胡不归+阿氏圆练习.docx
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胡不归+阿氏圆练习
胡不归问题
一.填空题(共1小题)
1.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且
tan∠EBA=4,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是
s.
二.解答题(共7小题)
2.如图,已知抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若∠DBA=30︒,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
3.如图,抛物线y=1x2+mx+n与直线y=-1x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两
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点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠BAC的值;
(3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以
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每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,
当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
4.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0 (1)求a的值和直线AB的函数表达式; (2)设∆PMN的周长为C,∆AEN的周长为C,若C1=6,求m的值; C 5 12 2 (3)如图2,在 (2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为α(0︒<α<90︒), 连接E'A、E'B,求E'A+2E'B的最小值. 3 5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,- 3), C(2,0),其对称轴与x轴交于点D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标; (2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则1PB+PD的最小值为; 2 (3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点 ①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个; ②连接MA,MB,若∠AMB不小于60︒,求t的取值范围. 6.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE 上. (1)试说明CE是O的切线; (2)若∆ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O的直径AB; (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当1CD+OD的最小值为6时, 2 求O的直径AB的长. 7.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE 上. (1)证明: CE是O的切线; (2)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当AB=8时,求1CD+OD的 2 最小值. 8.如图,已知抛物线y=k(x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B 8 两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=- 3x+b与抛物线的另一交点为D. 3 (1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与∆ABC相似,求k的值; (3)在 (1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 胡不归问题 参考答案与试题解析 一.填空题(共1小题) 1.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且 tan∠EBA=4,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处, 3 再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是64 9 s. 【解答】解: 过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图, EH//AB, ∴∠HEB=∠ABE, ∴tan∠HED=tan∠EBA=DH=4, EH3 设DH=4m,EH=3m,则DE=5m, ∴蚂蚁从D爬到E点的时间= 5x1.25 =4(s) 若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m=4(s), 1 ∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等, ∴蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位 /s速度爬到H点的时间, 作AG⊥EH于G,则AD+DHAHAG, ∴AD+DH的最小值为AQ的长, 当y=0时,x2-2x-3=0,解得x=-1,x=3,则A(-1,0),B(3,0), 12 直线BE交y轴于C点,如图, 在Rt∆OBC中,tan∠CBO=CO=4, OB3 ∴OC=4,则C(0,4), 设直线BE的解析式为y=kx+b, ⎧3k+b=0 ⎧k=-4 把B(3,0),C(0,4)代入得⎨ ⎩b=4 ,解得⎪3, ⎪⎩b=4 ⎨ ∴直线BE的解析式为y=-4x+4, 3 ⎧y=x2-2x-3 ⎧x=-7 解方程组⎪ 得⎧x=3或⎪ 3,则E点坐标为(-7,64), ⎪ ⎨y=-4x+4⎨y=0⎨6439 ⎪⎩3 ∴AQ=64, 9 ⎩⎪y= ⎩9 64 ∴蚂蚁从A爬到G点的时间=9=64(s), 19 即蚂蚁从A到E的最短时间为64s. 9 故答案为64. 9 二.解答题(共7小题) 2.如图,已知抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若∠DBA=30︒,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 【解答】解: (1)抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、 B两点, 令y=0,解得x=-1或x=2,则A(-1,0),B(2,0), OA=OC, ∴C(0,-1), 点C(0,-1)在抛物线y=m(x+1)(x-2)上, ∴m⨯(0+1)⨯(0-2)=-1, 解得m=1. 2 ∴抛物线的函数表达式为: y=1(x+1)(x-2); 2 (2)∠DBA=30︒, ∴设直线BD的解析式为y=- 3x+b, 3 B(2,0), ∴0=-3⨯2+b,解得b=23, 3 故直线BD的解析式为y=- 3 ⎧ y=- 3 3x+23, 33 23 x+ ⎪⎪ 联立两解析式可得⎨ 33, ⎪y=1(x+1)(x-2) ⎪2 ⎧23+3 x=- ⎧x=2⎪⎪3 ⎪ 解得⎨y=0,⎨+3. 23 ⎩⎪y= ⎩3 则D(-23+3,23+3), 33 如图,过点D作DN⊥x轴于点N,过点D作DK//x轴,则∠KDF=∠DBA=30︒. 过点F作FG⊥DK于点G,则FG=1DF. 2 由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间: t=AF+1DF, 2 ∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值. 由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求的F 点. A点横坐标为-1,直线BD解析式为: y=- 3x+23, 33 ∴y=- 3⨯(-1)+23=, 3 33 ∴F(-1,3). 综上所述,当点F坐标为(-1,3)时,点M在整个运动过程中用时最少. 3.如图,抛物线y=1x2+mx+n与直线y=-1x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两 22 点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)求tan∠BAC的值; (3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以 2 每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止, 当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少? 【解答】解: (Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=1x2+mx+n,得 2 ⎪2 ⎧1⨯9+3m+n=0 ⎨. ⎪⎩n=3 ⎨ ⎧m=-5 解得⎪2. ⎪⎩n=3 ∴抛物线的解析式为y=1x2-5x+3. 22 ⎨ ⎧y=-1x+3 (2)联立⎪ ⎪ ⎪y= ⎩ 2 1x2-5 22 , x+3 解得: ⎧x=0(不符合题意,舍),⎧x=4, ⎩ ⎩ ⎨y=3⎨y=1 ∴点B的坐标为(4,1). 过点B作BH⊥x轴于H,如图 . C(3,0),B(4,1), ∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4-3=1, ∴BH=CH=1. ∠BHC=90︒, 2 ∴∠BCH=45︒,BC=. 2 同理: ∠ACO=45︒,AC=3, ∴∠ACB=180︒-45︒-45︒=90︒, 2 32 ∴tan∠BAC=BC==1; AC3 (3)过点E作EN⊥y轴于N,如图 . 在Rt∆ANE中,EN=AEsin45︒=2AE,即AE= 2 2EN, 2 ∴点M在整个运动中所用的时间为DE+EA=DE+EN. 1 作点D关于AC的对称点D',连接D'E, 则有D'E=DE,D'C=DC,∠D'CA=∠DCA=45︒, ∴∠D'CD=90︒,DE+EN=D'E+EN. 根据两点之间线段最短可得: 当D'、E、N三点共线时,DE+EN=D'E+EN最小.此时,∠D'CD=∠D'NO=∠NOC=90︒, ∴四边形OCD'N是矩形, ∴ND'=OC=3,ON=D'C=DC. 对于y=1x2-5x+3,当y=0时,有1x2-5x+3=0, 2222 解得: x1=2,x2=3. ∴D(2,0),OD=2, ∴ON=DC=OC-OD=3-2=1, ∴NE=AN=AO-ON=3-1=2, ∴点E的坐标为(2,1). 4.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0 (1)求a的值和直线AB的函数表达式; (2)设∆PMN的周长为C,∆AEN的周长为C,若C1=6,求m的值; C 5 12 2 (3)如图2,在 (2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为α(0︒<α<90︒), 连接E'A、E'B,求E'A+2E'B的最小值. 3 【解答】解: (1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0, ∴(x+1)(ax+3)=0, ∴x=-1或-3, a 抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0), ∴-3=4, a ∴a=-3. 4 A(4,0),B(0,3), ⎨4k+b=0 设直线AB解析式为y=kx+b,则⎧b=3, ⎩ ⎨ ⎧k=-3 解得⎪4, ⎪⎩b=3 ∴直线AB解析式为y=-3x+3. 4 (2)如图1中, PM⊥AB,PE⊥OA, ∴∠PMN=∠AEN,∠PNM=∠ANE, ∴∆PNM∽∆ANE, ∴PN=6, AN5 NE//OB, ∴AN=AE, ABOA ∴AN=5(4-m), 4 抛物线解析式为y=-3x2+9x+3, 44 ∴PN=-3m2+9m+3-(-3m+3)=-3m2+3m,4444 -3m2+3m ∴4=6, 5(4-m)5 4 解得m=2. (3)如图2中,在y轴上取一点M'使得OM'=4,连接AM',在AM'上取一点E'使得 3 OE'=OE. OE'=2,OM'OB=4⨯3=4, 3 ∴OE'2=OM'OB, ∴OE'=OB,∠BOE'=∠M'OE', OM'OE' ∴△M'OE'∽△E'OB, ∴M'E'=OE'=2, BE'OB3 ∴M'E'=2BE', 3 ∴AE'+2BE'=AE'+E'M'=AM',此时AE'+2BE'最小(两点间线段最短,A、M'、E' 3 共线时), 最小值=AM'=42+(4)2=4 33 3 10. 5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,- 3), C(2,0),其对称轴与x轴交于点D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标; (2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则1PB+PD的最小值为33; 24 (3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点 ①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个; ②连接MA,MB,若∠AMB不小于60︒,求t的取值范围. ⎧a-b+c=0 ⎧ 3 ⎪a= ⎪2 3 ⎨ 【解答】解: (1)由题意⎪c=- ⎩ ⎪4a+2b+c=0 解得⎪=-3, b⎨ ⎪2 3 ⎪c=- ⎪ ⎪⎩ ∴抛物线解析式为y= 3x2-3x-, 3 22 3 y=3x2-3x-=3(x-1)2-93, 22228 ∴顶点坐标(1,-93). 28 (2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P, 此时1PB+PD最小. 2 3 理由: OA=1,OB=, ∴tan∠ABO=OA=3, OB3 ∴∠ABO=30︒, ∴PH=1PB, 2 ∴1PB+PD=PH+PD=DH, 2 ∴此时1PB+PD最短(垂线段最短). 2 在Rt∆ADH中,∠AHD=90︒,AD=3,∠HAD=60︒, 2 ∴sin60︒=DH, AD 33 4 ∴DH=, ∴1PB+PD的最小值为33. 24 故答案为33. 4 (3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点, 线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点, 所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个,故答案为5. ②如图,Rt∆AOB中,tan∠ABO=OA=3, OB3 ∴∠ABO=30︒, 作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120︒,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60︒,从而线段FG上的点满足题意, AB EB=2=23, cos30︒3 ∴OE=OB-EB=3, 3 F(1,t),EF2=EB2, 2 ∴ (1)2+(t+3)2=(23)2, 233 解得t=-23+ 6 39或-23- 6 39, 故F(1,-23+39),G(1,-23- 39), 2626 ∴t的取值范围-23-39 t-23+39 66 6.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE 上. (1)试说明CE是O的切线; (2)若∆ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O的直径AB; (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当1CD+OD的最小值为6时, 2 求O的直径AB的长. 【解答】解: (1)连接OC,如图1, CA=CE,∠CAE=30︒, ∴∠E=∠CAE=30︒,∠COE=2∠A=60︒, ∴∠OCE=90︒, ∴CE是O的切线; (2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2, 由题可得CH=h. 在Rt∆OHC中,CH=OCsin∠COH, ∴h=OCsin60︒=3OC, 2 ∴OC=2h=23h, 33 ∴AB=2OC=43h; 3 (3)作OF平分∠AOC,交O于F,连接AF、CF、DF,如图3, 则∠AOF=∠COF=1∠AOC=1(180︒-60︒)=60︒.22 OA=OF=OC, ∴∆AOF、∆COF是等边三角形, ∴AF=AO=OC=FC, ∴四边形AOCF是菱形, ∴根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H, OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30︒, ∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30︒=1DC, 2 ∴1CD+OD=DH+FD. 2 根据垂线段最短可得: 当F、D、H三点共线时,DH+FD(即1CD+OD)最小, 2 此时FH=OFsin∠FOH=
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