A题自动倒车策略.docx
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A题自动倒车策略.docx
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A题自动倒车策略
摘要
随着汽车产业及科技的高速发展,智能驾驶汽车成为了国内外公认的未来汽车重要发展方向之一。
而在汽车智能化进程中,自动泊车是一项非常具有挑战性和实用性的技术。
自动泊车系统可通过各类传感器获取车位相对汽车的距离,通过控制汽车前轮转角和瞬时速度控制车辆行驶。
对于第一问,依据租赁点的需求和约束条件分配根据经纬度和Floyd算法求出各租赁点之间的距离,引入0—1变量表示租赁点间是否发生调度,采用最小生成树算法,经过租赁点的时间及装卸自行车的时间为权重,通过Matlab编程用避圈法求解最小生成树
对于第二问,约束为投入经费总数和租赁点自行车需求,目标是设置的租赁点能够覆盖更大的面积,而且整个调度花费时间较少,用excel将备选租赁点需求量由大到小排序,选取自行车需求较多且三个时间段需求相差小的网点,应用动态规划算法,设新增租赁点数为k,代入经费约束即可得到k值不大于28
对于第三问,通过增加调度车来减少调度时间,采用租赁点分区的思想,每辆调度车只在一个分区内调度,提高调度的效率。
设新增调度车p辆,根据问题二的分配结果用问题一的模型计算调度花费的时间,各分区内都采用最小生成树算法求解最优调度路线,改变p值和分区,直到所有分区都能满足150分钟内调度完毕
关键词:
Floyd算法最小生成树启发式搜索0-1变量Matlab编程
一、问题的背景与重述
1.1问题背景
若考虑系统控制容易性,参考人工倒车入库,当车辆位于与车位垂直的任意位置时,先通过前行或后退到达理想停车起始点后,再确定前进转角和后退转角,使车身与车位在同一直线上后,直接倒车完成入库,即“一进二退”。
这种两段式倒车模式提高了泊车过程中车辆行驶的紧凑性,同时减少了泊车行驶空间。
考虑奇瑞汽车公司的QQ3,长3550mm,宽1495mm,轴距2340mm,前轮距1295mm,后轮距1260mm,目标车库为小型汽车库标准大小长6m,宽2.8m,车库周围情况如图。
1.2问题重述
1)建立模型,按照车辆与车位之间的距离把车辆位置进行分组,给出每一组对应的倒车理想起始点,a=400mm,b=8000mm,c=300mm。
2)建立模型,给出由理想起始点到倒车入库的泊车策略,包括车速、前轮转角、后轮行驶距离。
2.1问题一分析
通过对本问题的分析,根据结论要保证调度平均耗时最少,则在每个时间段内调度车行驶时间和装卸自行车总时间要最少,先求解出租赁点之间的实际车行距离和居民还车的概率,也相继可以确定居民还车数目,根据每个租赁点的需求数,通过建立相应的数学模型,进而可得调度车在每一个租赁点的调度时间。
因此可以根据已知的道路连通图,首先通过Floyd算法算出任意两个租赁点间的距离,其次以时间为权重建立最小生成树模型,找出能使调度车耗时最少的行驶路线和调度车的分配方案。
2.2问题二分析
这个问题可以在第一个问题的基础上解答,目标都是使得整个调度花费时间最短。
新增网点和自行车必须满足经费约束,为使设置方案最合理应将网点设在需求量较多的地方,将需求量排序后筛选出备选网点,按照网点需求将所有自行车分配,使得既满足需求又能让调度时间最短。
同问题一一样首先用Matlab编程求出所有网点间距离,利用启发式搜索的算法,依次改变备选的新增网点,直到找出花费最短时间的路径。
2.3问题三分析
该问通过增加调度车的数量来减少调度时间,调度是在问题二分配的结果上进行,因此采用最小生成树算法寻找最快调度方案,可以将网点进行分区(相距近的网点为一个分区)来提高调度效率降低时间复杂度,假设需要增加p辆调度车,每辆调度车只在一个分区行驶且相互独立,应用问题二的模型计算各自的调度时间,改变p值直到最大值不大于150分钟,即为新增调度车。
三、问题的基本假设
1.调度车始终按照30km/h的平均速度行驶;
2.居民的骑行距离不超过2km;
3.三个时间段需求量的平均值具有可靠性,能够满足需要;
4.问题的求解只需考虑时间、费用和数量因素;
5调度车在网点间的行驶距离可以按照经纬度计算。
四、符号规定
装卸车在第i个租赁点装卸的自行车数;
:
第i个租赁点在调度后的自行车数;
:
第i个租赁点在租完还完后的自行车数;
:
租赁点i需要的自行车数;
新增的租赁点点数;
增加的自行车数;
增加的调度车数;
:
租赁点i与租赁点j之间的距离;
五、模型的建立与求解
根据以上的分析,可将原问题转化为:
自行车分配和调度车路线的优化问题。
问题一的模型:
在问题一中,我们考虑编号1—30的租赁点,首先,由假设可根据7:
00—8:
00
之间各个租赁点的自行车需求量,将850辆自行车按照需求比例分给各网点,通过对分配结果的分析,并结合题中的约束条件,对分配情况进行调整,然后重复分配—分析—调整,从而得到第一个时间段的最优的分配方案,即各个租赁点的
s.t
模型的求解
具体过程如下:
步骤1:
利用题目中给出的各租赁点的经纬度数据,Matlab编程得到任意两个租赁点之间的距离,然后根据还车的概率与租车点和还车点的距离成反比,即可以得到各个租赁点还入的自行车数。
步骤2:
求解最小生成树的方法有破圈法、避圈法、Dijkstra算法等。
这里我们用避圈法求解,避圈法是指将图G中的边按照权数大小逐条考察,按不构成圈的原则加入到T(树)中,直到
为止,即T的边数=G的顶点数-1为止。
避圈法的算法
是:
1.把G的边按权的大小整理成
,令
.
2.若
含圈,则转3,否则转4.
3.令
,若
则转2;否则停止,G不存在最小生成树。
4.令
,
。
5.若
,结束,
是最小生成树;否则转3.
从7月和10月过牧区中各啮齿动物的种群动态来看(图4),小毛足鼠的种群波动性较大,1-3区时较低,3区时数量迅速上升,4区时达到22个区中的数量高峰期,5区时迅速下降到一个定值,之后12个区时一直在这个定值区间波动,18区时到22区时略有回升,从图中可以看出小毛足鼠的生物量基本完成了一个周期变化。
三趾跳鼠的数量动态为,1区时-8区时数量较平稳而且较高,之后逐渐降低至平稳变化,18区时最低,19区时-22区时数量呈明显波动变化,最小值捕获率为2.6%,最大值捕获率为10.8%。
子午沙鼠的数量在1区时-8区时和9区时-17区时较平稳,8区时-9区时数量逐渐下降,18区时数量逐渐回升。
从图5可以看出三趾跳鼠的捕获量比例相对较高,子午沙鼠次之,小毛足鼠最低,且三趾跳鼠捕获量比例波动较小,小毛足鼠捕获量比例波动较大,子午沙鼠居中。
通过分析可知,不同区时过牧区啮齿动物的捕获率并无明显的差别,但是捕获量比例却有显著差异。
sets:
sk/1..30/:
s,x;
si/1..30/:
a;
sik(si,sk):
c,l;
endsets
min=@sum(sk:
2s*x)+@sum(sik:
a);
@for(si(i):
@sum(sk(i):
l(j,i))=1);
@for(sik(i,j):
l(i,j)<=w(i));
@for(sk:
@bin(s));
@for(sik:
@bin(x));
data:
s,c,x=@ole('C:
\success.xls','s','_c','x');
@ole('C:
\success.xls','s','_c','x')=s,c,x;
enddata
end
的自行车总和,代入投入经费的约束条件,选取符合条件的假设新增网点,用问题一所的模型分配自行车。
步骤三:
应用问题一的模型,根据经纬度把新增的网点与原网点间距离用folyd算法和Matlab编程计算出来。
步骤四:
用最小生成树法寻找调度花费时间最短的路径,改变假设的新增网点,重复上述步骤,直到找出花费时间最短的最优的路径。
若考虑系统控制容易性,参考人工倒车入库,当车辆位于与车位垂直的任意位置时,先通过前行或后退到达理想停车起始点后,再确定前进转角和后退转角,使车身与车位在同一直线上后,直接倒车完成入库,即“一进二退”。
这种两段式倒车模式提高了泊车过程中车辆行驶的紧凑性,同时减少了泊车行驶空间。
考虑奇瑞汽车公司的QQ3,长3550mm,宽1495mm,轴距2340mm,前轮距1295mm,后轮距1260mm,目标车库为小型汽车库标准大小长6m,宽2.8m,车库周围情况如图。
目标:
在新增网点后使整个调度在150分钟完成;
约束:
每辆调度车每次运送的自行车不大于50辆;
所以得到模型:
s.t
模型求解
步骤一:
根据问题二的结果确定了新增网点的位置,首先用excel进行数据的分析处理,并按照网点间距离大小进行了分类,在处理数据的过程中,我们使用了一些技巧:
用名称替换的方法把网点名用序号代替。
步骤二:
采用最小生成树算法寻找最快调度方案,可以将网点进行分区(相距近的网点为一个分区)来提高调度效率降低时间复杂度,假设需要增加p辆调度车,每辆调度车只在一个分区行驶且各分区相互独立,应用问题一的模型计算各分区的调度时间。
步骤三:
改变p值重复上述步骤,直到所有分区的调度时间最大值不大于150分钟。
调度车编号
1
2
3
4
起点
14
5
48
36
终点
20
31
74
52
调度时间
136
142
138
129
相位时能够正常通过路口,而在第二相位时,正面来车无法正常通过路口,需要排队等候红灯变为绿灯。
因此在每个连续的60s时间段内,只有处于第一相位的30s上游来车的流量为正值。
与此同时,在处于第一相位的30s内,来车量的也并非服从简单的均匀分布。
观察视频我们可以看到,在第二相位期间,上游来车流量全部累积到路口,形成排队通过路口的车队;当红灯变为绿灯时,这些累积的车辆在短时间内释放,正面来车流量快速上升至一个很大的值,然后慢慢变小恢复到正常值。
下面我们就具体的分析这一过程中的流量变化。
我们考察红灯线位置截面的车流流量。
由定义我们可以直接得到,车流流量
由车流密度
和车流速度
共同决定[2]:
时,车流密度达到最大,
;当
时,车流速度达到最大,
。
这两种情况我们称为平衡状态,而在非平衡状态下,根据文献(晏启鹏2000)中的分析我们可以得到车流流量与车流密度的关系是:
III
我们的目的是要描述车流流量
在红灯变为绿灯之后的时间段内随时间的变化过程,已经车流流量
是关于车流密度
的函数,我们只需要分析车流密度
随时间的变化过程即可。
由定义,最大车流密度是车流速度为0,车流平均车距为0时的车流密度在,则此时道路空间的体积全部被车辆本身的体积占据。
假设车流中车辆的平均长度为
,车辆的平均车距为
,那么我们可以得到公式:
IV
分析红灯变为绿灯后平均车距的变化。
变为绿灯后,最靠前的车辆开始加速,与后面的车辆车距拉大,经过
的时间后,后面的车辆同样开始加速;我们假设车辆从开始加速到达到最大速度经历一个匀加速过程,因此我们近似认为平均车距
正比于时间
:
V
我们联立
III,IV和V得到:
VI
注意到,公式VI描述的是排队车辆形成的密集车辆阵内的车流密度,那么,当这个车辆阵完全穿过指定横截面时,车流密度会发生一个瞬时的下降。
由于正面来车流量在不考虑信号灯的条件下是一个常值
,
将下降到这一常值后保持稳定。
这样我们就得到了第一相位的一个30s周期内正面来车流量的变化规律(已将系数简化):
VII
在使用matlab进行数值模拟时我们发现,如果直接采用公式
进行模拟,由于模拟采用的离散值,而该函数在曲线阶段均为凸函数,且斜率变化较大,因此会出现明显的偏小的误差——实际模拟中正面车流流量的均值将小于连续函数给出的车流流量均值。
因此我们采取阶梯函数近似的办法来描述第一相位时车流流量随时间的变化规律:
六、模型的分析和检验:
从图中我们可以看出,在三维图形下有一个最低值,即当线圈所围面积最小,
时,机械能最小,绳结最稳定,绳结最不容易自动脱结。
当线圈面积一定是,两边角度差值越大,绳结机械能越大,绳结越不稳定,绳结越容易自动松脱;在角度相同的情况下,线圈所围面积越小,绳结的机械能越小,绳结越不容易自动松脱。
其次建立模型
,当
越小时,整个绳结的机械能越小,越稳定。
可以用matlab来编写程序,做出其对应的图。
在matlab中,我们称
为x,y,我们对于椭圆的面积
,是可以直接用excel处理的,为了便于matlab程序,
记为z,则有画图程序:
程序1
x=0:
pi/2;
y=0:
pi/2;
z=1:
5;
[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);
f=(x-y).^2.*z;
isosurface(x,y,z,f)
(1)改变z值的范围,其对应的
值也相应变化。
随着z的增大而有增大的趋势,也就是说,当
值是固定的时候,椭圆面积越大越容易脱落。
我们可以从图中知道,z的改变并不会使能量值发生线性变化,在同一次打结中,可以把与绳索自身相关系数的k记为1,这样就省去了讨论k的值。
6.1.模型的检验
这三个问题的模型检验均要通过实际的分配调度实现,我们在三个问题中分别应用了不同的算法和软件进行了模型的检验,在问题一中应用floyd算法和matlab程序对该问题进行了求解和检验,在问题二中运用了启发式搜索算法原理对问题进行了检验,在问题三中利用最小生成树算法进行求解和检验以实现上述三个问题的最优性。
我们利用模型一得到的自行车分配方案,将各网点的需求量与实际分配量相比较,各网点都能够满足需求,代入约束条件后,符合要求,并且得到的配送路线花费的时间能够使租赁系统正常运行,所以认为模型一比较可靠。
由图可以看出分配值均大于需求值的10%,所有的租赁点都能满足需求,所
6.2.模型的优点
优点:
最小生成树算法应用比较成熟,模型中将行车时间和装卸时间视为权值,编程通过计算机计算实现,因此可以快速的得出精确的结果。
问题1:
算法稳定成熟,程序容易实现,结果精确。
问题2:
具有反馈过程,可以不断的优化调度方案。
问题3:
租赁点分区的方法减小了时间的复杂度,是求解过程简单。
6.3.模型的缺点
模型求解过程中,获得的各个网点间的距离是根据经纬度计算得到的弧长距离,而实际调度车的路线与街道分布情况一致,这样就会导致求得的调度时间与实际有偏差,因此可根据街道的分布情况计算距离。
假设调度始终发生在租车还车之后进行,而实际生活中,两者一般都是同时发生的,所以应该使调度依据实际需要进行来完善模型。
七、模型的推广
在整个解题过程中,我们都是在理论结合实际的前提下作出各种假设和量化,网点间距离仅根据经纬度计算与实际情况不符,只有确定了街道的实际距离才能精确地计算出调度时间。
模型一借助最小生成树法建立,它同样可以推广到其它的运输优化方案和资源配置优化的问题中,但是分配调度模型也有其缺点,编程所得的路径为理想的情况与实际有一定的偏差。
八、参考文献
【1】肖华勇.实用数学建模与软件应用西安:
西北工业大学出版社2008.11
【2】曹旭东数学建模原理与方法北京:
高等教育出版社,2014.1
【3】李学文,李炳照,王宏洲数学建模优秀论文精选与点评.北京:
清华大学出版社2011.9
【4】陈光亭,裘哲勇数学建模北京市高等教育出版社2010.2
九、附录:
求网点距离的Matlab程序代码:
dx=ones(30,30);
fork=1:
1:
30
form=1:
1:
30
d=distance(w(k),j(k),w(m),j(m));
pi=3.1415926;
dx(k,m)=d*6371*1000*2*pi/360;
end
end
dx
由相关系数表可我们对这些元素进行粗略分组,分为以下两组:
A组:
10月过牧植物生物量、7月轮牧动物生物量、10月过牧动物生物量;
B组:
10月轮牧植物生物量、7月过牧动物生物量、10月轮牧动物生物量。
而对于7月过牧植物生物量、7月轮牧植物生物量由相关系数表可知,其相关系数较小,我们认为相关系数小的元素间没有关系,所以将其各自单独一组。
建立回归模型图像验证它们之间的函数关系:
通过上述分析,我们建立10月过牧植物生物量与7月轮牧动物生物量、7月过牧动物生物量与10月轮牧植物生物量、10月轮牧植物生物量与10月轮牧动物生物量、10月过牧植物生物量与10月过牧动物生物量回归分析模型。
建立不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系的回归分析模型
(1)建立一元线性回归模型
一元线性回归模型可表示为
为了方便,我们可以利用样本去估计总体回归参数
、
,用样本统计量
、
代替回归方程中的未知参数
和
,就得到了估计的回归方程。
一元线性回归中估计的回归方程为
其中:
是估计的回归直线在y轴上的截距,
是直线的斜率,它表示对于一个给定的x的值,
是y的估计值,也表示x每变动一个单位时,y的平均变动值。
回归系数
、
的最小二乘估计
用最小平方法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线的误差都小
显然,残差平方和的大小将依赖于
和
的取值。
所谓最小二乘法就是寻找参数
和
的估计值
和
,使上市定义的残差平方和达到最小。
由于Q是关于
,
的非负二次函数,因而它的最小值总是存在的。
根据微积分中求极值的原理,
,
应满足下列方程组
经整理后,得正规方程组
求解以上正规方程组得
和
的最小二乘法估计为
总体方差的估计
除了参数
、
外,一元线性回归模型还有一个未知数,即总体的随机误差项
的方差
。
它是检验模型时必须利用的一个重要参数,用以反映理论模型误差的大小。
由于随机误差项
本身不能直接观测,因此需要用样本回归模型的残差
代替随机误差项来估计
。
数学上可以证明,
的无偏估计
可由下式给出
对
开平方,得
被称为回归标准差或估计标准差。
正如标准差可以说明平均数代表性大小一样,估计标准差则可以说明回归线代表性的大小。
越小表明实际观测值与所拟合的样本回归线的离差程度越小,即回归线具有较强的代表性。
反之,
越大表明实际观测值与所拟合的样本回归线的离差程度越大,即回归线的代表性越差。
但是利用上述定义公式手工计算标准误差时需要求出每一项残差,计算工作量极大。
因此可以采用下列简便公式计算
以上简便公式中所需要的数据与计算相关系数和估计回归系数时所用数据相同,这样可以大大减少计算工作量。
一元回归模型的求解
首先,利用SPSS软件对以上建立的4组回归模型进行求解。
10月过牧植物生物量与7月轮牧动物生物量组:
表3-1引入或剔除的变量
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