二次函数最大利润问题.docx
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二次函数最大利润问题.docx
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二次函数最大利润问题
二次函数最大利润问题
44.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 50 元,为了合理定价,投放市场进行试
销.据市场调查,销售单价是 100 元时,每天的销售量是 50 件,而销售单价每降低 1 元,
每天就可多售出 5 件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元,且每天的总成本不超过 7000 元,那
么销售单价应控制在什么范围内?
(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
45.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克.经
市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克.
(1)设每天盈利 w 元,求出 w 关于 x 的函数关系式,并说明每天盈利是否可以达到 8000
元?
(2)若该商场要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多
少元?
46.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
y=-10x+500
(1)设李明每月获得利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得 2000 元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元,如果李明想要每月获
得的利润不低于 2000 元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
47.某商场将每件进价为 160 元的某种商品原来按每件 200 元出售,一天可售出 100 件,后
来经过市场调查,发现这种商品单价每降低 2 元,其销量可增加 10 件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价 x 元,商场一天可获利润 y 元.
①若商场经营该商品一天要获利润 4320 元,则每件商品应降价多少元?
②求出 y 与 x 之间的函数关系式,当 x 取何值时,商场获利润最大?
并求最大利润值.
48.某工艺品厂生产一款工艺品.已知这款工艺品的生产成本为每件元.经市场调研发
现:
该款工艺品每天的销售量件与售价 元之间存在着如下表所示的一次函数关系.
(1)求销售量件与售价 元之间的函数关系式;
(2)设每天获得的利润为元,当售价 为多少时,每天获得的利润最大?
并求出最大
值.
49.某商场要经营一种新上市的文具,进价为 20 元/件。
试营销阶段发现:
当销售单价是 25
元时,每天的销售量为 250 件;销售单价每上涨 1 元,每天的销售数量就减少 10 件。
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 (元)之间的函
数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大.
50.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
.
(1)设李明每月获得利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得 2000 元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元,如果李明想要每月获
得的利润不低于 2000 元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
51.某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 180 元时,房间会全部住
满.当每个房间 每天的房价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的
每个房间每天支出 20 元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元.设
每个房间的房价增加 x 元(x 为 10 的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为 w 元,求 w 与 x 的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
52.某文具店销售一种进价为每本 10 元的笔记本,为获得高利润,以不低于进价进行销售,
结果发现,每月销售量 y 与销售单价 x 之间的关系可以近似地看作一次函数:
y=-5x+150,
物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于 18 元.
(1)当每月销售量为 70 本时,获得的利润为多少元?
(2)该文具店这种笔记本每月获得利润为 w 元,求每月获得的利润 w 元与销售单价 x 之
间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润,最大利润为多少元?
53.某种商品的进价为每件 50 元,售价为每件 60 元,每个月可卖出 200 件;如果每件商品
的售价上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元),设每件商品的售价上
涨 x 元(x 为整数),每个月的销售利润为 y 元。
(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?
最大利润是多少。
54.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台,空调的采购单价(元/台)与采
购数量(台)满足(,为整数);冰箱的采购单价
(元/台)与采购数量(台)满足(,为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于
1200 元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售
完.在
(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?
并求最大利润.
55.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:
张经理的采购价元/吨与采购
量 吨之间函数关系的图象如图中的折线段所示(不包含端点,但包含端点).
(1)求与 之间的函数关系式;
(2)已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨,那么张经理的采购量为多少时,老王在这次
买卖中所获的利润最大?
最大利润是多少?
56.某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为 2400 元,销售单价定为 3000
元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买
这种新型产品不超过 10 件时,每件按 3000 元销售;若一次购买该种产品超过 10 件时,
每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元,但销售单价均不低于 2600
元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为 2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品 x 件,开发公司所获的利润为 y 元,求 y(元)与 x(件)
之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一
次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,
公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
57.国家推行“节能减排\低碳经济”政策后,低排量的汽车比较畅销,某汽车经销商购进
58.
(1)已知方程 x +px+q=0(p -4q≥0)的两根为 x1、x2,求证:
(2)若二次函数 y= kx +(3k+1)x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数,且 k 为
A,B 两种型号的低排量汽车,其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 2 万元,
花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等,销售中发现 A 型
汽车的每周销量(台)与售价 (万元/台)满足函数关系式,B 型汽车
的每周销量(台)与售价 万元/台)满足函数关系式.
(1)求 A、B 两种型号的汽车的进货单价;
(2)已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的人售价高 2 万元/台,设 B 型汽车售价为 万元/
台.每周销售这两种车的总利润为万元,求与 的函数关系式,A、B 两种型号的汽
车售价各为多少时,每周销售这两种车的总利润最大?
最大总利润是多少万元?
22
x1+x2=-p,x1·x2=q.
2
2
2
(1)求证:
无论 k 取何值,方程总有两个实数根;
2
整数,求 k 的值。
60.某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的
售价每上涨 1 元.则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上
涨 x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元.
(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?
根据以上结论,请你直接
写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元?
(3)当 y=4000 时,-5(x-80) +4500=4000,
答案:
(1)y=-5x +800x-27500;
(2) x=80 时,y 最大值=4500;(3) 销售单价应该控制
44.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)根据“利润=(售价-成本)×销售量”列出方程;
(2)把
(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答;
(3)把 y=4000 代入函数解析式,求得相应的 x 值;然后由“每天的总成本不超过 7000 元”
列出关于 x 的不等式 50(-5x+550)≤7000,通过解不等式来求 x 的取值范围.
试题解析:
(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]
=(x-50)(-5x+550)
2
2
2
2
∵a=-5<0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线 x=80,
∴当 x=80 时,y 最大值=4500;
2
解得 x1=70,x2=90.
∴当 70≤x≤90 时,每天的销售利润不低于 4000 元.
由每天的总成本不超过 7000 元,得 50(-5x+550)≤7000,
解得 x≥82.
∴82≤x≤90,
∵50≤x≤100,
∴销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间.
2
在 82 元至 90 元之间.
45.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)设每千克涨价 x 元,利润为 y 元,根据总利润=每千克利润×数量建立式
子,求出 y 与 x 之间的关系,化成顶点式即可求出结论,
(2)把 y=6000 代入
(1)的解析式,根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论.
试题解析:
(1)设每千克涨价 x 元,利润为 y 元,由题意,得:
∴a=﹣20<0,∴抛物线开口向下,当 x=7.5 时,y 最大值=6125,∴每天盈利不能达到 8000 元.
(2)当 y=6000 时,,解得:
,,
∵要使顾客得到实惠,∴x=5.
答:
每千克应涨价为 5 元.
答案:
(1),不能;
(2)5.
46.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)由题意得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,利润
=(定价-进价)×销售量,从而列出关系式,然后求二次函数的最大值;
(2)令 w=2000,
然后解一元二次方程,从而求出销售单价;(3)根据抛物线的性质和图象,求出每月的成
本.
试题解析:
解:
(1)由题意,得:
w = (x-20)·y=(x-20)·()
.
答:
当销售单价定为 35 元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:
解这个方程得:
x1 = 30,x2 = 40.
答:
李明想要每月获得 2000 元的利润,销售单价应定为 30 元或 40 元.
(3)∵,∴抛物线开口向下.
∴当 30≤x≤40 时,w≥2000.
∵x≤32,∴当 30≤x≤32 时,w≥2000.
设成本为 P(元),由题意,得:
∵,∴P 随 x 的增大而减小.∴当 x = 32 时,P 最小=3600.
答:
想要每月获得的利润不低于 2000 元,每月的成本最少为 3600 元.
答案:
见解析
47.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)利润=单价利润×数量;
(2)根据题意列出关于 x 的一元二次方程进行求
解;利用二次函数的性质求出 x 和 y 的值.
试题解析:
(1)100×(200-160)=4000(元)
答案:
(1) w=-10x +700x-10000;
(2) 单价为 35 元时,该文具每天的利润最大.
、①、根据题意得:
(200-160-x)(100+5x)=4320化简得:
-20x+64=0
解得:
=4=16经检验=4,=16 都是原方程的解,且符合题意.
答:
商店一天要获利 4320 元,则商品应降价 4 元或 16 元.
②、根据题意得:
y= (200-160-x)(100+5x)=-5+4500
∴当 x=10 时,商场获得最大利润为 4500 元.
答案:
(1)4000 元
(2)①4 或 16②x=10 时,4500 元
48.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)设 y=kx+b(k≠0),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;
(2)根据定价求出销售量,再根据利润等于每一件的利润乘以销售量计算即可得解.
试题解析:
(1)设 y=kx+b(k≠0),
∵x=70 时,y=3000,x=90 时,y=1000,
∴,
解得,
所以 y=-100x+10000;
(2)定价为 80 元时,y=-100×80+10000=2000,
每天获得的利润=(80-60)×2000=40000 元.
答案:
(1) y=-100x+10000;
(2) 定价为 80 元, 40000 元.
49.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)根据利润=(单价-进价)×销售量,列出函数关系式即可;
(2)根据
(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;
试题解析:
(1)由题意得,销售量=250-10(x-25)=-10x+500,
则 w=(x-20)(-10x+500)
2
22
∵-10<0,
∴函数图象开口向下,w 有最大值,
当 x=35 时,wmax=2250,
故当单价为 35 元时,该文具每天的利润最大.
2
50.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)根据每月获得利润=一件的利润×每月销售量,用 x 表示出 W,然后根据
二次函数知识解决问题;
(2)令 W=2000.得,解方程即可;
(3)由
(2)可得,又物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元,
所以,.
试题解析:
(1)=(x-20)(-10 x +500)=,所以
当 x =35 时,
=2250
(2)令 W=2000,则,解得:
(3)由题意得:
且,,当,成本
满足,所以成本最少要 3600 元
答案:
见解析
51.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)理解每个房间的房价每增加 x 元,则减少房间间,则可以得到 y 与 x
之间的关系;
(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去 20 元,每间的利润与所订的房间数的积就是
利润;
(3)求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解.
试题解析:
(1)由题意得:
y=50-,且 0≤x≤160,且 x 为 10 的正整数倍.
2
22
抛物线的对称轴是:
x=170,抛物线的开口向下,当 x<170 时,w 随 x 的增大而增大,
但 0≤x≤160,因而当 x=160 时,即房价是 340 元时,利润最大,
此时一天订住的房间数是:
50-=34 间,
最大利润是:
34×(340-20)=10880 元.
答:
一天订住 34 个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为 10880 元.
答案:
(1)y=50-,且 0≤x≤160,且 x 为 10 的正整数倍.
(2)w=-
2
元.
52.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)当 y=70 时,70=-5x+150
解得 x=16
∴ (16-10)×70=420 元.
(2)(x-10)×(-5x+150)
=
∵
∴ 自变量的取值范围为
(3)
∵ a=-5<0
∴ 当时,w 随 x 的增大而增大,
∴ 当 x=18 时,w 有最大值=480 元
答:
当销售单价定为 18 元时,每月可获得最大利润,最大利润为 480 元.
答案:
(1)420 元;
(2)();(3)当销售单价
定为 18 元时,每月可获得最大利润,最大利润为 480 元
53.考点:
2.4 二次函数的应用
试题解析:
试题分析:
(1)根据题意,y=(60-50+x)(200-10x),
答案:
(1)y=10x +100x+2000(0 (2)定价 65 元时,最大月利润 y 为 2250 元。 2 2 2 当 x=5 时,最大月利润 y 为 2250 元。 定价 65 元 2 54.考点: 2.4 二次函数的应用 试题解析: 试题分析: (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,然后根据 数量和单价列出不等式组,求解得到 x 的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方 案; (2)设总利润为 W 元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关 系式并整理成顶点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可. 试题解析: (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台, 由题意得,, 解不等式①得,, 解不等式②得,, 所以,不等式组的解集是, ∵x 为正整数, ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15, 所以,该商家共有 5 种进货方案; (2)设总利润为 W 元,空调的采购数量为 x 台, , 则 W== =, 当时,W 随 x 的增大而增大, ∵, W=(-200x+12000-2800)x=-200x +9200x, 当 10<x≤50 时,y=[3000-10(x-10)-2400]x,即 y=-10x +700x; ∴当 x=15 时,W 最大值=(元), 答: 采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元. 答案: (1)5; (2)15,10650. 55.考点: 2.4 二次函数的应用 试题解析: 试题分析: (1)根据函数图象得出分段函数解析式,注意 x 的取值范围; (2)利用函 (1)中函数解析式表示出 w,进而利用函数性质得出最值. 试题解析: (1)根据图象可知当 0<x≤20 时, (2)根据上式以及老王种植水果的成本是 2 800 元/吨, 由题意得: 当 0<x≤20 时, W=(8000-2800)x=5200x, W 随 x 的增大而增大,当 x=20 时,W 最大=5200×20=104000 元, 当 20<x≤40 时, 2 当 x=23 时, W 最大=105800 元. 故采购量为 23 吨时,老王在这次买卖中所获的利润 W 最大,最大利润是 105800 元. 答案: 采购量为 23 吨时,老王在这次买卖中所获的 利润 W 最大,最大利润是 105800 元. 56.考点: 2.4 二次函数的应用 试题解析: (1)设件数为 x,依题意,得 3000-10(x-10)=2600,解得 x=50。 答: 商家一次购买这种产品 50 件时,销售单价恰好为 2600 元。 (2)当 0≤x≤10 时,y=(3000-2400)x=600x; 2 当 x>50 时,y=(2600-2400)x=200x。 ∴。 2 此时,销售单价为 3000-10(x-10)=2750 元, 答: 公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 答案: (1)商家一次购买这种产品 50 件时,销售单价恰好为 2600 元。 (2) 。 (3)公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 57.考点: 2.4 二次函数的应用 试题解析: 试题分析: (1)设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元,根据花 50 万元购进 A 型汽车 的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等,可列出方程=,解方程即可; (2) 根据每周销售这两种车的总利润=每周销售 A 型汽车的利润+每周销售 B 型汽车的利润, 可求出与 的函数关系式,然后利用二次函数的性质可解决问题. 试题解析: 解: (1)设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元, 依题意得: =, 解得: m=10, 检验: m=10 时,m≠0,m﹣2≠0, 故 m=10 是原分式方程的解, 故 m﹣2=8. 答: A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元,B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元; 6 分 (2)根据题意得出: W=(t+2﹣10)[﹣(t+2)+20]+(t﹣8)(﹣t+14) 2 2 ∵a=﹣2<0,抛物线开口向下, ∴当 t=12 时,W 有最大值为 32, 12+2=14, 答: A 种型号的汽车售价为 14 万元/台,B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时,每周销售这 两种车的总利润最大,最大总利润是 32 万元. 答案: (1)A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元,B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元 (2)A 种型号的汽车售价为 14 万元/台,B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时,每周销售 这两种车的总利润最大,最大总利润是 32 万元. 58.考点: 2.5 二次函数与一元二次方程 试题分析: (1)先计算判别式得值得到 (3k+1) -4k×3=(3k-1) ,然后根据非负数的 试题解析: (1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出 x1、x2 的值,再求出两根 的和与积即可】 2 2 ∵d=|x1﹣x2|, 222222 2 2 2 59.考点: 2.5 二次函数与一元二次方程 试题解析: 22 性质得到 ,则根据判别式的意义即可得到结论; 2 2 性可确定整数 k 的值. 2 2 2 ∴ , ∴无论 k 取何值,方程总有两个实数根; 2 x=, x1=-,x2=-3, 2 (3)当 y=2200 时,-10x +110x+2
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