专升本高数二知识点总结2.docx

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专升本高数二知识点总结2

2019年专升本高数知识点+技巧

一）概率论

1.事件发生的概率

事件的概率在2014，2019年出一道大题，2013，2014，2017年出选择，2016年出填空题。

1对立事件

例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1.

2独立事件事件A概率的发生对事件B概率的发生没有影响，事件A、B相互独立，叫独立事件。

例如，第一次掷骰子

5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。

独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算P（A）P（B）。

独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A，B相互独立，A，B发生的概率分别为0.6,0.9，A，B都

不发生的概率，那么先看A和B分别不发生的概率是多少，A发生的概率是0.6，A不发生的概率就是1-0.6=0.4，B发生的概率是0.9，B不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A，B都不发生的概率就是A不发生的概率0.4乘以B不发生的概率0.1×0.4=0.04。

3条件事件（非独立事件）

假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第

二次抓到黑球呢？

因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.

应试指导：

对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。

独立事件2013，2014，2017年考

查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。

条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。

综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还有选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。

2.离散型随机变量

T：

除了2014，2019年大题查考的是事件概率，2013，2015，2016，2017大题考查的内容都是随机变量。

随机变量举例来解释，假设事件A为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10），虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P加在一起就是1。

1数学期望E（X）

用环数乘以发生的概率最后相加，也就是80.390.2100.59.2，叫做数学期望，用随机变量分别乘以概率相加，一般用大写E来表示。

2方差D（X）：

用不同的环数减去平均数，例如8-9.2，能知道每次射箭和平均水平相差的数值，就能知道选手发挥是否稳定，方差的计算是用每次的随机变量减去数学期望的平方，乘以概率，最后相加，

222

（89.2）20.3（99.2）20.2（109.2）20.50.76，用大写字母D来表示。

应试指导：

这部分是出大题的考点，一道大题8分，2016，2017单独出题，2015和事件概率结合出题，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。

（二）极限和连续

1.极限

极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。

极限的概念是建立在函数基础上的，假设函数f（x）x，当x无限地接近于1时，这时f（x），也无限地靠近1，1叫做是f（x）的极限,用英文字母lim表示极限，在lim下面用x→表示x趋近于几。

1代入法

求极限最常用的方法就是将数值代入函数式。

平均每年都会有一道这样的题目，就相当于是送分题。

2两个重要极限

sinx

（1）lim1

x0x

xe

1

（2）lim

（1）

xx

3无穷小量如果一个函数的极限是0，就把这个函数称为无穷小量。

应试技巧：

极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。

我们在求极限的时候，基本就是上面三种方法：

第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；

第二，我们看到求x乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。

因为0乘以任何数都是0；

第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。

2.连续

连续是基于函数极限基础上的一个定义，以图像举例，如图，这个函数图像在x=1时断开了，也就是说这不是一个连续的图像。

会有是否连续这个问题，主要是由于分段函数的出现，当然也有反比例函数这样定义域不是全集导致的。

考试就是考分段函数的连续问题。

判断分段函数是否连续就是两段函数求得的分段点极限值是否相等。

分段点极限值相等就连续，不相等就不连续。

考的分段函数一般定义域都为全集，也就是分段点肯定是有意义的，那么直接代入分段点数值到2个分段函数就可以得到分段点的2个极限值，再比较2个极限值是否相等。

x1,x1

例如分段函数fx2，分段点就是1，1代入前段函数x-1求出第一个极限为0，1代入后段x21,x1

函数x2-1求出第二个极限还是为0，两个极限值相等，说明该分段函数在分段点处是连续的。

x1,x1

如果分段函数fx2，那么第一个极限值还是0，第二个极限值变成-1了，两个极限值不相x22,x1

等，说明该分段函数在分段点处不连续，我们就把这个分段点叫做间隔点。

应试技巧：

在遇到这样的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。

而如果某一点两个函数式数值不相等，则该点为间隔点。

（三）一元函数微分

1.导数

这节课我们来学习导数，导数是分值比较高并且比较简单的部分，2013，2015，2017，2018年出三道小题，

2014年两道小题，2016，2019年四道小题，2014-2019年各一道大题，导数的分值由12-24分，是我们考试中拿分的重点，高数中的导数是基于极限基础上的概念。

1导数的定义比如李四到公园散步，以3.6km每小时的速度匀速前行，用函数表示李四散步走了多长距离s和时间t的关系就是：

s=3.6t，而导数就是反应李四在散步过程中在任意一个位置的前进速度，前面说了他是以3.6km

又比如李四到河边玩抛石子，水平抛出，石子落地的时间都相同，因为地球地表引力加速度都是

/秒），水平抛出原垂直速度都为0，加速度g是石子垂直方向速度变化反应，就是速度的导函数，速度的函数就是gt，距离的函数是gt2/2.

速度反应距离的变化情况，所以速度函数是距离函数的导函数，加速度反应速度的变化情况，所以加速度函数是速度函数的导函数。

导数就是反应函数的变化情况的，某点导数值就是反应函数在某个点的变化情况的。

某个点的变化情况（导数），从极限理解，就是极其相近距离趋近于0的两点（x1，y1）（x2，y2）形成的一条

切线斜率，y2-y1=△y，x2-x1=△x，切线斜率（导数）可写作limylimf（x1x）f（x1）。

x0xx0

2导数的基本公式：

3

x3）'

最常见的求导是指数函数，以x3为例，我们求导时用指数函数的次方数×其原函数指数减一个次方：

=3x（3-1）=3x2，那么如果是常数，例如常数5可以看作5x0，它们求导等于0×x-1=0，0×5x-1=0，因为其最前

0。

面的次方数为0就决定了，后面乘任何数都为0，所以任何常数的导数都为

正弦函数sinx的导数是余弦函数cosx，余弦函数cosx的导数是负的正弦函数-sinx，考试中还有遇到的是

1

对数函数lnx的导数是分式1，特殊的导数ex的导数还是ex。

一共这六种，需要同学们能够熟练运用。

x

3

高阶导数

考试中还会有二阶导数，三阶导数，做法都是一样的，就是求出一次导数之后，用的得到的新的函数式再求一次导数就是二阶导数，三阶导数就是在二阶导数的基础上再求一次导数。

考的二阶导数用表示，就像前面的例子，速度和距离是一阶导数关系，加速度和速度是一阶导数关系，那么加速度和距离就是二阶导数关系。

4复合函数的导数复合函数的导数是我考试中最常出现的题型，所谓复合函数就是指几个函数复合在一起的形式，考试中常出现的是ex的指数x，或者三角函数的角度x，被一个函数式代替。

5复合函数和高阶导数相结合复合函数和高阶导数结合，就是对复合函数进行几次求导。

6导数运算

两个函数f（x）和g（x）相乘，那么他们的导数[f（x）g（x）]'就是f'（x）g（x）+f（x）g'（x），前函数的导数×后函数的原函数+前函数的原函数×后函数的导数。

这个就像3×6=18和5×7=35的差量17，可以通过（5-3）×6+（7-6）×5=17得出，写出的前者差量（5-3）×后者原式的数字6+后者差量（7-6）×前者原式的数字5，把差量看作导数，原式的数字看作原函数。

⑦隐函数求导

在考试中常给出一个函数，对隐函数求导。

给出的函数式中有x和y，将x当做未知数来看，正常求导，y

当做未知函数式来看，运用复合函数的求导法则也进行求导，最后求出y'dy就可以。

dx

应试技巧：

导数是分值比较高并且比较简单的部分，导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。

（三）一元函数微分

2.导数的应用

知识点考查分布：

2014

2015

2016

2017

2018

2019

选择

单调区间

单调区间，极

值，切线

法线

填空

单调区间，切

线

切线，拐点

铅直渐近线

方程

拐点

解答

驻点

单调区间，极

值，凹凸性

单调区间，极值，凹凸区间

极值

驻点和拐点

这样来看，一阶导数的应用中单调区间和极值是考查最多分值最高的知识点，而这部分也是比较简单的知识点，导数的应用这里考查并不难。

1一阶导数的应用

（1）函数的驻点，单调性和极值导数在函数图像上的体现，就是函数图像的单调性，单调性我们也可以叫做增减性，如图，函数的图像有增有减，增加、上升时就是单调递增，减小、下降时就是单调递减，下面我们从导数层面来看函数的递增递减。

导数值＞0，单调递增；导数值＜

0，单调递减。

注：

导数值=0时，是函数的驻点（函数图像在该点没有增减性，可以记忆为函数停留（驻点）在该点没有增减）。

一般情况下，函数在此点有极值。

（2）切线

切点就是切线和函数图像的交点，直线方程y=kx+b的斜率（k）=切点的导数值。

切点、直线方程、函数，三者只要知道其中之二，通过交点和斜率=导数值两点就可以求出最后一个内容。

2二阶导数的应用

（1）对于凹凸性定义的理解

凹时，切线斜率都是越来越大（递增），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递增时就是二阶导数＞0。

凸时，切线斜率都是越来越小（递减），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递减时就是二阶导数＜0。

二阶导数结果为0的点是拐点。

2）曲线凹凸的判定

在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，若在（a，b）内

二阶导数的应用结合一阶导数的应用来考查的，我们来看例题：

应试技巧：

设函数yf（x），点x0使f'（x0）0，那么x0就是函数的驻点，若f'（x0）0，那么函数在此区间递增，若f'（x0）0，那么函数在此区间递减，此时x0也是函数的极值点；点x1使函数二阶导数

x1一侧使

8分大

f"（x1）0，那么x1就是函数的拐点，若x1一侧使f"（x1）0，那么此区间为函数的凹区间，若

f'（x1）0，那么此区间为函数凸区间。

我们记住这些知识点，结合求导，这部分的题目就能得分，题也能得到4-8分。

3铅直渐近线。

铅直渐近线方程就是使函数极限为无穷的x值，在将极限的时候，讲过分母趋于无穷小0，分数就是趋于无

穷大，所以使分母为0，就可以得到它的铅直渐近线方程。

应试技巧：

对于分式来说，铅直渐近线方程都是分母为0时的x值，因为取的这个x值，只能无限靠近却最终不能相等，所以叫渐近线。

（三）一元函数微分

3.微分

微分2013年出了一道大题，

2014，2016年选择题，2015和2019年填空题，2018年一道选择题一道填空题。

微分可以看作是导数的变形，

是因为微分和导数的计算是一样的，把微分用dy来表示，而导数是dy，将dydxdx

看作是dy除以dx，那么导数dy=f'（x），所以dy=f'（x）dx，所以微分就是求导之后在函数式后面乘以dx

dx。

应试技巧：

微分2013年出了一道大题，2014，2016年选择题，2015年填空题。

因为微分和求导是一样的，所以只要我们掌握了求导，微分就没有问题。

4.洛必达法则

成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。

洛必达法则是基于导数基础上对极限的求法，当分母为0，或者分母分子都为0，就要用洛必达法则。

洛必达法则考查都是分式，这些分式使用代入法的话分母是0，用洛必达法则，对分子和分母分别进行求导，

在求导之后，再用代入法进行计算。

如果求导一次使用代入法分母依然没有意义，也就是还是为0，再次进

行求导，直到使用代入法分母不为0.

应试技巧：

成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。

简而言之，

遇到用代入法分母为0的极限，就将分子分母分别求导，直至可以用代入法。

所以说，只要掌握了导数，这部分的分值我们也很容易拿到。

（4）多元函数微分

1.偏导数

偏导数也是关于导数部分的学习，偏导数在2013-2015年考查以选择填空为主，在2016,2017，2019年考试出现对大题的考查。

2013年：

两道选择

2014年：

两道选择，两道填空

2015年：

两道选择，一道填空

2016年：

一道填空，一道解答

2017年：

一道选择，一道解答

2018年：

一道选择，一道填空

2019年：

一道选择，一道填空

①一阶偏导数

。

但是一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。

而原函数,一个z

yf（x1x）f（x1）

limlim11x0xx0x

对应一个x和一个y（例如z=3x+2y），那就有两个未知数，有两个导数了，一个是z对x的导数，一个是z

对y的导数，称之为偏导。

二元函数偏导数，函数中有两个元，求出偏导数时需要我们一个一个来求，那当求x的偏导时，将y当做常数计算，当求y的偏导数时，将x当做常数，然后正常用导数法则进行求导就可以。

②二阶偏导数

T：

我们考试中最常考查的就是二阶函数偏导数，同学们还记得二阶导数的计算么？

先求一阶导数然后再次求导。

偏导数也是一样的，先求出一阶偏导数，然后再次求偏导，就可以求出二阶偏导数。

但是因为偏导数里面有一个未知数，除了可以两次都对x和两次都对y求偏导之外，我们还以先对x求偏导，再对y求偏导，或者先对y求偏导再对x求偏导（看分母哪一个在前面），我们把这种x和y混合求偏导的函数又叫混合偏导数，有的函数的混合偏导数是一样的，但是为了保险起见，我们还是正常按照要求来做题。

应试技巧：

偏导数的重点是要理解当x求偏导，y做常数，y求偏导，x做常数。

偏导数能够拿到10分没有问题。

2.全微分

全微分除了我们在2017年和偏导数结合考查大题之外，在2013，2016，2017年各出一道小题。

全微分就是分别求出x的偏导和y的偏导，后面分别乘以dx和dy，加在一起dx+dy就是全微分dz。

也就是：

对于函数z（x,y），如果f（x,y）可微，那么有dzzdxzdy.

xy

（5）一元函数积分

1.不定积分不定积分每年必出一道大题，近年题目越来越难。

除了大题还会有一到三道小题。

2019年考查2道选择题3道填空题。

2013年：

只考查不定积分基本公式，一道选择，一道填空，一道大题。

2014年：

一道填空查考定义，大题考查基本公式

2015年：

一道选择考查基本公式，两道填空考查定义，大题考查凑微分法。

2016年：

一道填空考查基本公式，大题考查凑微分法。

2017年：

一道选择考查基本公式，一道填空考查定义，大题考查第二类换元法。

2018年：

一道选择考查基本公式。

一道选择考查定义，一道填空考查基本公式，一道大题考查分部积分法。

2019年：

一道选择考查性质，一道选择、一道填空考查基本公式，一道填空考查原函数，一道填空、一道大题考查第二类换元法。

①不定积分的概念和性质原函数，简单来说，一个函数就是它的导函数的原函数，原函数经求导变为导函数，求导之前的函数叫做原函数。

举例：

函数F（x）3x2，导函数f（x）6x，则函数F（x）为f（x）的原函数。

不定积分，一个函数的原函数即为不定积分，求不定积分的过程就是求原函数的过程，原函数通过求导变为导数，导数通过积分变为原函数，不定积分就是导数或微分的逆推。

不定积分的符号就像是大F去掉横线，中间是要求积分的导函数，后面d表示求积分的对象x。

有时后面的x也可以换成例如x2一类的，那

举例：

函数f（x）6x，6xdx3x2C。

注：

注意+C，学导数时知道，任意常数的导数为0，所以在导数逆推求不定积分的时候不知道原函数是否有

常数，就需要用+C来表示不定积分的未知常数。

②基本积分公式

x2，x2进行逆推，求导数的时候指数是减1，那么原函数指数就应该加1，也就是2+1=3，

13

1x3+C，指数函数的积分

3

原函数指数应该是3提前，但是导函数没有3，只有3×1=1，所以就是x

321

就是函数指数+1/（指数+1）=xn+1/n+1。

3）1dxln|x|Cx

11

比如：

lnx的导数是，那么的积分就是ln|x|+C，ln是e（e>0）为底的对数，所以ln的平方或立方之xx

这些基本的积分公式大家可以选择记忆或者运用导数的进行逆推。

3第一类换元法（凑微分法）

第一换元法，也叫作凑微分法，如果题目给出的已知函数，是由一个导函数和它的原函数构成的，也就是

f[（x）]'（x）dx形式，那么我们就可以将'（x）提出，然后与dx合并变为d（x），以此来简化做答。

211

比如x22xdxx2dx2（x）1（x2）2，可以理解为复合函数求导，里导乘外导，里导先不乘的时候，

112

后，得到的结果都是大于等于0的，所以后面要有绝对值。

4第二类换元法

不能凑微分的情况，我们就直接将复杂函数设定为其他元。

5分部积分法

数看做是其原函数的导数v'，例如给出的是2x，看做是（x2）'，这时在计算的时候，令u和v相乘，（注意

不是v'），再减去一个定积分，这个定积分的被积函数是v（有原函数的变为原函数）乘以u'（没有原函数

的进行求导）。

那么就是uv'dx=uvu'vdx。

应试技巧：

求不定积分一般遇到分母复杂分式一般使用平方差（a2-b2）=（a+b）（a-b）或立方差（a3-b3）=

a-b）（a2+ab+b2）就可以约去分子。

u'。

uv'dx=uvu'vdx。

2.定积分

知识点分布：

知识点题型

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

N—L公式

填空

大题

两道选择

选择

两道填空

选择

奇偶函数积分

填空

填空

填空

填空

选择

分部积分法

大题

大题

大题

大题

大题

大题

换元积分法

选择

反常积分

填空

选择

填空

大题

变上限积分

选择

选择

选择，大题

选择

如果在考试中遇到积分区间是[-a，a]这样的，

数（原点中心对称）就是指函数以原点为中心，

也就是-f（x）=f（-x）。

偶函数（y轴轴对称）

①牛顿-莱布尼茨公式定积分的运算最基础的是掌握牛顿-莱布尼茨公式，这是定积分个不定积分的主要区别，根据牛顿—莱布尼

茨公式，在求定积分的时候，正常按照不定积分求出被积函数的原函数，然后将给出的定积分的取值范围ɑ与b的值代入，用F（b）F（a）求出被积函数的值。

bb

f（x）dxF（x）|F（b）F（a），其中F（x）为f（x）的原函数。

aa

②奇、偶函数在对称区间上的积分前后是互为相反数，就可以根据函数的奇偶性在做题，奇函

x轴上每两个正负对应的点，对应的y轴数值是一正一负，

就是函数以原点为中心，x轴上每两个正负对应的点，对应

指数函数奇偶性判定可以看指数，指数为奇数则为奇函数，指数为偶数，则为偶函数，其余需要特别记住的是，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

奇函数乘以偶函数，等于奇函数；奇函数乘以奇函数等于偶函数，偶函数乘以偶函数等于偶函数。

③分部积分法

分部积分法在不定积分中已经讲过，在定积分中，被积函数是两个相乘的形式，往往其中有一个没有

b

原函数（常见lnx），将这种形式看作是uv'dx。

a

一般来说，u是没有原函数的，另一个给出的函数看做是