微观经济学计算题.docx
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微观经济学计算题
第二章需求、供给
计算题
2、假设商品的需求曲线为直线,商品的需求曲线也为直线与的需求线在的那一点相交在的那一点上的需求弹性的绝对值只有的的需求弹性的绝对值的一半,请根据上述条件求的需求函数。
解当时且故设商品的需求函数为
由此可得由于得故商品的需求函数为
3、某人每周收入元,全部花费在和两种商品上,他的效用函数为,元,元。
求()为获得最大效用,他会购买几单位和?
()货币的边际效用和总效用各多少?
()假如的价格提高,的价格不变,为使他保持原有的效用水平,收入必须增加多少?
解()由,得,,根据消费者均衡条件得
考虑到预算方程为
解得,
()货币的边际效用
总效用
()提价后新的消费者均衡条件为
由题意知,解得,
将其代入预算方程元
元
因此,为保持原有的效用水平,收入必须增加元。
、证明需求曲线上的点均为单一弹性
证明:
故,为单一弹性。
、年月某外国城市公共汽车票价从美元提高到美元年月的乘客为万次与年同期相比减少了求需求的弧弹性
解由题设
于是≈
故需求弹性约为
、设汽油的需求价格弹性为,其价格现为每加仑美元,试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少%?
解:
因为()()要使,则有
所以每加仑汽油价格要上涨美元
、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为,软盘驱动器的弹性为,如果公司将两种产品都提价,那么这些产品的销售将会怎样变化?
解:
因为芯片弹性()()所以
因为软盘驱动器弹性()()所以
即提价后,芯片销售下降,软盘驱动器销售下降。
、消费两种商品的消费的效用函数为:
的价格均为,消费者的收入为,求价格上升为,所带来的替代效应和收入效应。
解:
因为得
又因为得
购买单位与单位,在价格为时需要的收入
在实际收入不变时,且
得,可以看出由于替代效应对商品的购买减少单位。
再来看价格总效应,当时,且
得
由此可见价格总效应使商品的购买减少单位,收入效应与替代效应各为单位。
、某消费者消费和两种商品时,无差异曲线的斜率处处是,是商品的消费量,是商品的消费量。
()说明对的需求不取决于的价格,的需求弹性为;(),,该消费者均衡时的为多少?
()对的恩格尔曲线形状如何?
对的需求收入弹性是多少?
解:
()消费者均衡时,,即,
又因为,故,可见对的需求不取决于的价格。
由于
已知,,消费者均衡时,。
()因为,所以,
若以为纵轴,为横轴,则恩格尔曲线是从原点出发,一条向右上方倾斜的直线,其斜率是。
对的需求收入弹性()()
、已知销售商品的总收益()方程为:
,计算当边际收益为时的点价格弹性。
解:
由,得
当时,,考虑到,得
、公司和公司是机床行业的两个竞争者,这两家公司的主要产品的需求曲线分别为:
,,这两家公司现在的销售量分别为单位和单位。
()求和当前的价格弹性;()假定降价后,使增加到单位,同时导致的销售量下降到单位,试问公司产品的交叉价格弹性是多少?
()假定公司的目标是谋求销售收入最大化,你认为它降价在经济上是否合理?
解:
()
()由题设,
则
于是
根据得知公司产品在价格时需求价格弹性为说明缺乏弹性
这时降价会使销售收入减少故降价不合理
第三章消费者行为理论
计算题
、某人每周花元买和效用函数为求在均衡状态下他如何购买效用最大
解
构造拉格朗日函数得
求得又得
、求最佳需求,
如果效用函数变为而预算约束不变则最佳需求会改变吗?
)如果效用函数不变,而预算约束变为则最佳需求会改变吗?
.解:
运用拉格朗日函数,
显然,()求得:
或
代入总效用函数可将舍去因此最佳需求为
当时,同理求得即最佳需求不变
当预算约束变为时同理求得最佳需求也不变
、某人的收入为元,全部用于购买商品和商品(各自的价格分别为、元),其效用函数为。
假设个人收入税率为,商品的消费税率为。
为实现效用极大化,该人对商品、的需求量应分别为多少?
解:
()
()
预算约束式:
由此可得代入的得
)
由()得
由于时不合题义,所以该人需求量为,。
、所有收入用于购买的一个消费者的效用函数为,收入为,的价格为,当的价格由上升至时,其补偿收入(为维持效用水平不变所需的最小收入)是多少?
解:
最初的预算约束式为
效用极大化条件
由此得
价格变化后,为维持效用水平,在所有组合中所需收入为
最小化条件(在的约束条件下)
解得
、若某消费者的效用函数为,他会把收入的多少用于商品上?
解由,得,,根据消费者均衡条件得,
变形得:
(),将其代入预算方程得(),
即收入中有用于购买商品。
、设某消费者的效用函数为();消费者的收入为两商品的价格分别为,;求对于、两商品的需求。
解构造拉格朗日函数
对、分别求一阶偏导得代入
得
、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数,和对商品的消费量,购买的支出全部来源于其劳动天数所得的工资。
假设日工资为元,商品的价格为元,问该人若想实现效用最大化(),则他每年应安排多少个劳动日?
解:
预算约束式为,即()
构造拉格朗日函数)
对、分别求一阶偏导得,进而得,,
即该人每年应安排个工作日
、消费,两种商品的消费者的效用函数为,两种商品的价格分别为,,消费者收入为,求其对,的需求量。
解:
()
效用极大
解得,,
或时,不合题意
所以,。
、令消费者的需求曲线为并假定每单位商品征收单位的销售税,使得他支付的价格提高到。
证明,他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。
解设价格为时,消费者的需求量为,由得()。
又设价格为时,消费者的需求量为,则
消费者剩余的损失
∫∫
∫
∣
政府征税而提高的收益
消费者剩余损失政府征税得到的收益
∣
()
因为、、所以()
因此,消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。
第四章生产者行为理论
计算题
、生产函数为,现令,求出和。
解:
,
、假定某大型生产企业,有三种主要产品、、,已知它们的生产函数分别为:
试求这三种产品的生产规模报酬性质
解:
产品的规模报酬递减
产品的规模报酬递增
产品的规模报酬不变
、已知生产函数为(,)(),求解()劳动的边际产量及平均产量函数;()劳动边际产量的增减性。
解:
a劳动的边际产量
劳动的平均产量()
()因为得:
所以边际产量函数为减函数。
、某企业使用资本和劳动生产一种小器具,在短期中,资本固定,劳动可变,短期生产函数为X=-L3+24L2+240L其中,X是小器具的每周生产量,L是雇佣工人的数量,每个工人一周工作40小时,工资率为12元/小时。
()计算企业在下列情况下L的取值范围:
⑴ 第一阶段⑵ 第二阶段⑶ 第三阶段
()使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少?
()产品以一定的价格出售,使得企业每周可能的最大纯利是1096元,为了获得这样多的利润,必须雇佣16个工人,问企业的总固定成本是多少?
解:
A区分三个生产阶段关键在于确定最大和=0所对应的数值:
AP=-L2+24L+240
所以dAP/dL=-2L+24L令其为得:
=12检验当<12时是上升的。
=-3L2+48L+240=0
所以 L2-16L-80=0
所以 L=20时 MP=0 当L>时dMP/dL=-6L+48<0
所以 MP对于所有的L>20均小于零。
因此:
⑴第一阶段 0<L<12
第二阶段 12<L<20
第三阶段 L>20
当P=minAVC时应停产。
minAVC与maxAP是一致的。
从A可知:
L=12而L=12时,由生产函数算出x=4608。
每周工资W=12元40=480元
AVC=WL/X=1.25元
所以最低价格是1.25元。
要使利润最大,应使W=MRP=MPPX
所以PX=W/MP L=16时,W=480 MP=240 P=2元
由生产函数知L=16时,L=5888
因此 总收益=2元5888=11776元
TVC=480元16=7680A元
所以TFC+利润=4096元
若利润=1096元,则TFC=3000元
、某企业仅生产一种产品,唯一可变要素是劳动,也有固定成本。
短期生产函数为
x=-01L3+6L2+12L,
其中,x是每周产量,单位为吨,L是雇佣工人数,问:
A劳动的平均实物产量最大时,需雇佣多少工人?
劳动的边际实物产量最大时,需雇佣多少工人?
平均可变成本最小时,生产多少x?
每周工资360元,x的价格为30元/吨,利润最大时,生产多少x?
如果工资为每周510元,x的价格多大时,企业不扩大或减小生产。
x的价格10元/吨,总固定成本15000元,若企业发现只值得雇佣36个工人,每周纯利润是多少?
解:
A由生产函数=-03+6L2+12L得
X/L=-01L2+6L+12
所以令d(X/L)/dL=-02L+6=0则L=30
由生产函数得dX/dL=-03L2+12L+12
令d2X/dL2=-06L+12=0所以L=20
由A知:
L=30时,X/L最大,此时WL/X最小。
由该生产函数求得:
L=30时,X=3060
利润最大的条件是:
MRP=PMP=W
MP=W/P=-03L2+12L+12=12
所以03L=12所以L=40
既然L>30时,AP>MP(见A部分)所以进行生产是合算的。
当L=40时,X=3680
停止扩大生产点是AP的最大点,因此由(A)知,L=30
利润最大的条件是:
MP=W/P
=30时,MP=102=510/P所以P=5元
MP=W/P当L=36时,MP=55.2=W/10
所以W=552当L=36,X=3542.4
总收益=3542.410=35424
TVC=55236=19872
所以TFC+利润=15552
TFC=15000
利润=552元
6、假定某厂商只使用一种生产要素劳动进行生产,生产函数为求劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。
解因为则
7、已知厂商的生产函数为,又设元元求该厂商生产单位产品时,应使用多少单位的和才能使成本降至最低?
解:
(),()
要实现成本最小化,即要求,可得()
于是有(),因此(),()
8、证明在柯布道格拉斯生产函数中,、分别为资本和劳动的产出弹性。
证明:
柯布道格拉斯生产函数记为:
,
计算题
、某企业的平均可变成本为,为平均可变成本,为产量,当市场价格为时,该企业利润为,问该企业的固定成本是多少?
解:
因为利润()且当时,,得
(),所以
考虑到()()
根据,得产量,因此
该企业的固定成本是单位。
、某企业短期总成本函数为()。
()当达到最小值时的产量是多少?
()当达到最小值时的产量是多少?
解:
()()所以当时达最小值
()()()()
所以当时达最小
4、生产函数劳动和资本价格分别为和求相应的成本函数
解:
生产者均衡时,,即,,
解得()
5、考虑以下生产函数在短期中,令,,,,推导出短期可变成本函数和平均可变成本函数。
解:
在短期中,为固定要素,、为可变要素
则
由得
由此可得
代入生产函数
所以
即短期总可变成本函数为,平均可变成本函数为。
、公司是世界上电子计算机的主要制造商,根据该公司的一项资料,公司生产某种型号计算机的产量范围为到,在此范围内,总成本函数为:
式中总成本
产量
问题一:
如果该种机型的全部市场为台,且所有企业的长期总成本函数都相同,那么占有市场份额的企业比占有市场份额的企业有多大的成本优势?
问题二:
长期边际成本为多少?
问题三:
是否存在规模经济?
解:
()若占有的市场份额,为,
平均成本则为()美元。
若占有的市场份额,为,
则平均成本为()美元
所以占有市场份额的企业的平均成本比占有市场份额的企业的平均成本低。
()长期边际成本为美元,在到的产量范围内,边际成本为常数。
()存在规模经济。
因为长期平均成本为(),越大,平均成本越小。
、已知某厂商的生产函数为又设元元求总成本为元时厂商均衡的、与的值。
解:
()()
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