届北京市海淀区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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届北京市海淀区高三上学期期末数学试题解析版
2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1•已知集合U1,2,3,4,5,6,A13,5,B2,3,4,则集合AlqB是()
A.1,3,5,6}B.1,3,5}C.1,3}D.1,5}
【答案】D
【解析】利用补集和交集的定义可求出集合AlejB.
【详解】
Q集合U1,2,3,4,5,6,A13,5,B2,3,4,则eUB1,5,6,因此,AlejB1,5.
故选:
D.
【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算,熟悉交集和补集的定义是解题的关键,考查计算能力,
属于基础题.
2•抛物线y24x的焦点坐标为()
A.1,0B.1,0C.0,1D.0,1
【答案】B
【解析】解:
由抛物线方程的特点可知,抛物线的焦点位于x轴正半轴,由2p4,
可得:
—1,即焦点坐标为1,0.
2
本题选择B选项.
22
3•下列直线与圆x1y12相切的是()
a.yxb.yxc.y2xd.y2x
【答案】A
【解析】观察到选项中的直线都过原点,且圆也过原点,只需求出圆在原点处的切线方
程即可.
【详解】
由于选项中各直线均过原点,且原点在圆上,
22
所以,圆x1y12在原点处的切线方程为yX
故选:
A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断,考查计算能力,
属于基础题
4.已知
a、bR,且ab,则()
B.sinasinb
c.
D.a2
b2
【答案】
【解析】
利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误
【详解】
对于A选项,取a1,b
对于B选项,取a,b
1
1,则ab成立,但一
a
ab成立,但sin
0,则
1
A选项错误;
b
sin0,即sina
sinb,B
选项错误;
对于C选项,由于指数函数
x
在R上单调递减,
ab,则-
3
选项正确;
对于D选项,取a1,b
则ab,但a2b2,
D选项错误.
故选:
C.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断,
常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断,
考查推理能力,
属于中等题
5.在x-
5
的展开式中,x3的系数为()
A.5
【答案】
【解析】
B.5
C.10
D.10
写出二项展开式的通项,令
X的指数为3,
求出参数的值,代入通项即可计算
出x3的系数.
【详解】
5
的展开式通项为cfX5k
k
丄C5
x
kx52k,令52k3,得
k1.
因此,x3的系数为c515.
故选:
A.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解,解题时要熟练利用二项展开式通项来计算,
考查计算能力,属于基础题•
6.已知平面向量a、b、C满足a
A.-
B.丄
A
等由
rb
ra
得
ro
C.3
2
1,则ab的值为()
rrr
c,等式两边平方可求出ab的值.
【
详
解
】
由
ra
rb
rc
r
2a
rb
2
因
此
ra
rb
故
选
:
A.
【
占
八、、
睛
】
得可ro
r」r2r2r2rr
c,等式两边平方得cab2ab,即
本题考查平面向量数量积的计算,解题的关键就是对等式进行变形,考查计算能力,属
于中等题•
7.已知、、是三个不同的平面,且
“//”的()
A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
【答案】B
【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理,
出“m//n”是“〃”的必要而不充分条件
【详解】
Im,In,则“m//n”是
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
结合充分条件和必要条件的定义可判断
如下图所示,将平面
视为三棱柱的三个侧面,设
a,将a、m、n
视为三棱柱三条侧棱所在直线,则“m//n”“〃
另一方面,若〃,且I
m,In,由面面平行的性质定理可得出m//n.
所以,“〃”
“m//n”
,因此,“m//n”是“〃”的必要而不充分条件
故选:
B.
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断,
同时也考查了空间中平行关系的判断,
考查推理能力,
属于中等题•
8.已知等边
ABC边长为3,点D在BC边上,且BDCD,
AD
中错误的是(
A.BD2
CD
cosBAD
C.2
cosCAD
D.
Si^^AD2
sinCAD
【答案】C
【解析】利用余弦定理计算出BD,结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行
判断•
【详解】
如下图所示:
Q点D在BC边上,且BDCD,
BD丄BC3,
22
由余弦定理得AD2AB2
22
BD2ABBDcos,整理得BD23BD20,
3
QBD3,解得BD
2
2,•••CD
1,则
SABD
SACD
BD
CD
BD
AD
CD
sinBAD
由正弦定理得
sinBAD
sinCAD
,所以,
2
sin—
3
sinCAD
CD
由余弦定理得
cosBADAB"
AD2BD2
2「7,同理可得cos
CAD
5刁
2ABAD
7
14
则cosBAD
2,7
144
2.
cosCAD
7
5「75
故选:
C.
【点睛】
本题考查三角形线段长、
面积以及三角函数值比值的计算,涉及余弦定理以及正弦定理
的应用,考查计算能力,属于中等题•
9•声音的等级fx(单位:
dB)与声音强度x(单位:
w/m2)满足
x
fx10lg.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB;一般说话时,
11012
声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
()
A.106倍B.108倍C.1010倍D.1012倍
【答案】B
【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2,根据题
意得出f为140,fX260,计算出为和X2的值,可计算出—的值•
X2
【详解】
设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2,
由题意可得fx110lgxL^140,解得X1102,
11012
fX210lg汪60,解得X2106,所以,'108,
11012X2
因此,喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍,
故选:
B.
【点睛】
本题考查对数函数模型的应用,同时也涉及了指数与对数式的互化,考查计算能力,属
于中等题•
10.若点N为点M在平面上的正投影,则记NfM.如图,在棱长为1的正方
体ABCDAB1GD1中,记平面ABiGD为
,平面ABCD为,点P是棱CCi上
一动点(与C、G不重合)Q!
Q2
fP.给出下列三个结论:
C.
①线段PQ2长度的取值范围是②存在点P使得PQ,//平面
③存在点P使得PQAPQ2.
其中,所有正确结论的序号是
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【答案】D
【解析】以点D为坐标原点,
DA、
DC、
DD!
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系Dxyz,设点P的坐标为
0,1,a0a1,求出点Q、Q2的坐标,
然后利用向量法来判断出命题①②③的正误
【详解】取GD的中点Q2,过点P在平面ABQQ内作PEGD,再过点E在平面CCQQ内作EQiCD,垂足为点Q.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,AD平面CC1D1D,pe平面CCiDiD,
•••PEAD,
又QPEC1D,ADIC1DD,pe平面AB1C1D,即PE,fPE,
同理可证EQ1,CQ,贝yffPfEQ1,
ffPfCQ2.
以点D为坐标原点,DA、DC、DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
坐标系Dxyz,设CP
1,则P0,1,a,C0,1,0
0,La1
2
a111
Q。
丁。
,q2o,2,2
rx
对于命题①,
1
2,则
PQ2
,命题①正确;
0a1
2
1
丄,所以,
4
对于命题②,
QCQ2
uum
PQ1
0,2
,令
,则平面
的一个法向量为
uuuu
cq2
uuunuuuu
1aa1
3a
0,解得a
所以,存在点P使得PQ//平面,命题②正确;
uuuu
对于命题③,PQ2
0,
2a
uuuuuuuu
,令PQ1PQ2
1aa2a1
42
整理得4a23a1
0,该方程无解,所以,不存在点
P使得PQ八PQ2,命题③错
误•
故选:
D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断,同时也涉及了立体几何中的新定义,
利用空间向量法来处理是解题的关键,考查推理能力,属于中等题
、填空题
11•在等差数列{an}中,若a25,a52,则a7.
【答案】0
【解析】试题分析:
设等差数列{an}的公差为d,由已知得a5a23d3,所以
d1,所以a7a25d550•
【考点】等差数列的通项公式.
1+i
12•若复数z=「,则z.
i
【答案】、、2
【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,然后利用复数的模长公式可计算
出z的值.
【详解】
1ii1inrl
Qz——一2—ii11i,因此,zJ12142.
iiv
故答案为:
2.
【点睛】
本题考查复数模的计算,同时也考查了复数的除法运算,考查计算能力,属于基础题.
2
1a0的左、右顶点.若
13•已知点A0八3,点B、C分别为双曲线冷
a
ABC为正三角形,则该双曲线的离心率为.
【答案】2
【解析】根据ABC为等边三角形求出a的值,可求出双曲线的焦距,即可得出双曲线的离心率.
【详解】
由于
ABC为正三角形,则
tanABC
0A
OB
'-3,得a1.
a
所以,
双曲线的半焦距为c
2,因此,
c2
该双曲线的离心率为e--2
a1
故答案为:
2.
【点睛】
考查计算
本题考查双曲线离心率的计算,解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量,
能力,属于基础题.
a
14•已知函数fxx在区间1,4上存在最小值,则实数a的
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- 北京市 海淀区 高三上 学期 期末 数学试题 解析