33
5b>c.
其中含所有正确结论的选项是()
A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号,从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),则得②的判断;根据图象经过
(-1,0)可得到a、b、c之间的关系,从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间可以判断c的大小得出④的正误.
【解答】解:
①•••函数开口方向向上,
a>0;
•••对称轴在y轴右侧
•••ab异号,
•••抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
CV0,
abc>0,
故①正确;
2•••图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,
•••图象与x轴的另一个交点为(3,0),
•••当x=2时,yV0,
•4a+2b+cv0,
故②错误;
3•••图象与x轴交于点A(-1,0),
•••当x=-1时,y=(-1)2a+bx(-1)+c=0,
•a-b+c=0,即卩a=b-c,c=b-a,
•••对称轴为直线x=1
•1=1,即卩b=-2a,
2a
•c=b-a=(-2a)-a=-3a,
222
•4ac-b=4?
a?
(-3a)-(-2a)=-16aV0
•/8a>0
2
•4ac-bV8a
故③正确
4•••图象与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间,
•-2vcV-1
•-2v-3av-1,
•>a>;
33
故④正确
5•••a>0,
•b-c>0,即卩b>c;
故⑤正确;
故选:
D.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.
2.(2016?
枣庄)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象如图所示,给出以下四个结论:
①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac-b2v0;其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,可得c=0,所以abc=0;然后根据x=1时,yv0,可得a+b+cv0;再根据图象开口向下,可得av0,图象的对称轴为x=-,可得-',bv0,所以b=3a,a>b;最后根据二次
22a2
函数y=ax+bx+c图象与x轴有两个交点,可得△>0,所以b-4ac>0,4ac-b2v0,据此解答即可.
【解答】解:
•二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点,
二c=0,
二abc=0
•••①正确;
Ix=1时,yv0,
•a+b+cv0,
•②不正确;
•••抛物线开口向下,
•av0,
•••抛物线的对称轴是x=-丄
b_3
药二巧
bv0,
•b=3a,
又Iav0,bv0,
a>b,
•••③正确;
•••二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点,
•△>0,
22
•b-4ac>0,4ac-bv0,
•••④正确;
综上,可得
正确结论有3个:
①③④.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题
的关键是要明确:
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当av0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即abv0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).
3.(2016?
随州)二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的部分图象如图所示,图象过点
(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
(1)4a+b=0;
(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(-3,yj、点B(-±,y?
)、点C(丄,ya)在该函
22
数图象上,贝UyivysVy2;(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为xi和X2,且xivX2,则xiV-1v5vX2.其中正确的结论有()
0;2
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】
(1)正确.根据对称轴公式计算即可.
(2)错误,利用x=-3时,yv0,即可判断.
(3)正确•由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.
(4)错误•禾U用函数图象即可判断.
(5)正确•利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.
【解答】解:
(1)正确.•••-」_=2,
2a
二4a+b=0.故正确.
(2)错误.Ix=-3时,yV0,
二9a—3b+cv0,
•••9a+cv3b,故
(2)错误.
(3)正确.由图象可知抛物线经过(-
1,0)和(5,0),
a-b+c=0
L25a+5b+c~0
解得
fb=-4a
[匚二-5日
...8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,
•/av0,
8a+7b+2c>0,故(3)正确.
(4)错误,:
点A(-3,yi)、点B(-*,y2)、点C(壬,y3),v|;-2二丄,2-(_1)=',
2222
v:
22
•••点C离对称轴的距离近,.ya>y2,
vav0,-3v-丄v2,
2
•yivy2
•yi(5)正确.vav0,
••(x+1)(x-5)=-3/a>0,
即(x+1)(x-5)>0,
故xv-1或x>5,故(5)正确.
•••正确的有三个,
故选B.
【点评】本题考查二次函数与系数关系,灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键,学会利用图象信息解决问题,属于中考常考题型.
4.(2016?
齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a^0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
14acvb2;
2方程ax2+bx+c=0的两个根是xi=-1,X2=3;
33a+c>0
4当y>0时,x的取值范围是-Kxv3
5当xv0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的
性质对⑤进行判断.
【解答】解:
•••抛物线与x轴有2个交点,
b2-4ac>0,所以①正确;
•••抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(-1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
二方程ax2+bx+c=0的两个根是xi=-1,X2=3,所以②正确;
■/x=—上=1,即卩b=-2a,
2a
而x=-1时,y=0,即a-b+c=0,
•••a+2a+c=0,所以③错误;
•••抛物线与x轴的两点坐标为(-1,0),(3,0),
•当-1vxv3时,y>0,所以④错误;
•••抛物线的对称轴为直线x=1,
•••当xv1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a
工0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当av0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即abv0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:
抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:
△=b2-4ac>0时,抛物线与
22
x轴有2个交点;△=b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b-4acv0时,抛物线与x轴没有交点.
5.(2016?
广安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:
2
①b-4acv0;②abc>0;③a-b+cv0;④m>-2,
其中,正确的个数有()
3
D.4
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案.
【解答】解:
如图所示:
图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;
•••图象开口向上,•••a>0,
•••对称轴在y轴右侧,
二a,b异号,
bv0,
•••图象与y轴交于x轴下方,
cv0,
abc>0,故②正确;
当x=-1时,a-b+c>0,故此选项错误;
•••二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为:
-2,
故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位,则平移后解析式y=ax2+bx+c-m与x轴有两个交点,此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,
故-mv2,
解得:
m>-2,
故④正确.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键.
6.(2016?
孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a^0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:
1a-b+c>0;
23a+b=0;
2
3b=4a(c-n);
4一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是()
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和
(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对
称轴为直线x=-=1,即b=-2a,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵
2a
坐标为n得到"=n,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n有一个公
4a
共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断.
【解答】解:
•••抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,
•••抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.
•••当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,所以①正确;
•••抛物线的对称轴为直线x=-—=1,即b=-2a,
3a+b=3a-2a=a,所以②错误;
•••抛物线的顶点坐标为(1,n),
二n,
4a'
•••b2=4ac-4an=4a(c—n),所以③正确;
•••抛物线与直线y=n有一个公共点,
•抛物线与直线y=n-1有2个公共点,
•一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a
工0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当av0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即abv0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:
抛物线与y轴交于(0,c):
抛物线与x轴交点个数由△决定:
△=b2-4ac>0时,抛物线与
22
x轴有2个交点;△=b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b-4acv0时,抛物线与x轴没有交点.
7.(2016?
日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:
①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+cv0;④若(-厶『),(「;丁)是抛
23
物线上两点,则y1vy2其中结论正确的是(
C•②④
D.①③④
【分析】由抛物线开口方向得到av0,有对称轴方程得到b=-2a>0,由•••抛物
线与y轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;由b=-2a可对②进行判断;
利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=2时,y>0,于是可对③进行判断;通过比较点(-],与点(二、•.•)
23
到对称轴的距离可对④进行判断.
【解答】解:
•••抛物线开口向下,
av0,
•••抛物线的对称轴为直线x=-丄=1,
2a
--b=—2a>0,
•••抛物线与y轴的交点在x轴上方,
c>0,
•••abcv0,所以①错误;
Ib=-2a,
•2a+b=0,所以②正确;
•••抛物线与x轴的一个交