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.

【详解】

因为，所以，所以，

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.

三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.

6．130

【分析】

先利用递推公式计算出的通项公式，然后利用错位相减法可求得的表达式，即可完成的求解.

【详解】

因为，所以，

所以，所以，

又因为，不符合时的通项公式，所以，

当时，，所以，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查根据数列的递推公式求通项公式以及错位相减法的使用，难度一般.利用递推公式求解数列的通项公式时，若出现了的形式，一定要注意标注，同时要验证是否满足的情况，这决定了通项公式是否需要分段去写.

7．

【分析】

用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.

【详解】

解：

即,

即：

或.

①由,,得.

②由,,得或.

综上可得方程,的解集是：

故答案为

【点睛】

本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.

8．128

【分析】

观察数阵可知：

前行一共有个数，且第行的最后一个数为，且第行有个数，由此可推断出所在的位置.

【详解】

因为前行一共有个数，且第行的最后一个数为，

又因为，

所以在第行，

且第45行最后数为，

又因为第行有个数，，

所以在第列，

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：

观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用.

9．

【分析】

根据对任意，均有，分析得到，

再根据正弦型函数的最值公式求解出的最小值.

【详解】

因为对任意，均有，所以，

所以，

所以，所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查正弦型函数的应用，难度一般.正弦型函数的最值一定是在对称轴的位置取到，因此正弦型函数取最大值与最小值时对应的自变量的差的绝对值最小为，此时最大值与最小值对应的对称轴相邻.

10．36

【分析】

根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.

【详解】

因为，所以或，

当时，是等差数列，，所以；

当时，是等比数列，，所以，

所以的所有可能值之和为：

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足（为常数），则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.

11．

【分析】

以为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出的值，然后利用换元法求解出对应的最小值即可.

【详解】

如图所示，设，所以，

根据条件可知：

，所以，

设，，，

所以，所以，

所以，

所以当时，有最小值，最小值为.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题

（1）利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；

（2）三角函数中的一组“万能公式”：

，.

12．

【分析】

根据递推公式利用数学归纳法分析出与的关系，然后考虑将的前项按要求排列，再根据项的序号计算出满足的值即可.

【详解】

由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函数y＝ax单调递减；

∵

∴1>a2＞a1

∴，

∴a2＞a3＞a1

∵，且

∴a2＞a4＞a3＞a1

……

当为奇数时，用数学归纳法证明，

当时，成立，

设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以即，所以时成立，

所以为奇数时，；

当为偶数时，用数学归纳法证明，

当时，成立，设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以即，所以时成立，

所以为偶数时，；

用数学归纳法证明：

任意偶数项大于相邻的奇数项即证：

当为奇数，，

当时，符合，设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以，所以，所以时成立，

所以当为奇数时，，

据此可知：

，

当时，若，则有，此时无解；

当时，此时的下标成首项为公差为的等差数列，通项即为，

若，所以，所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查数列与函数的综合应用，难度较难.

（1）分析数列的单调性时，要注意到数列作为特殊的函数，其定义域为；

（2）证明数列的单调性可从与的关系入手分析.

13．C

【分析】

首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.

【详解】

由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分条件

故选：

C

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.

14．B

【解析】

试题分析：

本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：

由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列.

考点：

类比推理.

15．C

【分析】

先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与相同的函数.

【详解】

的定义域为，

A.，因为，所以，

定义域为或，与定义域不相同；

B.，因为，所以，

所以定义域为，与定义域不相同；

C.，因为，所以定义域为，

又因为，所以与相同；

D.，因为，所以，定义域为，

与定义域不相同.

故选：

C.

【点睛】

本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.

16．D

【分析】

根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析的正负，再由的正负即可确定出，，…，中正数的个数.

【详解】

当时，，当时，，

因为，

所以，

因为，，所以取等号时，所以均为正，

又因为，所以均为正，

所以正数的个数是：

.

故选：

D.

【点睛】

本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.

对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.

17．：

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1），再由=a1Sk+2，求得正整数k的值．

解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．

∴{an}的通项公式an=2+（n﹣1）2=2n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1）．

∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1Sk+2，

∴4k2=2（k+2）（k+3），k="6"或k=﹣1（舍去），故k=6．

考点：

等比数列的性质；等差数列的通项公式．

18．

（1）

（2）

【分析】

（1）设出的通项公式，根据计算出对应的首项和公差，即可求解出通项公式；

（2）根据条件得到，得到的奇数项成等差数列，的偶数项也成等差数列，根据单调递增列出关于的不等式，求解出范围即可.

【详解】

（1