届高三理科数学一轮复习学案 35两角和与差的正弦余弦和正切公式.docx
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届高三理科数学一轮复习学案35两角和与差的正弦余弦和正切公式
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β;
cos(α∓β)=cos_αcos_β±sin_αsin_β;
tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sin_αcos_α;
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan2α=.
3.公式的常用变形
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);
(2)cos2α=,sin2α=;
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,
1-sin2α=(sinα-cosα)2,
sinα±cosα=sin.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( )
(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.( )
(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)× (4)√
2.sin20°cos10°-cos160°sin10°=( )
A.- B.
C.-D.
解析:
选D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.
3.设角θ的终边过点(2,3),则tan=( )
A.B.-
C.5D.-5
解析:
选A 由于角θ的终边过点(2,3),因此tanθ=,故tan===,选A.
4.(2017·山东高考)已知cosx=,则cos2x=( )
A.-B.
C.-D.
解析:
选D ∵cosx=,∴cos2x=2cos2x-1=.
5.化简:
=________.
解析:
=
==4sinα.
答案:
4sinα
6.(2017·江苏高考)若tan=,则tanα=________.
解析:
tanα=tan
===.
答案:
[考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础,直接命题较少,主要考查三角函数公式的识记,多体现在简单三角函数求值中.
1.已知cosα=-,α是第三象限角,则cos的值为( )
A. B.-
C.D.-
解析:
选A ∵cosα=-,α是第三象限的角,
∴sinα=-=-=-,
∴cos=coscosα-sinsinα
=×-×=.
2.已知sinα=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为( )
A.-B.
C.D.-
解析:
选A 因为sinα=,α∈,
所以cosα=-=-,
所以tanα==-.
因为tan(π-β)==-tanβ,所以tanβ=-,
则tan(α-β)==-.
3.已知α∈,sinα=,则cos的值为______.
解析:
因为α∈,sinα=,
所以cosα=-=-.
sin2α=2sinαcosα=2××=-,
cos2α=1-2sin2α=1-2×2=,
所以cos=coscos2α+sinsin2α
=×+×
=-.
答案:
-
[怎样快解·准解]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.
[考什么·怎么考]
主要考查对三角函数公式的熟练掌握程度,对公式结构的准确理解和记忆.
考法
(一) 三角函数公式的逆用
1.=________.
解析:
====.
答案:
2.在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC=________.
解析:
由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,又A+B∈(0,π),所以A+B=,则C=,cosC=.
答案:
3.已知cos+sinα=,则sin=________.
解析:
由cos+sinα=,
可得cosα+sinα+sinα=,
即sinα+cosα=,
∴sin=,即sin=,
∴sin=-sin=-.
答案:
-
考法
(二) 三角函数公式的变形用
4.化简=________.
解析:
===-1.
答案:
-1
5.化简sin2+sin2-sin2α的结果是________.
解析:
原式=+-sin2α
=1--sin2α
=1-cos2α·cos-sin2α
=1--
=.
答案:
[怎样快解·准解]
1.注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.
2.熟记三角函数公式的2类变式
(1)和差角公式变形:
sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ,
cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ,
tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ).
(2)倍角公式变形:
降幂公式cos2α=,sin2α=,
配方变形:
1±sinα=2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.
三角函数公式中角的变换与名的变换在三角函数求值中经常考查,题目难度不大,属于中低档题.
[典题领悟]
1.(2018·南充模拟)已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,则sinβ=________.
解析:
因为α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,所以α+β∈(0,π),
所以sinα==,
sin(α+β)==,
则sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=×-×=.
答案:
2.已知tan(α+β)=,tanβ=,则tan(α-β)的值为________.
解析:
∵tan(α+β)=,tanβ=,
∴tanα=tan[(α+β)-β]===,
tan(α-β)===-.
答案:
-
[解题师说]
1.迁移要准
(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值;看到β,α+β,α想到凑角β=(α+β)-α,代入公式求值.
(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式;看到α+β,β,α-β想到凑角.
2.思路要明
(1)角的变换:
明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.
(2)名的变换:
明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
3.思想要有
转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.
[冲关演练]
1.(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈,tanα=2,则cos=________.
解析:
∵α∈,tanα=2,
∴sinα=,cosα=,
∴cos=cosαcos+sinαsin
=×=.
答案:
2.已知α,β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cosβ的值.
解:
(1)∵α,β∈,从而-<α-β<.
又∵tan(α-β)=-<0,
∴-<α-β<0.
∴sin(α-β)=-.
(2)由
(1)可得,cos(α-β)=.
∵α为锐角,且sinα=,∴cosα=.
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×=.
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.sin45°cos15°+cos225°sin165°=( )
A.1 B.
C.D.-
解析:
选B sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin45°·cos15°+(-cos45°)sin15°=sin(45°-15°)=sin30°=.
2.若2sin=3sin(π-θ),则tanθ等于( )
A.-B.
C.D.2
解析:
选B 由已知得sinθ+cosθ=3sinθ,
即2sinθ=cosθ,所以tanθ=.
3.(2018·石家庄质检)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin2α的值为( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选A 因为sin(π-α)=sinα=,≤α≤π,所以cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.
4.(2018·衡水调研)若α∈,且3cos2α=sin,则sin2α的值为( )
A.-B.
C.-D.
解析:
选C 由3cos2α=sin,可得3(cos2α-sin2α)=(cosα-sinα),又由α∈,可知cosα-sinα≠0,于是3(cosα+sinα)=,所以1+2sinαcosα=,故sin2α=-.
5.计算的值为( )
A.-B.
C.D.-
解析:
选B =
===.
6.(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A.B.1
C.D.
解析:
选A 因为cos=cos=sin,所以f(x)=sin,于是f(x)的最大值为.
7.已知sin=,α∈,则cos的值为________.
解析:
由已知得cosα=,sinα=-,
所以cos=cosα+sinα=-.
答案:
-
8.(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角,且cos(α+π)=,则tan2α=________.
解析:
由cos(α+π)=-cosα=,得cosα=-,又α是第三象限角,所以sinα=-,tanα=,故tan2α==.
答案:
9.已知cos=-,则cosx+cos=________.
解析:
cosx+cos
=cosx+cosx+sinx
=cosx+sinx
=cos
=×
=-1.
答案:
-1
10.(2018·石家庄质检)已知α∈,cos=-,则cosα=________.
解析:
因为α∈,所以α+∈,
所以sin=,
所以cosα=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
答案:
B级——中档题目练通抓牢
1.(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P(4,-3),则cos的值为( )
A.-B.
C.-D.
解析:
选B 由于角α的终边过点P(4,-3),则cosα==,sinα==-,故cos=cosαcos-sinαsin=×-×=.
2.设α为锐角,若cos=,则sin的值为( )
A.B.
C.-D.-
解析:
选B 因为α为锐角,且cos=,
所以s
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