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华科船舶流体力学习题答案
习题二
2.1设质量力
z2222
(yyzz)i(zzxx)j
(x2xyy2)k在此力场中,正压流
体和斜压流体是否可以保持静止?
说明原因。
uvrr22r
解:
Qf(2y2z)i(2z2x)j(x2xyy2)k0
uururuvf(f)
2y32z32z32x32x32y3
固正压流体不能保持静止,斜压流体可以保持静止。
2.2在自由面以下10m深处,水的绝对压力和表压分别是多少?
假定水的密度为
3
1000kggm,大气压为101kpa。
解:
表压为:
PiPPogh=1000*9.81=98100pa.
绝对压力为:
pP!
p0=98100+101000=199100pa.
2.3正立方体水箱内空间每边长0.6m,水箱上面装有一根长30m的垂直水管,内径为25mm,
水管下端与水箱内部上表面齐平,箱底是水平的。
若水箱和管装满水(密度为
3
1000kggm),试计算:
(1)作用在箱底的静水压力;
(2)作用在承箱台面上的力。
解:
(1)
gh=1000*9.8*(30+0.6)=300186pa
gv=1000*9.8*(0.216+0.015)=2264N.
2.4
如题图
2.4
22
所示,大气压力为pa=100kNgm,底部A点出绝对压力为130kNgm,问
压力计
B和压力计C所显示的表压各是多少?
◎
-卜=
A
丄=
Im
1
腿图2-4
解:
C表显示:
PcPa
gh1=130-9
2
.81*1=120.43kNgm
B表显示:
2
PbPa
gh2=100+9.81*1*3=139.43kNgm
2.5倾斜式微压计由贮液杯和倾斜管组成,如题图2.5所示,贮液杯内自由面上的压力为大
气压力Pa,斜管接待测压力P(<Pa),若P=Pa时斜管中液柱读数为a°,试证明
PaP
g(aa°)(1
sosin)S"
式中,a为测压时斜管中液柱的读数;
s为斜管的横截面积;so为贮液杯的横截面积;为斜管的倾斜角。
证:
由公式(2.4.1)得:
PaPg(hih2)..
(1)
又h|=(aa0)sin
h?
s°=s(aa。
)
带入
(1)式中得:
PaP
g(aao)(1
s
sosin
)sin
2.7潜艇内气压计读数为P1=800mmHg,汞测压计测到的水压读数为
p2=400mmHg,若海平
面上汞测压计的大气压力为
760mmHg,海水平均密度
1026kggm
2.8用题图2.8所示装置测量贮水旗A的中心C点处的压力,测得
h=60cm,经查发现管路
中的空气没有排除,空气所占的位置如题图
2.8所示,水的密度为
1000kggm3,水银的密
度为13600kggm3,试问这会带来多大的误差。
解:
C点实际压强:
pcPaigh0.8gg1.5g
Pa0.6ig1.7g
测量值:
PcPa0.6g
实际值:
h0.6ig「7g
1
压力误差:
丛一Pc100%8.6%
Pc
h相对误差为:
—一-100%17.6%
h
2.10如题图2.10所示,圆柱容器内装水,高度为600mm,再装密度为800kggm3油,油层
高度为900mm,油面以上的压力为20kpa的空气,求作用于圆柱容器侧面上的压力中心的位置。
解:
取如图坐标系:
上半圆面形心深度为:
hc10.9
4r
=0.6452m
下半圆面形心深度为:
4rhc20.9=1.1548m
3
油ghcr=25065.1pa
hc2处的压强为:
P20.2105
作用于侧面上的力为:
油g0.9
4r
29562.6pa
F=(p1p2)S=30.88kN
0.6452
0.11
0.64
=0.6843m
0.6452
2r
2
1.1548
0.11
4r
=1.1766m
1.1548
2—r
2
上半圆面,求压力中心:
hcp
cp
hcp2
QR』1FR^h2Rh
hcpp1Sh1p2Sh20.950m
(P1P2)S
2.11船闸宽6m,关上两扇闸门正好形成120。
角的人字形(见题图2.11),闸门高在门底以上0.6m处,上铰装在底面以上5.4m处。
当闸门一侧挡水深度在底部以上一侧为1.5m时,求水的压力引起的闸门之间的作用力,以及两铰上的约束反力。
6m,下铰装
4.5m,另
/一
E*■
//AZ
顧图2.11
解:
分析其中的一扇门,一侧压力
R1ghc1S1=344kN
压力中心(1.73,1.5)m
另一侧R2ghc2S?
=38.2kN
压力中心(1.73,0.5)m
(1)以过铰接处垂线为轴
Mxl(N2
N1)—=0
2
5hci处的压强为:
Pi0.210
X=152.94kN
N=VX2Y2=305.86kN
Y=..3x=264.9kN
(2)
Ytg
X
1.732
=60°
Fx
x1x2xN2N1
0
Xi
X
152.86kN
........
(1)
My
NdN2d2X2d
5.4X
rdr...
0.66
.......
(2)
由
(1),
(2)得:
X1=-11.12kN
x2=164.0kN
Fy
丫丫2Y0
闸门之间的相互作用力
Y丫2得丫Y2=132.45kN
习题三
3.1已知二维速度场3y2i2xj求(x,y)=(2,1)点的:
(1)速度;
(2)当地加速
度;(3)迁移加速度;(4)与速度矢量平行的加速度分量;(5)与速度方向垂直的加速度分
量。
解:
3y2i2xj
(1)
(2,1)
3i
4j
(2)
a当地
t
0
(3)
x方向
a迁
x
x
y
y
3y2c0
2x6y
24i
x
y
Y方向
a迁
x
x
y
y
3y2c2
2xc0
6j
x
y
(4)
r
r
3r4
r
方向角
et
i
55
j
aa迁
a当地24i
6j
(5)agen=0
rr
4/5i3/5j
Iagen1=78/25
78/25en
12.48i
9.36j
3.2
已知二维速度场
x2
2
yx,
2xyy,压力场为p4x32y2
解:
3.3
解:
(x,y)=(2,1)点的:
加速度分量
ax,ay:
(2)压力变化罟
ax
ay
Dp
Dt
Dx
Dt
Dy
Dt
(Vg)
(Vg)
对下列速度场,式中
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
dx
ay,y0;
ax
-22,
xy
ay
2
x
cos
2
r
dy
V;
-35y
260
y]15
a为常数,求流线簇,并画出流谱。
ay;
22;
xy
sin
2
r
ax
-2x
dy=0
dx
dy
ax
ay
22
xy
22
xy
:
lny+c
x=cy
dx
dy
ay
ax
22
xy
22
xy
ay
dx
⑵
x
⑶
x2
dy
y
xdx=_ydy
dr
(4)
cos
rd
dr
sin
r
2
2
r
r
Lnr=lnsin
+c
r=csin
3.4已知xax
t2,y
ay
cosd
sin
解:
流线仝dy2axtayt
Inaxt2=-lnayt2
(axt2)(ayt2)=c1
2
t,z0,a为常数,求流线和迹线。
dz
0
z=c2
dx
2dt
axt
迹线
dy2
aytdt
dz
0dt
解非线性方程,
xatt2
.2
yaytdz0
形如yp(x)y(x)Q(x)
出少dxp(x)dxy(x)y(x)ln(y)V(x)p(x)dx
yeV(x)e山
p(x)dx
yce
p(x)dxe
p(x)dx
Qedx
att2
2t
_2
x
Ge
2
3
a
a
a
所得迹线方程y
att2
Qe
2t
2
2
3
a
a
a
z
c3
齐次方程解非齐次方程的解
3.5试推导圆柱坐标系的质量守恒方程:
—(rx)(rJ(r)
0圆柱坐标系中的微元控制体如图3.5所示。
fit®3-b
解:
drrd
dx
(r
―drrddx
-Jdrrd
dx-
(r)
drrddx0
t
r
x
rr
r
(r
x)drd
(rr)ddx
(r
)drdx
dr
rd
dx
——dx-
rdr
d0
t
x
r
微元内的质量变化沿x方向流出的质量
3.6设空间不可压流的两个分速为
2
xax
by2
2
cz,
ydxyeyzfzx
式中,
a、b、
c、d
、e、f为常数,求第三个分速
解:
质量守恒:
x
y
z
0
x
y
z
2ax
(dx
ez)
z
z
z
2ez
2
(d
2a)xz
H(x,y)
3.7如题图3.7所示,气体以速度u(x)在多孔壁圆管中流动,管径为do,气体从壁面细孔被
吸出的平均速度为v,试证明下列式成立:
_(U)4
txdo
解:
质量守恒:
nds0
cs
-[(虫)2t2
(u)
tx
]dx
』dx
x
/屯
4
(学)2
d0dxd0
3.8已知理想不可压流场
2xyi
2・
yj,试求x方向的压力梯度及(i,2)点的压力梯度
的大小,不计重力影响。
解:
动量守恒:
Di
Dt
Xi
已知不可压
2xyi
定常
2xy
Vi
p
x1
2y(2xy)2x(
2xy2
V2亠i
Xi
x
V2
亠2
X2
X2
2y3
py
_p
x
2
2xy
2y3
3.9证明柱点附近的流场
UL0x,y
U0y,z
0为N-S方程的一个精确解,式中,
U。
,L为常数,并计算压力场
(x,y).
证明:
连续方程―
N-S方程
月0、2
()x
P1
p
1
(¥
x)2
f(y)
L
x
2
L
从\2
()y
P1
p
1
(:
0
y)2
f(x)
2
L
y
L
所以p
1
2
c
2
习题四
4.1如题图4.1所示,海平面上空气通过管道被吸进真空箱,管道内的流动不考虑粘性和
opo
2
压缩性影响,现测出管道A-A截面上的静压力为9.6104Pa,求该截面气流的速度。
解:
—
2
;2(PoP)
4.2如题图4.2所示,用皮托管测量水的流速时,它的低端开口面向来流,其轴线与来流平性,管内水位高出水面5cm,求水流速度。
1
2
解:
J—P)=J2gh=0.99m/s
4.3鱼雷在5m深的水下以50kn的速度运动,根据相对性原理,这种运动可视为无穷远处来流以流速50kn绕鱼雷流动。
解:
(1)由伯努力方程:
aPabPb
兀—飞—
22
PaPb(专专)43821Pa
(2)由伯努力方程:
22
aPabPb
二—二—
A..'2(PbPa)b230m/s
开始出现空泡的航速为30m/s4.4如题图4.4所示,只要给虹吸管以足够的吸力,吸取容器中的流体形成连续的流动,这
一流动将一直持续下去直到吸干容器中的流体为止,不考虑损耗,求:
(1)出口速度
(2)
虹吸管中的最低压力。
(1)由伯努力方程:
解:
2
1
2
2
1
2
乂Q
Pa
Hg
Pa
H
2
(2)
2
2
2
1$
2Hg
2S2
.2Hg
由
P3
(HL)g
題图4.4
P3Pa(HL)g
4.5在文特利管中有空气流动。
在其最窄截面1-1处开一孔截小竖管(见题图4.5),小管插
在水中,水面在管轴线以下0.2m处,截面2-2通大气。
以知管径d仁20mm,d2=40mm,问流量多大时才能将水吸入气流中。
2
1
Pi
2
2p2
2-
又Q1s1
2S2
要将水吸入水流中,则有
3
p1p2水gh1.9610pa
214.75m/s
流量为Q2s2=0.02035m3/s
当上板以
x处
4.6两块二维平行平板各长2L,相距b(见题图406),且b< dnds ctcs Q不可压0 t dzzxzxdzb 解: xx/b 1l/b 22 xPx0p0 22 Px/2(lx) h,下孔离水面距离为 4.7一水槽在同一侧面有大小相同的两小孔,两孔在同一铅垂线上相距H(见题图4.7),求两孔射流交点的位置。 解: 宇1 H i F,、工 1j2g(Hh) 2 J \、 x1t12t2t2JHh/Ht1 4.7 y1/2g『1/2gt22h ti,2H/g x.4H(H~~h) 4.8一大贮水箱底部开有一面积为s0的小圆孔(见题图4.8),水在定常出流时孔口处的速度 为v0,试证明距离孔口下面 证: z处水流截面积为S SoVo .Vo22gz S°V°SVi S0处S处都是p0 2 2 Vi gz 2 Vi 2 所以 gz)2 S0V0 gz)2 SoVo .Vo22gz 2 4.9水槽截面积为1m,直桶形,贮水4m深。 打开底部直径为60mm的圆孔,试求两分钟后 的水深是多少? 解: SW 2 Vi 2gh J6/s)2 S>v2t 当t 3(4h) 120S时 h1.5608m 4.10水平放置的u型弯管如题图4.10所示,弯管两平行轴线相距为I,管截面积由s仁50变 到s2=10,s2截面通大气。 水流体积流量q=0.01,求水流对弯管的作用力及做用点的位置。 22 1p12p2 22 又因为qV|S2V2 V|=2m/s v2=10m/s Rx[(P1 Pa) 12]§[(P2Pa) 2]s? cos Ry[(P2 Pa) 22]ssin 代入Rx 360,Ry 0 对1-1截面由动量距方程 IR2s2l/Rx0.28l 4.11如图4.11所示,弯嘴管头 Pa) 22]S>cos 2 解.Rx[(P1Pa)1]S1[(P2 ・2 Ry[(P2Pa)2$sin r216m/s 4 PlPa12.810pa Qv1sv2S2 v14/9m/s M0.1Rx0.2Ry32Nm 4 20cm A,11 4.12如题图4.12所示,一平板垂直插入水柱内,水柱速度为30m/s,总流量为30kg/s,分流 HR]<12 量为12kg/s,试求水柱作用在平板上的力和水流偏转角。 解: 由连续方程 012 20118kg/s 设平板水流合力为F,方向向左 则: 2v2sin1v10 F2V2COS 且vv2v0贝U sin2/3 F497.5N 习题5 5.1已知Vxy2z,Vyz2x,vzx2y,求: (1)涡量及涡线方程; (2)在z=0平面的面积dS=0.0001上的涡通量。 解: (1) zyxzyXi (-)i(--)j(—)k yz-xxy (21)i(21)j(21)k ijk 所以流线方程为y=x+c1,z=y+c2 2 ⑵Jwnds2*0.5*0.00010.0001m/s 0的旋涡,求下列路线的 5.4设在(1,0)点上有o的旋涡,在(-1,0)点上有速度环流。 (1)x2y24; ⑵(x1)2y21; (3)x2,y2的方框。 (4)x0.5,y0.5的方框。 解: (1)由斯托克斯定理可知: 因为涡通量为0,所以? vdl2wnds0 ■ cs (4)由斯托克斯定理可知: 因为涡通量为0,所以? vdl0 ■ c 5.6如题图5.6所示,初始在(0,1)、(-1,0)、(0,1)和(0,-1)四点上有环量等于常 值的点涡,求其运动轨迹。 解: 取其中一点(-1,0)作为研究对象。 VCA VBA 4 2.2 VBA 2、2 vavcavbacos45vbacos45 由于四个涡相对位置将不会改变,转动角速度为: ar4 vwt 3 用极坐标表示为r=1,t 4 同理,其他点的轨迹与之相同。 5.10如题图5.10所示有一形涡,强度为,两平行线段延伸至无穷远,求x轴上各点的诱导 速度。 解: 令(0,a)点为A点,(O.-a)为B点 在OA段与OB段 V2 (cos90 4x 一22) ax (cosO 4xa Vx2("V2) (x.a2x2) 2xa Jg图5.10 习题六6.1平面不可压缩流动的速度场为 (1)Vxy,Vyx; ⑵Vxxy,Vyxy; 22c ⑶VxXy,Vy2xyy; 判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件,进而求出。 解: 存在 V0 存在 Vx(Vy) xy (1)存在山-2 (2) Vy x Vx x (3) Vx x Vydxvxdy (Vx)2 y 1(Vy) y VxdxVydy 2 乞+c (xy) y x3/3+x2/2-xy 2-y2/2+c Vy) 2x1•…-2x1 y -VydxVxdyy3/3+x2y+yx+c 6.2证明函数f=xyzt是速度势函数,而且流场不随时间变化。 证: f=xyzt 1)20 2)()0 f是速度势函数 流线方程空业竺竺理空 yztxztyxtyzxzyx 流场不随时间变化 6.3有一种二维不可压缩无旋流动,已知Vxkxy,k为常数,求Vy。 解: Q无旋(Vx)0 xy Vy2 kxVykxcy x Q不可压0 xy Vy2 kyVykyex y 22 Vyk(xy)e 6.4已知速度势,求复势和流函数: (1) Ux x2 (2) Ux y. —22, xy (3) 2 y; 、22, a)y 解: 按题意, i 应有 1) Ux Uz x -2~x 1/z —为均匀流动,叠加一偶极子y iU(iy) 2)Ux wUz Im (二)Uyizgz _y 2x i/z yi 22 xy —为均匀流动,叠加一偶极子旋转90? y iU(iy) 二)zgz 22(Xa)y Im( Uyi xi -2 x Uy 3)ln2(xa) zaw2ln za InRe(z a)2 InRe(z a)2 2 InIm(za) 2 InIm(za) lnxxa 6.5分析如下流动是由那些基本流动组成: 解: (1)匀直流点涡偶极子 (2)点源点汇两点涡 (3)两源一汇
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