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一平面曲线的整体性质
第四章 整体微分几何初步
一 平面曲线的整体性质
1旋转数
(1)主要概念
逐段光滑的平面曲线、角点、正常点、正规曲线、平面正规闭曲线的周期、简单曲线、切映射、旋转数。
(2)主要性质和公式
给出平面曲线
,
,它的曲率是:
设
是
轴的正向与曲线
在点
的切线的夹角,则:
设
是逐段光滑的正规受益者曲线,定义它的旋转数是
+
其中
是
角点
处的外角。
=
。
旋转数定理 如果
为平面上正规的、简单的闭曲线,则它的旋转数为
。
2凸曲线
(1)主要概念 凸曲线
(2)主要性质
引理 设
,
是平面上简单的、正规的、闭曲线,如果存在一对自然参数
和
使得
,则
在
上的部分是直线段。
推理 平面上简单的、正规的、闭凸曲线的旋转角
是单调的。
凸曲线的判定定理 平面上简单的、正规的闭曲线是凸的必要和充分条件是:
曲率函数
不变号。
3等周不等式
主要公式
等周不等式:
设平面曲线
是周长为
的简单的、正规闭曲线,
是
所包围区域的面积,则有
其中等号当且仅当
是圆周时成立。
4四顶点定理
(1)主要概念:
卵珙线、顶点。
(2)主要性质
四顶点定理:
一条卵形线至少的四个顶点。
5等宽曲线
(1)要概念:
相对点、等宽曲线
(2)要性质
等宽曲线定理:
如果平面曲线
是等宽的卵形线宽度为
,则
的长度是
。
6平面曲线上的
公式
主要公式
设平面直线的方程是
。
则平面上全体直线
所组成的空间的参数为
。
公式 平面上与
相交的直线集为
。
设直线
与
相交于
个点,则有公式
,其中
是集
的面积元素,
是
曲线的长度。
二 空间曲线的整体性质
1
定理
(1)主要概念:
空间曲线的切映射、全曲线
(2)主要性质和公式
定理:
对于一条空间简单的、正规的闭曲线
,
,设它的曲率为
,则它的全曲线为
其中等号当且仅当
是平面简单、正规、凸闭曲线时成立。
推论 设
是逐段正规的,它的每一角点的外角是
,则有
2球面上的
公式
(1)主要概念:
球面上定向大圆的极点、球面上和定向大加圆集的测度
(2)主要性质和公式
球面上的
公式 设
是球面
上的定向大圆
的极点,
是
上的一条曲线,命
则有
其中
是定向大圆
与
曲线相交点的个数,
是极点所构成的子集的面积元素。
3
定理
(1)主要概念 打结和不打结的空间曲线,打结的又称为挠的
(2)主要性质和公式
定理 设曲线
,
是一条打结的、简单的、正规挠闭曲线,则它的全曲率
。
4闭曲线的全挠率
(1)主要概念
给出一条空间曲线
,
,
是它的挠率,则
的全挠率是
(2)主要性质
定理 球面上的正规闭曲线的全挠率为0。
三 曲面的整体性质
1曲面的整体定义
主要概念
简单曲面、
类曲面、坐标域、坐标函数、图册
2曲面的一般性质
(1)主要概念
曲面的定向性:
如果曲面的坐标域之间的坐标变换的
行列式恒大于0,这时,我们说:
曲面是可定向的。
显然,定向性质是曲面的整体性质。
曲面的紧致性:
如果曲面的任何一个坐标图册都是可以只包括有限个人体坐标域,则这种特殊的曲面称为紧致曲面。
等价定义:
曲面的任何一个开覆盖,都有有限的子覆盖。
曲面是紧致的当且仅当它是
中的有界闭集。
曲面的连通性:
中的曲面是连通的,如果它是
中的连通子集,即不能表示成互不相交的开子集的并集。
(2)主要性质
定理1 设
是
中的紧致曲面,则存在一点
使得
在这一点的高斯曲率
推论1 在
中不可能存在
处处成立的紧致曲面。
推论2 在
中不可能存在紧致的极小曲面。
定理2
中的曲面是连通的必要和充分条件是:
它是弧连通的。
即对于曲面上任意两点,总存在曲面上联结它们的连续曲线。
3卵形面
(1)主要概念
凸曲面、卵形面、
曲面、椭圆型的
曲面,曲面的刚性,无边缘曲面
(2)主要性质和公式
定理 设
是
中的定向、紧致、无边缘的凸曲面,则高斯映射是一一的和在上的。
推论 卵形面一定在它上每一点切平面的同一侧。
引理 如果紧致、连通曲面的每一点都是脐点,则此曲面是球面。
推论1 紧致的、凸的常平均曲率面是球面。
推论2 紧致的、凸的常高斯曲率是球面。
积分公式 设
是
中的紧致曲面,它的高斯曲率是
,平均曲率是
,若函数
是原点到曲面上
点的切平面的距离,则有下列积分公式
,
。
定理 两个卵形面之间如果存在一个保长映射,则这个映射一定是
中的合同或对称。
定理 给出单位球面
和两个卵形面
和
,考虑高斯映射
和
,如果
=
,
,
则
和
合同或对称。
4完备曲面
(1)主要概念:
指数映射、测地完备曲面、曲面上的距离、完备曲面
(2)主要性质
定理 如果曲面是测地完备的,则对于
上任意两点
和
,连接
和
的长度最短的曲线是测地线。
定理 对于曲面
来说,下面三条件是等价的:
是完备度量空间;
是测地完备的曲面;
的每一个有界子集的闭包是紧致的。
四 紧致曲面的高斯-波涅公式和欧拉示性数
1紧致曲面的三角剖分
主要概念 曲面上的三角形、曲面的三角割分、曲面剖分后三角形的定向
2紧致曲面的欧拉示性数
紧致曲面
三角剖分后,所有三角形构成一个多面体。
设此多面体的面数为
,棱数为
,顶点数为
,则定义紧致曲面
的欧拉示性数为:
。
3紧致定向曲面的亏格
(1)要概念 亏格
(2)主要性质
命题 亏格数为
和紧致曲面的欧拉示性数是
4紧致曲面的高斯-波涅公式
主要公式:
高斯-波涅公式 设
是
中的紧致曲面,则有:
推论 设
是亏格数
的紧致曲面,则有:
.
5紧致曲面上的向量场
(1)主要概念
紧致曲面的光滑向量场、向量场的奇点和孤立奇点、向量场孤立奇点的指标
(2)主要公式
给出
中的曲面
,在它的一个坐标域
内,曲面的方程是
,则在
内向量场
的坐标表示
+
对于另一个坐标域
,曲纹坐标是
,则在
上有坐标变换
,
,
而且
,
+
=
+
。
然而
+
,
+
所以
=
+
=
+
设
是紧致曲面
上的一向量场,
是它的孤立奇点,
是
上围绕
点的一条简单的、闭的、逐段光滑的曲线,使得它包围的曲面域
内除了
点外没有的其它奇点,再设
是
中没有奇点的单位向量场,则定义
在奇点
处的指标为
=
其中
表示有向角
沿曲线
的变化。
命
是
中和紧致曲面,
是定义
上,仅有有限个孤立奇点和向量场,则
的总指标定义为
=
。
命题 如果
和
是定义在紧致曲面
上的仅有有限个 奇点的向量场,则
。
定理 设
是
中的紧致曲面,
是
上一个仅有有限个奇点的向量场,则
。
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- 平面 曲线 整体 性质