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小学奥数知识点分类
小学奥数知识点分类
第一部分计算能力
(万丈高楼平地起,计算能力任何时候都是学好数学的根基,必须高度重视!
)
基本公式
1.运算顺序
第一级:
括号:
()→[]→{}
第二级:
×÷:
同一级别可以交换运算次序
第三级:
+-:
同一级别可以交换运算次序
2.去括号
①a+(b+c)=a+b+ca+(b-c)=a+b-c
②a-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c
③a×(b×c)=a×b×ca×(b÷c)=a×b÷c
④a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c
3.分配律/结合律
乘法:
a×(b+c)=a×b+a×ca×b+a×c=a×(b+c)
除法:
(a+b)÷c=a÷c+b÷ca÷c+b÷c=(a+b)÷c
4.两个必须掌握的性质两个数的和一定,则两数越相近,积越大两个数的积一定,则两数越分散,和越大
5.几个计算公式
完全平方和(差)公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2
平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
求和公式一:
1+2+3+……+n=
求和公式二:
12+22+32+……n2=
求和公式三:
13+23+33+……n3=
6.速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法
7.等差数列,
等比数列,
【拆分与裂项】,【换元法】,【错位相消法】,【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式:
等差数列公式:
简单等比公式:
例题分析
1.393+404+397+398+405+401+400+399+391+402
2.比较下面A,B两数的大小:
A=2009×2009,B=2008×2010
3.结果末尾有多少个零?
4.100+99+98-97-96-95+……+10+9+8-7-6-5+4+3+2-1
巩固练习
5.376+385+391+380+377+389+383+374+366+378
6.1÷50+2÷50+3÷50+……50÷50
7.9999999×20097777×3333÷1111
8.
9.比较下面A,B两数的大小:
A=987654321×123456789;B=987654322×123456788
10.1996+1994-1992-1990+1988+1986-1984-1982+1980+1978-1976-1974+1972+1970……+4+2
第二部分基础知识
A归一问题
【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数=1份数量
1份数量×所占份数=所求几份的数量另一总量÷(总量÷份数)=所求份数
【解题思路】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。
【例题】买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?
解:
(1)买1支铅笔多少钱?
0.6÷5=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?
0.12×16=1.92(元)
列成综合算式:
0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)答:
需要1.92元。
11.3台拖拉机3天耕地90公顷,5台拖拉机6天耕地多少公顷?
12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105
吨钢材,需要运几次?
A归总问题
【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数=总量
总量÷1份数量=份数
总量÷另一份数=另一每份数量
【解题思路】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?
解:
(1)这批布总共有多少米?
3.2×791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?
2531.2÷2.8=904(套)
列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套)
答:
现在可以做904套。
13.小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?
14.食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?
A和差问题
【含义】已知两个数量的和与差,求两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。
【数量关系】大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?
解:
甲班人数=(98+6)÷2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷2=46(人)
答:
甲班有52人,乙班有46人。
15.长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积?
16.有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。
17.甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?
A和倍问题
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数×几倍=较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?
解:
(1)杏树有多少棵?
248÷(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?
62×3=186(棵)
答:
杏树有62棵,桃树有186棵。
18.东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?
19.甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
20.甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?
A差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差÷(几倍-1)=较小的数
较小的数×几倍=较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。
求杏树、桃树各多少棵?
解:
(1)杏树有多少棵?
124÷(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?
62×3=186(棵)
答:
果园里杏树是62棵,桃树是186棵。
21.爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?
22.商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,这两个月盈利各是多少万元?
23.粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是10吨,多少天后,玉米是小麦的12倍?
A植树问题基本类型及公式:
①在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都植树。
基本公式:
棵树=段数+1;棵距(段长)×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树。
基本公式:
棵树=段数-1;棵距(段长)×段数=总长
③在封闭曲线上植树:
基本公式:
棵树=段数;棵距(段长)×段数=总长
关键问题:
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系。
【例题】一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,共栽多少棵垂柳?
解:
136÷2+1=68+1=69(棵)
答:
一共要栽69棵垂柳。
24.一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树?
25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条,分别领取1.6米,2米,1.2米长的钢条,要求都按0.4米规格锯开,劳动结束后,甲乙丙分别锯了24段,25段,27段,谁锯钢条的速度最快?
26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?
可栽夹枝桃多少株?
两株夹枝桃之间相距多少米?
27.一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?
A年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?
明年呢?
解:
35÷5=7(倍)(35+1)÷(5+1)=6(倍)
答:
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
28.母亲今年37岁,女儿7岁,几年后母亲年龄是女儿的4倍?
29.3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁?
30.甲对乙说:
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。
乙对甲说:
“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。
求甲乙现在的岁数各是多少?
A盈亏问题
【含义】根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差
如果两次都盈或都亏,则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。
问有多少小朋友?
有多少个苹果?
解:
按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:
(1)有小朋友多少人?
(11+1)÷(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?
3×12+11=47(个)
答:
有小朋友12人,有47个苹果。
31.修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。
这条路全长多少米?
32.学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45
人,就刚好坐完。
问有多少车?
多少人?
A周期问题
在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现。
如:
人调查十二生肖:
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪;一年有春夏秋冬四个季节;一个星期有七天等。
像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,如果正好有个整数周期,结果为周期里的最后一个;如果不是从第一个开始循环,利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果。
周期现象:
事物在变化过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
闰年:
四年一闰,百年不闰,四百年再闰;月份:
1、3、5、7、8、10、12月大。
解答周期问题的关键:
①找出周期T,②考察余数,注意周期的首尾两数。
【例1】元旦是星期日,那么同年的国庆节是星期几?
【解】平年元旦到国庆节共有的天数:
31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274;
循环的周期和余数:
274÷7=39…1;平年的国庆节是星期日;
[整周期的第一个数]闰年元旦到国庆节共有的天数:
274+1=275;
循环的周期和余数:
275÷7=39…2;闰年的国庆节是星期一;[整周期的第二个数]
【例2】甲、乙、丙三名学生,每天早晨轮流为李奶奶取牛奶,甲第一次取奶是星期一,那么他第100次取奶是星期。
【解】21天内,每人取奶7次,甲第8次取奶又是星期一,即每取7次奶为一个周期100÷7=14……2,所以甲第100次取奶是星期二。
基础务实
33.1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期几?
34.《小学生数学报》每周星期五出版一期,1994年10月份第1期是10月7日出版的,1995年1月份第1期应在1月几日出版?
35.果园里要种100棵果树,要求每六棵为一组。
第一棵种苹果树,第二、三棵种梨树,后面三棵,即第四、第五、第六棵种桃树。
那么,最后一棵应种什么树?
在这100棵树中,有苹果树、梨树、桃树各多少棵?
36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯。
那么第73盏灯是什么颜色的灯?
37.小明把节省下来的硬币先按四个1分,再按三个2分,最后按两个5分这样的顺序往下排。
那么,他排的第111个是几分硬币,这111个硬币共多少元?
38.如果时钟现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是几点钟?
39.某年的10月里有5个星期六,4个星期日。
问:
这年的10月1日是星期几?
40.学校一学期共安排86节数学课,单周一、三、五每天两节,双周二、四每天两节。
开学第一周星期一开学典礼没上课,从星期三开始上,则最后一节数学课是星期几上的?
41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五,1993年1月4日是星期几?
42.有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和,那么在这串数中,第1991个数被3除,所得的余数是多少?
A鸡兔同笼
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设,再置换,使问题得到解决。
【例题】长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?
解:
假设35只全为兔,则
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡,则
兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)鸡数=35-12=23(只)
答:
有鸡23只,有兔12只。
43.2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?
44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。
问作业本和日记本各买了多少本?
45.(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
46.有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?
A方阵问题
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×每边人数
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
【例题】在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?
解:
22×22=484(人)答:
参加体操表演的同学一共有484人。
47.有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。
48.有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?
49.一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?
A抽屉原理
【含义】把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?
要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。
这两种情况可用一句话表示:
一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。
这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉原则是:
如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。
抽屉原则可以推广为:
如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+1)个或更多的元素。
通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。
【解题思路】
(1)改造抽屉,指出元素;
(2)把元素放入(或取出)抽屉;
(3)说明理由,得出结论。
【例题】育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同一天的?
解:
由于1999年是润年,全年共有366天,可以看作366个“抽屉”,把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。
367个“元素”放进366个“抽屉”中,至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
50.有一四种颜色的小旗,任意取出三个排成一排,表示各种信号,在200个信号中至少有多少个信号相同?
51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种,每位获奖者可任选其中两种奖品。
问至少应有多少名获奖的同学,才能保证其中必有4名同学得到的奖品完全相同?
52.一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。
其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个。
某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同?
A容斥原理
公式法:
直接应用包含与排除的概念和公式进行求解
容斥原理一:
C=A+B-AB,利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二:
D=A+B+C-AB-AC-BC+ABC利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。
图像法:
不是利用容斥原理的公式计算,而是画图,借助图形帮助分析,
68.邮递员从邮局出发送信,走过如图的所有道路后再回到邮局。
图中各横道、竖道之间的道路都是平行的,邮递员要走遍所有的邮路至少要走千米。
A加法乘法原理
X加法原理
如果完成一件任务有n类方法,在一类方法中有m1种不同的方法,在第二个元素进行排列,方法有Pr。
由乘法原理可得Pr=Cr×Pr,所以类方法中有m2种不同的方法……,在第n类方法中有mn种不同的方法,则完成这件任务共有:
m1+m2+m3+……+mn种不同的方法。
X乘法原理
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪一种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
69.下图中的“我爱希望杯”有种不同的读法。
70.如图,把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色。
那么,这幅图一共有多少种不同的着色方法。
71.从l、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数,能组成多少不同的真分数?
A排列与组合
X排列:
一般地,从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复排列的方法数叫排列数,
记为Pr?
,Pr=n(n-1)(n-1)…(n-r+1)。
72.某铁路线共有14个车站,该铁路共需要多少种不同的车
73.有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同
信号,一共可以组成多少种不同信号?
74.一个篮球队,五名队员A、B、C、D、E,在于某种原因,C不能做中锋.而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上,共有多少种不同的站位方法?
75.七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法:
(1)七个人排成一排;
(2)7个人排成一排,某人必须站在中间;
(3)个人排成一排,某两人必须有一人站在中间;
(4)七个人排成一排,某两人必须站在两头;
(5)七个人排成一排,某两人不能站在两头;
(6)七个人排成两排,前排三人,后排四人;
(7)七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排。
X组合:
一般的,从n个不同元素中任取r个不同元素,不考虑取出元素的顺序并成一组,这类任务叫做从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复组合。
组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位置或顺序。
符号Cr表示从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复组合数。
利用排列数Pr可以给出Cr的计算方法。
我们把任务“从n个不同元素中选出r个不同的元
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