最新同济第六版高数答案高等数学课后习题解答.docx
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最新同济第六版高数答案高等数学课后习题解答
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)
习题3-3
1.按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.
解设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4.因为
f(4)=-56,
f'(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f''(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f'''(4)=(24x-30)|x=4=66,
f(4)(4)=24,
所以
«SkipRecordIf...»
=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.
2.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.
解因为
f'(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),
f''(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),
f'''(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),
f(4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),
f(5)(x)=360(2x-3),
f(6)(x)=720;
f(0)=1,f'(0)=-9,f''(0)=60,f'''(0)=-270,
f(4)(0)=720,f(5)(0)=-1080,f(6)(0)=720,
所以
«SkipRecordIf...»
=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.
3.求函数«SkipRecordIf...»按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.
解因为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»(0<θ<1).
4.求函数f(x)=lnx按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.
解因为
f'(x)=x-1,f''(x)=(-1)x-2,f'''(x)=(-1)(-2)x-3,⋅⋅⋅,
«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»(k=1,2,⋅⋅⋅,n+1),
所以
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
5.求函数«SkipRecordIf...»按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.
解因为
f(x)=x-1,f'(x)=(-1)x-2,f''(x)=(-1)(-2)x-3,⋅⋅⋅,
«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»(k=1,2,⋅⋅⋅,n),
所以«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»(0<θ<1).
6.求函数f(x)=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.
解因为
f'(x)=sec2x,
f''(x)=2secx⋅secx⋅tanx=2sec2x⋅tanx,
f'''(x)=4secx⋅secx⋅tan2x+2sec4x=4sec2x⋅tan2x+2sec4x,
f(4)(x)=8sec2x⋅tan3x+8sec4x⋅tanx+8sec4x⋅tanx«SkipRecordIf...»;
f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=0,f'''(0)=2,
所以«SkipRecordIf...»(0<θ<1).
7.求函数f(x)=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.
解因为
f'(x)=ex+xex,
f''(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,
f'''(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex,⋅⋅⋅,
f(n)(x)=nex+xex;
f(k)(0)=k(k=1,2,⋅⋅⋅,n),
所以«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
8.验证当«SkipRecordIf...»时,按公式«SkipRecordIf...»计算ex的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求«SkipRecordIf...»的近似值,使误差小于0.01.
解因为公式«SkipRecordIf...»右端为ex的三阶麦克劳林公式,其余项为
«SkipRecordIf...»,
所以当«SkipRecordIf...»时,按公式«SkipRecordIf...»计算ex的误差
«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...».
9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差:
(1)«SkipRecordIf...»;
(2)sin18︒.
解
(1)设«SkipRecordIf...»,则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»(ξ介于27与x之间).
于是«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,
其误差为
«SkipRecordIf...».
(2)已知
«SkipRecordIf...»(ξ介于0与x之间),
所以sin18︒«SkipRecordIf...»,
其误差为
«SkipRecordIf...».
10.利用泰勒公式求下列极限:
(1)«SkipRecordIf...»;
(2)«SkipRecordIf...»;
(3)«SkipRecordIf...».
解
(1)«SkipRecordIf...».
因为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...».
(2)«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
(3)«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
习题3-4
1.判定函数f(x)=arctanx-x单调性.
解因为«SkipRecordIf...»,且仅当x=0时等号成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调减少.
2.判定函数f(x)=x+cosx(0≤x≤2π)的单调性.
解因为f'(x)=1-sinx≥0,所以f(x)=x+cosx在[0,2π]上单调增加.
3.确定下列函数的单调区间:
(1)y=2x3-6x2-18x-7;
(2)«SkipRecordIf...»(x>0);
(3)«SkipRecordIf...»;
(4)«SkipRecordIf...»;
(5)y=(x-1)(x+1)3;
(6)«SkipRecordIf...»;
(7)y=xne-x(n>0,x≥0);
(8)y=x+|sin2x|.
解
(1)y'=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y'=0得驻点x1=-1,x2=3.
列表得
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
y'
+
0
-
0
+
y
↗
↘
↗
可见函数在(-∞,-1]和[3,+∞)内单调增加,在[-1,3]内单调减少.
(2)«SkipRecordIf...»,令y'=0得驻点x1=2,x2=-2(舍去).
因为当x>2时,y>0;当0 (3)«SkipRecordIf...»,令y'=0得驻点«SkipRecordIf...»,x2=1,不可导点为x=0. 列表得 x (-∞,0) 0 (0,«SkipRecordIf...») «SkipRecordIf...» («SkipRecordIf...»,1) 1 (1,+∞) y' - 不存在 - 0 + 0 - y ↘ ↘ 0 ↗ ↘ 可见函数在(-∞,0),«SkipRecordIf...»,[1,+∞)内单调减少,在«SkipRecordIf...»上单调增加. (4)因为«SkipRecordIf...»,所以函数在(-∞,+∞)内单调增加. (5)y'=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2«SkipRecordIf...».因为当«SkipRecordIf...»时,y'<0;当«SkipRecordIf...»时,y'>0,所以函数在«SkipRecordIf...»内单调减少,在«SkipRecordIf...»内单调增加. (6)«SkipRecordIf...»,驻点为«SkipRecordIf...»,不可导点为«SkipRecordIf...»,x3=a. 列表得 x «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» a (a,+∞) y' + 不存在 + 0 - 不存在 + y ↗ ↗ ↘ ↗ 可见函数在«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,(a,+∞)内单调增加,在«SkipRecordIf...»内单调减少. (7)y'=e-xxn-1(n-x),驻点为x=n.因为当0 (8)«SkipRecordIf...»(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅), «SkipRecordIf...»(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅). y'是以π为周期的函数,在[0,π]内令y'=0,得驻点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,不可导点为«SkipRecordIf...». 列表得 x «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» y' + 0 - 不存在 + 0 - y ↗ ↘ ↗ ↘ 根据函数在[0,π]上的单调性及y'在(-∞,+∞)的周期性可知函数在«SkipRecordIf...»上单调增加,在«SkipRecordIf...»上单调减少(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅). 4.证明下列不等式: (1)当x>0时,«SkipRecordIf...»; (2)当x>0时,«SkipRecordIf...»; (3)当«SkipRecordIf...»时,sinx+tanx>2x; (4)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»; (5)当x>4时,2x>x2; 证明 (1)设«SkipRecordIf...»,则f(x)在[0,+∞)内是连续的.因为 «SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...», 所以f(x)在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即 «SkipRecordIf...», 也就是«SkipRecordIf...». (2)设«SkipRecordIf...»,则f(x)在[0,+∞)内是连续的.因为 «SkipRecordIf...», 所以f(x)在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即 «SkipRecordIf...», 也就是«SkipRecordIf...». (3)设f(x)=sinx+tanx-2x,则f(x)在«SkipRecordIf...»内连续, f'(x)=cosx+sec2x-2«SkipRecordIf...». 因为在«SkipRecordIf...»内cosx-1<0,cos2x-1<0,-cosx<0,所以f'(x)>0,从而f(x)在«SkipRecordIf...»内单调增加,因此当«SkipRecordIf...»时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx-2x>0, 也就是sinx+tanx>2x. (4)设«SkipRecordIf...»,则f(x)在«SkipRecordIf...»内连续, «SkipRecordIf...». 因为当«SkipRecordIf...»时,tanx>x,tanx+x>0,所以f'(x)在«SkipRecordIf...»内单调增加,因此当«SkipRecordIf...»时,f(x)>f(0)=0,即 «SkipRecordIf...», 也就是«SkipRecordIf...». (5)设f(x)=xln2-2lnx,则f(x)在[4,+∞)内连续,因为 «SkipRecordIf...», 所以当x>4时,f'(x)>0,即f(x)内单调增加. 因此当x>4时,f(x)>f(4)=0,即xln2-2lnx>0,也就是2x>x2. 5.讨论方程lnx=ax(其中a>0)有几个实根? 解设f(x)=lnx-ax.则f(x)在(0,+∞)内连续,«SkipRecordIf...»,驻点为«SkipRecordIf...». 因为当«SkipRecordIf...»时,f'(x)>0,所以f(x)在«SkipRecordIf...»内单调增加;当«SkipRecordIf...»时,f'(x)<0,所以f(x)在«SkipRecordIf...»内单调减少.又因为当x→0及x→+∞时,f(x)→-∞,所以如果«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,则方程有且仅有两个实根;如果«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,则方程没有实根.如果«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,则方程仅有一个实根. 6.单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子: f(x)=x+sinx. 解单调函数的导函数不一定为单调函数. 例如f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上, f'(x)=1+cosx≥0, 这就明f(x)在(-∞,+∞)内是单调增加的.f''(x)=-sinx在(-∞,+∞)内不保持确定的符号,故f'(x)在(-∞,+∞)内不是单调的. 7.判定下列曲线的凹凸性: (1)y=4x-x2; (2)y=shx; (3)«SkipRecordIf...»(x>0); (4)y=xarctanx; 解 (1)y'=4-2x,y''=-2, 因为y''<0,所以曲线在(-∞,+∞)内是凸的. (2)y'=chx,y''=shx.令y''=0,得x=0. 因为当x<0时,y''=shx<0;当x>0时,y''=shx>0,所以曲线在(-∞,0]内是凸的,在[0,+∞)内是凹的. (3)«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...». 因为当x>0时,y''>0,所以曲线在(0,+∞)内是凹的. (4)«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...». 因为在(-∞,+∞)内,y''>0,所以曲线y=xarctgx在(-∞,+∞)内是凹的. 8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y=x3-5x2+3x+5; (2)y=xe-x; (3)y=(x+1)4+ex; (4)y=ln(x2+1); (5)y=earctanx; (6)y=x4(12lnx-7), 解 (1)y'=3x2-10x+3,y''=6x-10.令y''=0,得«SkipRecordIf...». 因为当«SkipRecordIf...»时,y''<0;当«SkipRecordIf...»时,y''>0,所以曲线在«SkipRecordIf...»内是凸的,在«SkipRecordIf...»内是凹的,拐点为«SkipRecordIf...». (2)y'=e-x-xe-x,y''=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2).令y''=0,得x=2. 因为当x<2时,y''<0;当x>2时,y''>0,所以曲线在(-∞,2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2,2e-2). (3)y'=4(x+1)3+ex,y''=12(x+1)2+ex. 因为在(-∞,+∞)内,y''>0,所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-∞,+∞)内是凹的,无拐点. (4)«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».令y''=0,得x1=-1,x2=1. 列表得 x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y'' - 0 + 0 - y ⋂ ln2 拐点 ⋃ ln2 拐点 ⋂ 可见曲线在(-∞,-1]和[1,+∞)内是凸的,在[-1,1]内是凹的,拐点为(-1,ln2)和(1,ln2). (5)«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».令y''=0得,«SkipRecordIf...». 因为当«SkipRecordIf...»时,y''>0;当«SkipRecordIf...»时,y''<0,所以曲线y=earctgx在«SkipRecordIf...»内是凹的,在«SkipRecordIf...»内是凸的,拐点是«SkipRecordIf...». (6)y'=4x3(12lnx-7)+12x3,y''=144x2⋅lnx.令y''=0,得x=1. 因为当0 9.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式: (1)«SkipRecordIf...»(x>0,y>0,x≠y,n>1); (2)«SkipRecordIf...»; (3)«SkipRecordIf...»(x>0,y>0,x≠y). 证明 (1)设f(t)=tn,则f'(t)=ntn-1,f''(t)=n(n-1)tn-2.因为当t>0时,f''(t)>0,所以曲线f(t)=tn在区间(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x>0,y>0,x≠y有 «SkipRecordIf...», 即«SkipRecordIf...». (2)设f(t)=et,则f'(t)=et,f''(t)=et.因为f''(t)>0,所以曲线f(t)=et在(-∞,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x,y∈(-∞,+∞),x≠y有 «SkipRecordIf...», 即«SkipRecordIf...». (3)设f(t)=tlnt,则f'(t)=lnt+1,«SkipRecordIf...». 因为当t>0时,f''(t)>0,所以函数f(t)=tlnt的图形在(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x>0,y>0,x≠y有 «SkipRecordIf...», 即«SkipRecordIf...». 10.试证明曲线«SkipRecordIf...»有三个拐点位于同一直线上. 证明«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...». 令y''=0,得x1=-1,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...». 例表得 x (-∞.-1) -1 «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» y' - 0 + 0 - 0 + y ⋂ -1 ⋃ «SkipRecordIf...» ⋂ «SkipRecordIf...» ⋃ 可见拐点为(-1,-1),«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».因为 «SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...», 所以这三个
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