离散数学王元元习题解答1.docx

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离散数学王元元习题解答1

1命题演算及其形式系统

1.1命题与联结词

内容提要

1.1.1命题

我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。

“真、假”常被称为命题的真值。

自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当”这样的联结词称为逻辑联结词（logicalconnectives）。

通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositivepropositions）。

1.1.2联结词

否定词（negation）“并非”（not），用符号┐表示。

设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。

p真时┐p假，而p假时┐p真。

┐p读作“并非p”或“非p”。

合取词（conjunction）“并且”（and），用符号∧表示。

设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。

p∧q读作“p并且q”或“p且q”。

析取词（disjunction）“或”（or）用符号∨表示。

设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。

p∨q读作“p或者q”、“p或q”。

蕴涵词（implication）“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。

设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。

当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。

p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。

p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。

数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。

双向蕴涵词（two-wayimplication）“当且仅当”（ifandonlyif），用符号表示之。

设p，q为两命题，那么pq表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时pq为真，否则为假。

pq读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。

由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。

1.1.3命题公式及其真值表

我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s与f，t统称为命题常元（propositionconstant）。

深入的讨论还需要引入命题变元（propositionvariable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。

定义1.1以下三条款规定了命题公式（propositionformula）的意义：

（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。

（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（AB）也是命题公式。

（3）只有有限步引用条款

（1），

（2）所组成的符号串是命题公式。

如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1,…,pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1,…,pn的真值函数。

对任意给定的p1,…,pn的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母，等表示，A均有一个确定的真值。

当A对取值状况为真时，称指派弄真A，或是A的成真赋值，记为（A）=1；反之称指派弄假A，或是A的成假赋值，记为（A）=0。

对一切可能的指派,公式A的取值可能可用一张表来描述,这个表称为真值表（truthtable）。

当A（p1,…,pn）中有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列（不计表头）。

1.1.4语句的形式化

用我们已有的符号语言，可以将许多自然语言语句形式化。

语句形式化要注意以下几个方面。

要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。

要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。

例如“风雨无阻，我去上学”一句，可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去上学”。

否定词的位置要放准确。

需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。

另外要注意的是,语句的形式化未必是唯一的。

习题解答

练习1.1

1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：

（1）a+b

（2）x>0

（3）“请进！

”

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。

（5）我明天或后天去苏州。

（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。

（7）我明天或后天去北京或天津。

（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。

（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。

（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。

（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。

（13）不管你和他去不去，我去。

（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。

（韩非：

《韩非子显学》）

（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

（荀况：

《荀子劝学》）

解

（1）a+b不是命题

（2）x>0不是命题（x是变元）

（3）“请进！

”不是命题

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。

是命题

可表示为p∧┐q，其中p：

所有的人都是要死的，q：

所有的人都怕死

（5）我明天或后天去苏州。

是命题

可表示为p∨q，其中p：

我明天去苏州；q：

我后天去苏州

（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。

是命题

可表示为┐（p∨q），其中p、q同（5）

（7）我明天或后天去北京或天津。

是命题

可表示为p∨q∨r∨s，其中p：

我明天去北京，q：

我明天去天津，r：

我后天去北京，s：

我后天去天津

（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

是命题

可表示为┐p→┐q，其中，p：

我买到飞机票，q：

我出去

（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。

是命题

可表示为（p∧q→r）∧（┐p∧q→r）或q→r，其中p：

他余款多，q：

他出门，r：

他买书

（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。

是命题

可表示为（p∨q）r，其中p：

你陪伴我，q：

你代我雇车，r：

我去

（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。

是命题

可表示为（p→q）∧（q→p）或pq，其中p：

你充分考虑了一切论证，q：

你得到了可靠见解

（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。

是命题

可表示为（q→p）→┐q，其中p：

我懂得希腊文，q：

我了解柏拉图

（13）不管你和他去不去，我去。

是命题

可表示为（p→r）∧（q→r）∧（┐p→r）∧（┐q→r）或r，其中p：

你去，q：

他去，r：

我去

（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。

（韩非：

《韩非子显学》）是命题

可表示为（（p∧q）→r）∧（（┐p∧┐q）→┐r），其中p：

你奢侈，q：

你懒惰，r：

你贫困

（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

（荀况：

《荀子劝学》）是命题

可表示为（p→┐q）∧（s→r）∧（m∧n→┐o）∧（m∧┐n→v），其中p：

骐骥一跃，q：

骐骥一跃十步，r：

驽马行千里，s：

驽马不断奔跑，m：

你雕刻，n：

你放弃，o：

将朽木折断，v：

金石可雕刻

2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）：

（1）┐（p）（p为原子命题）

（2）（p∨qr）→s

（3）（p∨q）→p

（4）p→（p∨q）

（5）┐（p∨┐p）

（6）p∧（p→q）→q

（7）p∧（p→q）∧（p→┐q）

（8）（p→q）（┐q→┐p）

（9）┐（p∨q）┐q∧┐p

（10）┐p∨q（p→q）

（11）（p→q）∧（q→r）→（p→r）

（12）（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）

解

（1）┐（p）不是公式

（2）（p∨qr）→s不是公式

（3）（p∨q）→p是公式

p

q

p∨q

（p∨q）→p

p→（p∨q）

0

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1

（4）p→（p∨q）是公式（真值表见上表，恒真）

（5）┐（p∨┐p）是公式（恒假）

p

┐p

p∨┐p

┐（p∨┐p）

0

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1

0

1

0

（6）p∧（p→q）→q是公式（恒真）

p

q

p→q

p∧（p→q）

p∧（p→q）→q

0

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1

（7）p∧（p→q）∧（p→┐q）是公式（恒假）

p

q

┐q

p→q

p∧（p→q）

p→┐q

p∧（p→q）∧（p→┐q）

0

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0

（8）（p→q）（┐q→┐p）是公式（恒真）

p

q

┐p

┐q

p→q

┐q→┐p

（p→q）（┐q→┐p）

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（9）┐（p∨q）┐q∧┐p是公式（恒真）

p

q

┐p

┐q

p∨q

┐（p∨q）

┐q∧┐p

┐（p∨q）┐q∧┐p

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1

（10）┐p∨q（p→q）是公式（恒真）

p

q

┐p

┐p∨q

p→q

┐p∨q（p→q）

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（11）（p→q）∧（q→r）→（p→r）是公式（恒真）

p

q

r

p→q

q→r

p→r

（p→q）∧（q→r）

（p→q）∧（q→r）→（p→r）

0

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（12）（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）是公式（恒真）

p

q

r

p∨q

p∨q→r

p→r

q→r

（p→r）∧（q→r）

（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）

0

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*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。

你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。

守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。

你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。

解设p：

你是说真话的；q：

我应当向右走去首都

你应当问：

pq?

当回答“是（真）”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。

因为

pq真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）

或p假且q假（士兵说假话且应当向左走）

pq假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向左走）

或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）

1.2重言式

内容提要

1.2.1重言式概念

定义1.2命题公式A称为重言式（tautology），如果对A中命题变元的一切指派均弄真A，因而重言式又称永真式；A称为可满足式（satisfactableformula），如果至少有一个指派弄真A，否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。

1.2.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式

定义1.3当命题公式AB为永真式时，称A逻辑等价于B，记为A┝┥B，它又称为逻辑等价式（logicallyequivalent）。

以下是一些重要的逻辑等价式，其中A，B，C表示任意命题公式：

E1┐┐A┝┥A双重否定律

E2A∨A┝┥A幂等律

E3A∧A┝┥A幂等律

E4A∨B┝┥B∨A交换律

E5A∧B┝┥B∧A交换律

E6（A∨B）∨C┝┥A∨（B∨C）结合律

E7（A∧B）∧C┝┥A∧（B∧C）结合律

E8A∧（B∨C）┝┥（A∧B）∨（A∧C）分配律

E9A∨（B∧C）┝┥（A∨B）∧（A∨C）分配律

E10┐（A∨B）┝┥┐A∧┐B德摩根律

E11┐（A∧B）┝┥┐A∨┐B德摩根律

E12A∨（A∧B）┝┥A吸收律

E13A∧（A∨B）┝┥A吸收律

E14A→B┝┥┐A∨B

E15AB┝┥（A→B）∧（B→A）

E16A∨t┝┥t

E17A∧t┝┥A

E18A∨f┝┥A

E19A∧f┝┥f

E20A∨┐A┝┥t

E21A∧┐A┝┥f

E22┐t┝┥f,┐f┝┥t

E23A∧B→C┝┥A→（B→C）

E24A→B┝┥┐B→┐A

E25（A→B）∧（A→┐B）┝┥┐A

定义1.4当命题公式A→B为永真式时，称A逻辑蕴涵B，记为A┝B，它又称为逻辑蕴涵式（logicallyimplication）。

我们也列出一些十分重要的逻辑蕴涵式：

I1A┝A∨B，B┝A∨B

I2A∧B┝A，A∧B┝B

I3A∧（A→B）┝B

I4（A→B）∧┐B┝┐A

I5┐A∧（A∨B）┝B，┐B∧（A∨B）┝A

I6（A→B）∧（B→C）┝A→C

I7（A→B）∧（C→D）┝（A∧C）→（B∧D）

I8（AB）∧（BC）┝AC

逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。

定理1.1对任意命题公式A，B，C，A'，B'，

（1）A┝┥B当且仅当┝AB

（2）A┝B当且仅当┝A→B

（3）若A┝┥B，则B┝┥A

（4）若A┝┥B，B┝┥C，则A┝┥C

（5）若A┝B，则┐B┝┐A

（6）若A┝B，B┝C，则A┝C

（7）若A┝B，A┝┥A'，B┝┥B'，则A'┝B'

定理1.2设A为永真式，p为A中命题变元，A（B/p）表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式（称为A的一个代入实例），那么A（B/p）亦为永真式。

定理1.3设A为一命题公式，C为A的子公式（A的一部分，且自身为一公式），且C┝┥D。

若将A中子公式C的某些（未必全部）出现替换为D后得到公式B，那么A┝┥B。

定理1.2常被称为代入原理（ruleofsubstitution），简记为RS。

定理1.3常被称为替换原理（ruleofreplacement）简记为RR。

△1.2.3对偶原理

定义1.5设公式A仅含联结词┐，∧，∨，A*为将A中符号∧，∨，t，f分别改换为∨，∧，f，t后所得的公式，那么称A*为A的对偶（dual）。

显然A与A*互为对偶，即（A*）*=A

定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn，及联结词┐，∧，∨，那么

A┝┥┐A*（┐p1/p1,…,┐pn/pn）

这里A*（┐p1/p1,…,┐pn/pn）表示在A*中对p1,…,pn分别作代入┐p1,…,┐pn后所得的公式。

定理1.5设A，B为仅含联结词┐，∧，∨和命题变元p1,…,pn的命题公式，且满足A┝B，那么有B*┝A*。

进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。

常把B*┝A*，A*┝┥B*称为A┝B和A┝┥B的对偶式。

习题解答

练习1.2

1、试判定以下各式是否为重言式：

（1）（p→q）→（q→p）

（2）┐p→（p→q）

（3）q→（p→q）

（4）p∧q→（pq）

（5）（p→q）∨（r→q）→（（p∨r）→q）

（6）（p→q）∨（r→s）→（（p∨r）→（q∨s））

解

（1）否

（2）是

（3）是

（4）是

（5）否

（6）否

2、试用真值表验证E6，E8，E10，E11，E23。

证

（1）E6（A∨B）∨CA∨（B∨C）

A

B

C

A∨B

（A∨B）∨C

B∨C

A∨（B∨C）

E6

0

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（2）E8A∧（B∨C）（A∧B）∨（A∧C）

A

B

C

B∨C

A∧（B∨C）

A∧B

A∧C

（A∧B）∨（A∧C）

E8

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1

（3）E10┐（A∨B）┐A∧┐B

A

B

A∨B

┐（A∨B）

┐A

┐B

┐A∧┐B

E10

0

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1

（4）E11┐（A∧B）┐A∨┐B

A

B

┐A

┐B

A∧B

┐（A∧B）

┐A∨┐B

E11

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1

（5）E23（A∧B→C）（A→（B→C））

A

B

C

A∧B

A∧B→C

B→C

A→（B→C）

E23

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1

3、不用真值表，用代入、替换证明E12，E13，E24。

证

（1）E12：

A∨（A∧B）┝┥A

A∨（A∧B）┝┥（A∧t）∨（A∧B）据E17用RR

┝┥A∧（t∨B）对E8用RS

┝┥A∧t据E16用RR

┝┥A据E17

（2）E13：

A∧（A∨B）┝┥A

A∧（A∨B）┝┥（A∨f）∧（A∨B）据E18用RR

┝┥A∨（f∧B）对E9用RS

┝┥A∨f据E19用RR

┝┥A据E18

（3）E24：

A→B┝┥┐B→┐A

┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A对E14用RS

┝┥B∨┐A据E1用RR

┝┥┐A∨B对E4用RS

┝┥A→B据E14

4、试用真值表验证I3，I4，I5，I6。

证

（1）I3A∧（A→B）→B

A

B

A→B

A∧（A→B）

A∧（A→B）→B

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

（2）I4（A→B）∧┐B→┐A

A

B

┐B

┐A

A→B

（A→B）∧┐B

I4

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

（3）I5┐A∧（A∨B）→B┐B∧（A∨B）→A

A

B

┐A

A∨B

┐A∧（A∨B）

┐A∧（A∨B）→B

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

A

B

┐B

A∨B

┐B∧（A∨B）

┐B∧（A∨B）→A

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

（4）I6（A→B）∧（B→C）→（A→C）

A

B

C

A→B

B→C

A→C

（A→B）∧（B→C）

I6

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1