通用版高考数学一轮复习210对数函数讲义文.docx
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通用版高考数学一轮复习210对数函数讲义文
第十节对数函数
一、基础知识批注——理解深一点
1.对数函数的概念
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
y=logax的3个特征
(1)底数a>0,且a≠1;
(2)自变量x>0;
(3)函数值域为R.
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0 图象 性质 定义域: (0,+∞) 值域: R 图象过定点(1,0),即恒有loga1=0 当x>1时,恒有y>0; 当0 当x>1时,恒有y<0; 当0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 二、常用结论汇总——规律多一点 对数函数图象的特点 (1)对数函数的图象恒过点(1,0),(a,1),,依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y=logax与y=logx(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)当a>1时,对数函数的图象呈上升趋势;当0 三、基础小题强化——功底牢一点 (1)函数y=log2(x+1)是对数函数.( ) (2)当x>1时,logax>0.( ) (3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( ) (4)若logam 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)× (二)选一选 1.已知a>0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( ) 解析: 选B 函数y=loga(-x)的图象与y=logax的图象关于y轴对称,符合条件的只有B. 2.函数y=lg|x|( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 解析: 选B y=lg|x|是偶函数,由图象知在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 3.设a=log23,b=log 3,c=3-2,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>bD.c>b>a 解析: 选C 因为a=log23>1,b=log 3<0,c=3-2=>0,但c<1,所以b<c<a. (三)填一填 4.函数y=的定义域为________. 解析: 要使函数有意义,须满足 解得 答案: 5.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是________. 解析: 当x=2时,函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值为2,所以图象恒过定点(2,2). 答案: (2,2) [典例] (1)函数y=lg|x-1|的图象是( ) (2)已知当0 [解析] (1)因为y=lg|x-1|= 当x=1时,函数无意义,故排除B、D. 又当x=2或0时,y=0,所以A项符合题意. (2)若 由图象知 所以 解得 即实数a的取值范围是. [答案] (1)A (2) [变透练清] 1.若本例 (1)函数变为f(x)=2log4(1-x),则函数f(x)的大致图象是( ) 解析: 选C 函数f(x)=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A、B;函数f(x)=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C. 2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________. 解析: 问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1. 答案: (1,+∞) 3.若本例 (2)变为不等式x2 解: 设f1(x)=x2,f2(x)=logax,要使x∈时,不等式x2 =x2在上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可.当a>1时,显然不成立; 当0 要使x2 所以有2≤loga,解得a≥,所以≤a<1. 即实数a的取值范围是. [解题技法] 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. [口诀归纳] 指对函数反函数,图象夹着对称轴; 图象均有渐进线,牢记轴上特殊点. 考法 (一) 比较对数值的大小 [典例] (2018·天津高考)已知a=log2e,b=ln2,c=log ,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>aD.c>a>b [解析] 因为c=log =log23>log2e=a, 所以c>a. 因为b=ln2=<1<log2e=a,所以a>b. 所以c>a>b. [答案] D [解题技法] 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 考法 (二) 解简单对数不等式 [典例] 已知不等式logx(2x2+1) [解析] 原不等式⇔①或②,解不等式组①得 [答案] [解题技法] 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论 logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解 [提醒] 注意对数式的真数大于零,且不等于1. 考法(三) 对数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3),若f (1)=1,求f(x)的单调区间. [解] 因为f (1)=1,所以log4(a+5)=1, 因此a+5=4,a=-1, 这时f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,得-1 函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3, 则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). [解题技法] 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域,所有问题都必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与1的关系,分a>1与0<a<1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 [题组训练] 1.已知a=2 ,b=log2,c=log ,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>cB.a>c>b C.c>a>bD.c>b>a 解析: 选C 0 <20=1,b=log2 =log23>1,∴c>a>b. 2.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则实数a的取值范围是( ) A.B. C.D.(0,+∞) 解析: 选A ∵-1 3.已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是________. 解析: 要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即解得a>. 答案: A级——保大分专练 1.函数y=的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.D. 解析: 选C 由 即解得x≥. 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f (2)=1,则f(x)=( ) A.log2xB. C.log xD.2x-2 解析: 选A 由题意知f(x)=logax(a>0,且a≠1). ∵f (2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x. 3.如果log x y<0,那么( ) A.y C.1 解析: 选D ∵log x y 1,∴x>y>1. 4.(2019·海南三市联考)函数f(x)=|loga(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是( ) 解析: 选C 函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x,均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C. 5.(2018·惠州调研)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则a,b,c的大小关系为( ) A.b>c>aB.b>a>c C.c>a>bD.a>b>c 解析: 选D 依题意,得a>1,01,得c<0,故a>b>c. 6.设函数f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f (2)的大小关系是( ) A.f(a+1)>f (2)B.f(a+1) (2) C.f(a+1)=f (2)D.不能确定 解析: 选A 由已知得0f (2). 7.已知a>0,且a≠1,函数y=loga(2x-3)+的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上,则f(x)=________. 解析: 设幂函数为f(x)=xα,因为函数y=loga(2x-3)+的图象恒过点P(2,),则2α=,所以α=,故幂函数为f(x)=x . 答案: x 8.已知函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则logba=________. 解析: f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1). 则f(-1)=loga(-1+b)=0, 且f(0)=loga(0+b)=1, 所以即所以logba=1. 答案: 1 9.(2019·武汉调研)函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是________. 解析: 由函数f(x)=loga(x2-4x-5),得x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.令m(x)=x2-4x-5,则m(x)=(x-2)2-9,m(x)在[2,+∞)上单调递增,又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞). 答案: (5,+∞) 10.设函数f(x)= 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________________. 解析: 由f(a)>f(-a)得 或 即或 解得a>1或-1<a<0. 答案: (-1,0)∪(1,+∞) 11.求函数f(x)=log2·log(2x)的最小值. 解: 显然x>0,∴f(x)=log2·log(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=2-≥-,当且仅当x=时,有f(x)min=-. 12.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f (1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间上的最大值. 解: (1)∵f (1)=2,∴loga4=2(a>0,且a≠1),∴a=2. 由得-1<x<3, ∴函数f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4], ∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 故函数f(x)在上的最大值是f (1)=log24=2. B级——创高分自选 1.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)满足f>f,则f>0的解集为( ) A.(0,1)B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(0,+∞) 解析: 选C 因为函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为单调函数,而<且f>f,所以f(x)=logax在(0,+∞)上单调递减,即00,得0<1-<1,所以x>1,故选C. 2.若函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为________. 解析: 令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数, 又M=2-, 因此M的单调递增区间为. 又x2+x>0,所以x>0或x<-, 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 答案: (0,+∞) 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=0,当x>0时,f(x)=log x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解不等式f(x2-1)>-2. 解: (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=log (-x). 因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(-x)=log (-x), 所以函数f(x)的解析式为f(x)= (2)因为f(4)=log 4=-2,f(x)是偶函数, 所以不等式f(x2-1)>-2转化为f(|x2-1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x2-1|<4,解得- 即不等式的解集为(-,).
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