二项式定理中的数学思想方法.docx
- 文档编号:584178
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:85
- 大小:165.93KB
二项式定理中的数学思想方法.docx
《二项式定理中的数学思想方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二项式定理中的数学思想方法.docx(85页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
二项式定理中的数学思想方法
二项式定理中的数学思想方法
现代化的教育教学理念,要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法,进行独立的思考、探索和研究问题,提出解决问题的思路,创造性地把问题解决好”;因此我们学习每一部分知识时,要善于回味、归纳、总结规律,从而提炼出精华的数学思想方法,将知识转化为能力,使所学知识得以升华.笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟,写给读者,希望能够起抛砖引玉的作用.归纳如下:
一、函数与方程思想
例1 已知
若
,求
.
解析:
.令
则
,
.
点评:
二项式定理的应用中,求系数的取值总是列出方程,通过赋值求解,把二项展开式看作x的函数
,其系数问题与函数值
的展开式相联系.
二、转化与化归思想
例2 设a,b是两个整数,若存在整数d,使得
称“
整除
”,记作
.给出命题:
①
;②
;③
其中正确命题的题号是
.
解析:
对于①,
必为偶数,
为奇数,即
不正确.
对于②,
②正确.
对于③,
③正确,故填②③.
点评:
利用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,转化成便于操作的二项式的结构,这是解决问题的关键,然后再用二项式定理展开,只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.
例3 (上海高考题改编)求和:
.
分析:
这是一个与组合数有关的式子求和问题,通常进行合理变形,利用组合数的性质,转化为二项式的结构,再逆用二项式定理,将式子的值求出.
解:
原式
.
点评:
本例体现了分组求和,创设二项式定理的结构形式,逆用、活用二项式定理的思想;其中第二组的和可以推广为:
若数列
是首项为
公比为q的等比数列,则:
.
.
例4求证:
.
证明:
.
点评:
本题是一个与自然数有关的不等式问题,当然可以考虑用数学归纳法证明,但是与
的展开式进行对照,只要令
所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构,再进行合理的取舍,问题获证,这不失为一个快捷方法.
三、整体思想
例5 在
的展开式中,哪一项的二项式系数最大?
哪一项的系数最大?
解析:
解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别,令
分别为展开式的第r项和第
项的系数,仿照研究二项式系数的变化规律的方法,我们来研究本展开式各项系数的变化规律.
,
,
.
当
时,
即
当
时,
,即
的变化规律是先单调递增,后单调递减.注意到
时,
,故展开式的第三、四项的系数最大.
点评:
二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具,此处用整体思想考虑问题,观察
的变化规律,做到胸中有全局,方向明确,脉络清楚,正确得结果.
二项式系数的求和问题
1.赋值求和问题
例1设
求
的值.
解:
令
得
;令
,得
,两式相减得:
.
2.逆用定理求和问题
例2已知等比数列
的首项为
,公比为
求和:
.
解:
.
3.倒序相加求和问题
例3已知等差数列
的首项为
,公差为
求和:
.
解:
令
则
,
两式相加,得
.
又在等差数列
中,
,所以
,所以
.
4.建模求和问题
例4求和:
.
解:
此式为
的展开式中
项的系数,而
从而转化为求
展开式中
项的系数,所以
.
5.裂项求和问题
例5 求和:
.
解:
因为
,
所以
.
6.递推求和问题
例6求和:
.
解:
因为
所以
.
高考中的二项式定理问题分类解析
二项式定理问题相对独立,高考对二项式定理的考查,以二项展开式及其通项公式内容为主,题型繁多,解法灵活且较难掌握。
本文结合近年来的高考试题,将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨,希望能对大家的学习有所帮助。
1.确定二项式中有关元素
例1(1994年全国高考题)在
展开式中,x5的系数是x6系数与x4系数的等差中项,则m=____________。
解:
依题意,
,∴42m2=7m+35m3,
结合
得,m=1 。
2.求二项展开式中的常数项
例2(2001年上海高考题)在
展开式中,常数项为__________。
解:
令6-r-2r=0得,r=2,所以常数项为
。
3.求二项展开式中条件项的系数
例3(2001年全国高考题)在
的二项展开式中,x3的系数为_____________。
解:
令10-r=3得,r=7,所以x3的系数为
。
例4(1999年上海高考题)在
的展开式中,含x5项的系数是_____________。
解:
令15-5r=5得,r=2,所以含x5项的系数是
。
4.确定和(积)展开式中条件项系数
例5(1990年全国高考题)在
的展开式
中,x2的系数等于_____________。
解:
x2的系数等于四个展开式中含x2的系数和,即为
。
例6(1998年全国高考题)在
的展开式中x10的系数为__________。
解:
的展开式中x10的项为
的展开式中x10 、x8的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。
因此x10的系数为:
。
5.求展开式各项系数和(差)
例7(1989年全国高考题)如果
,那么a1+a2+…
+a7的值等于 ()
A-2B -1 C1 D2
解:
令x=0,则有a0=(1-2
0)7=1;
令x=1,则有a0+a1+a2+…+a7 =(1-2
1)7=-1 。
∴a1+a2+…+a7= -1-1= -2 。
例8(1999年全国高考题)若
则
的值为()
A 1 B-1 C0D2
解:
令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4 =
令x= -1,则有a0-a1+a2-a3+a4=
,从而
故选(A)。
6.确定展开式的最大(小)项
例9(1993年上海高考题)(x-1)9按x降幂排列的展开式中,系数最大的项是 ()
A第4项和第5项 B第5项
C第5项和第6项 D 第6项
解:
根据二项式系数的性质,(x-1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等,同时取得最大值。
但考察项的系数时,第6项系数需乘以(-1)得负,而第5项的系数为正,因此只有第5项的系数最大,而第6项的系数最小,选(B)。
7.求展开式有理数的项数
例10(1993年全国高考题)将
展开所得的x的多项式中系数为有理数
的项共有 ( )
A50项 B17项C 16项 D15项
解:
由于
是整数,要使系数为有理数,当且仅当
均为整数,即r是6的倍数。
而在0到100之间6的倍数共有17个,故选(B)。
8.利用二项式定理解整除问题
例11(1992年“三南”高考题)
除以100的余数是________________。
解:
=
∴
除以100的余数是81 。
9.利用二项式定理进行近似计算
例12(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增
加22℅,人均粮食占有量比现在提高10℅,如果人口年增长率为1℅,那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到1公顷)?
解:
设耕地平均每年至多减少x公顷,又设该地区现有人口P人,粮食单产M吨/公顷。
依题意得,
化简得
∵
∴
,即耕地平均每年至多只能减少4公顷。
10.与其它数学知识交汇考查
例13(2003年上海高考题)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列。
(1)求和:
,
;
(2)由
(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明。
解:
(1)
=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2;
=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3。
(2)归纳概括的结论为:
若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
,n为正整数。
证明如下:
。
评述:
本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。
例14(2003年江苏高考题)若a>0,n
,设y=(x-a)n,求证:
y’=n(x-a)n;
证明:
根据二项式定理可得,(x-a)n=
所以y’=
。
评述:
本题是2003年江苏高考第21题的第
(1)小问,它很好地体现了二项式定理与导数知识的交汇作用。
二项式定理的“另类”用途
二项式定理揭示了项数、系数、指数等方面的联系和规律。
一般说来,二项式定理问题相对独立,主要有确定展开式中的相关项,求各项系数和差,以及处理整除问题等等。
但二项式定理也有一些“另类”用途,它们可以看作是二项式定理应用的丰富和发展,对于提高学生思维的敏捷性和灵活性有一定的促进作用。
本文结合事例来进行说明。
1逆向求值
二项展开式通常以正向展开的应用为主,但有时需要逆向应用,这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。
例1 求值:
(1)
;
(2)
。
分析:
如果直接求解的话,第
(1)题稍微烦琐点,而第(2)题简直是无从下手。
现在先化简变形,再逆用二项式定理求值,真是“确实好多了!
”
解:
(1)设
=x,则
即
∴
=12345。
(2)∵
∴
=
。
点评:
这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。
以下这道题也曾经出现在多种资料上,很典型。
题目为求
的值,尽管面目很可憎,但是只要将分子都变成8!
则该式即为
。
例2(2003年上海高考题)已知数列{
}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列。
(1)求和:
,
;
(2)由
(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明。
解:
(1)
=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2;
=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3。
(2)归纳概括的结论为:
若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
n为正整数。
证明如下:
。
点评:
本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用,也属于逆向求值。
2求近似值
利用二项式定理进行近似计算也算是二项式定理的“另类”应用之一。
例3(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增
加22℅,人均粮食占有量比现在提高10℅,如果人口年增长率为1℅,那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到1公顷)?
解:
设耕地平均每年至多减少x公顷,又设该地区现有人口P人,粮食单产M吨/公顷。
依题意得,
化简得
∵
∴
,即耕地平均每年至多只能减少4公顷。
3 证不等式
利用二项式定理来证明不等式,很是别具一格。
简捷、流畅,令人赏心悦目。
例4 设
求证:
。
证明:
运用“和差换元”,令a=x+y,b=x-y,则a+b=2x>0,
∴左边=
=右边,
∴原不等式成立。
例5已知函数
,证明:
对于任意不小于3的正整数n,
。
分析:
直接证明难度较大。
将其进行转化为:
。
而当
时,
故得证。
解决二项式定理问题的五种意识
本文总结出了有关二项式
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二项式 定理 中的 数学 思想 方法