多元函数微分学复习题及答案.docx

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多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

、选择题

1.极限叫

y0

（A）等于0

（B）

不存在（C）

等于£

（D）存在且不等于

i丄

2、设函数f（x,y）xsiny

0

.1ysinx

xy

xy

则极限limf（x,y）=

x0丿

y0

（提示：

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

（A）不存在（B）等于1

f（x,y）在整个定义域内处处连续

（A）处处连续

（C）仅在（0,0）点连续

4、函数zf（x,y）在点（x0,y0）处具有偏导数是它在该点存在全微分的

f（x,y）

（A）

4

7、设zarctan—，xu

y

（B）

（C）

V,则ZuZv

1

（D）-

（A占二

uv

8、若f（x,2x）

x2

（B）Aruv

3x,fx（x,2x）

（C）

uv

6x1，则fy（x,2x）=

（D）

（A）x

（C）2x

1（D）

2x

9、设z

yx，则（—

x

_）（2,1）

y

（A）2

（B）1+ln2（C）0

（D）1

10、设z

xyexy，则zx（x,x）

2x2

（A）2x（1x）e（B）2x（1x）e

x2

（C）x（1

2x2

x2）ex（D）

x（1

x2）e

x2

11、曲线x2sint,y

4cost,zt在点（2,0,3）处的法平面方程是

（A）2xz

12、曲线4x

5

y,y

（B）2xz4（C）4y

2

■乙在点（8,2,4）处的切线方程是

2（D）

4y

（A）

（A）乞8

20

（C）□

5

z4

4

z4

4

（B）

（D）

x12

20

x3

5

z4

4

z

4

13、曲面xcoszycosx—z

2

在点一,1

22

2,0

处的切平面方程为

（D）

（A）xz

（B）x

y1（C）x

14、曲面x2yz

xy2z3

6在点（3,2,1）处的法线方程为

（A）

z19

18

z

18

（C）8x3y18z

（D）8x3y18z

12

15、设函数z1x2y2，贝U点

（0,0）是函数z的

（A）极大值点但非最大值点

（B）极大值点且是最大值点

（C）极小值点但非最小值点

（D）极小值点且是最小值点

16、设函数zf（x,y）具有二阶连续偏导数，在P0（x0,y0）处，有

fx（P°）0,fy（P°）0,fxx（P°）fyy（P°）°,fxy（P。

）fyx（P°）2，则（C）

（A）点P0是函数z的极大值点

（B）点Pg是函数z的极小值点

（C）点P0非函数z的极值点

（D）条件不够，无法判定

17、函数f（x,y,z）z

2在4x22y2

z2

1条件下的极大值是

（A）1

（B）

（C）

（D）

、填空题

1、

极限lim列他=

x0x

y

.答:

2、

极限lim

x'

y

2

Jn（yex）_

0

1

.答：

In2

3、

函数z

ln（xy）的定义域为

.答：

xy1

4、

函数z

arcsinx“

的定乂域为

.答：

1x

1,

5、

设函数

f（x,y）

x2

y2xyln-，则f（kx,ky）=

x

.答：

k2f（x,y）

6、

设函数

f（x,y）

xy

x

—,则f（xy,xy

y）=

.答:

22

xy

2x

（Qf（x

y,x

y）

（xy）（xy）

（xy）

（x

y）

22

j）

2x

7、

设f（x,y）

ln（1

A

2

x

2

x

2

y

2

y

1/2，要使f（x,y）处处连续，则

1/2

A=

.答:

ln2

8、

设f（x,y）

tan（x2

22x

A

则A=

2

函数z-

y2）

（x,y）

（x,y）

（0,0），要使f（x,y）在（0，0）处连续,

（0,0）

.答：

1

2

仝的间断点是

x1

「答：

直线x10上的所有点

10、函数f（x,y）212cos，的间断点为

xyx

.答：

直线yx及x0

.答：

3cos5

11、设zsin（3xy）y，贝—x2

Xy1

12、设f（x,y）.x2

y2，则fy（0,1）=

13、设u（x,y,z）

则du

（1,2,3）

3

.答:

-dx

8

-dy

16

hn2dz

8

14、

设u

x

则在极坐标系下，

u=

.答：

0

22

、xy

r

15、

设U

xyy，则

2

u=

2・

答:

2y

x

x

x

16、

设U

xlnxy，贝u•

2

u=

.答:

-

xy

y

17、

函数

yy（x）由1

x2yey所确定,

则dy=

.答

dx

18、

设函数zz（x,y）由方程xy2zx

yz所确定，则

z_

y

2xyeyx2

.答:

2xyz1

1xy2

19、由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz（x,y）在点（1,0,-1）

处的全微分dz=.答:

dx42dy

20、曲线xt2,v2t,zA3在点（1,2,-）处的切线方程是

33

答:

x1

y2z1

2

23

21、曲线x2te2t,y3e2t,zt2e2t在对应于t1点处的法平面方程是

答：

x3y11e20

22、曲面xey

y2e2zz3e3x-1在点（2,1,0）处的法线方程为.

e

答：

x2

y1z

22e2e

23、曲面arctan-^—在点（2,1,0）处的切平面方程是.答:

1xz4

y2z1

1

24、设函数zz（x,y）由方程-x23xyy25x5yez2z4确定，则函数z

的驻点是.答：

（一1,2）

27、函数z2x23y24x6y1的驻点是.答：

（1,1）

25、若函数f（x,y）x22xy3y2axby6在点（1,1）处取得极值，则常数a，b.答:

a0，b4

26、函数f（x,y,z）2x2在x2y22z22条件下的极大值是:

4

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形

（1）z,1x2y2

（2）zln（xy）

（3）z1（4）zln（xy1）

ln（xy）

解:

（1）要使函数z.1x2y2有意义，必须有1x2y20，即有x2y21.

故所求函数的定义域为D{（x,y）|x2y21},图形为图3.1

（2）要使函数zln（xy）有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为

D（x,y）|xy0，图形为图3.2

1

（3）要使函数z-有意义，必须有ln（xy）0，即xy0且

ln（xy）

xy1.

故该函数的定义域为D（x,y）|xy0,xy1，图形为图3.3

⑷要使函数zIn（xy1）有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为

D{（x,y）|xy1}，图形为图3.4

图3.1

图3.2

*」

泊y

■奄x+y=0\

%

A

%

~O

%

V

h

1

*

I

X

%

7*

'、x+y=1

■s

图3.4

图3.3

y

1

'

/y=1/x

2

1x*

2、求极限lim—ysin2x

x0

y0xy

ysin2xQ—11）

lim=4

x0

yo

1

3、求极限lim-

x0

y0

1

解：

原式=xim0

yo

2

xy

32'2

xy（1,xy

1）sin（xy）xi叫

1

y01■X2

sin（xy）

xy

x

xye

i

04<16

xy

4、求极限lim

x（

y（

x

解:

lim-xye

x04

y0

xye*x（4

J6

xy

5、设u

xsiny

ycosx，求

解：

u

siny

ysinx

Uy

&设z

yxe

yex，求Zx,Zy.

解：

Zx

ey

yex

7、设函数z

J16xy）=-8

xy

Ux,Uy.

xcosycosx

zyxeye

z（x,y）由yzzxxy

3所确定，试求

（其中

解一：

原式两边对x求导得

x二zy0,则二

xx

乙丄同理可得:

yx

解二:

zFx

z

y

z

Fy

zx

xFy

y

J

x

y

Fx

yx

8、求函数z2x

3xy

2y2

4x

3y1

的极值.

D

zxx

zxy

4

3

zyx

zyy

3

4

zxx

4

0，

函数z

在点（

9、设z

3xe

2y

而

x

cost,y

1,0）处取极小值z（1,0）1.

t2，求df-

70

解：

dZ3e3x2y（sint）2e3x2y（2t）（3sint4t）e3x2y

dt10、设zyxln（xy），求—，—.

xy

12、求函数zin（x2y2exy）的全微分.

xy

z2yxe

四、应用题

1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？

解：

设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.

水池底部的单位造价为a.

则水池造价Sxy4xz4yza

且xyz128

令

L

xy4xz

4yz

xyz128

Lx

y4z

yz

0

由

Ly

x4z

xz

0

Lz

4x4y

xy

0

L

xyz1280

得

x

y8

z2

8米、8

由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为

米、2米时，其造价最低.

2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y（件），总成本函数

22

C（x,y）8xxy12y（元）.

商品的限额为xy42，求最小成本.

解：

约束条件为（x,y）xy420，

构造拉格朗日函数F（x,y,）8x2xy12y2（xy42），

Fx16xy0

解方程组Fyx24y0，得唯一驻点（x,y）（25,17），

Fxy420

由实际情况知，（x,y）（25,17）就是使总成本最小的点，最小成本为

C（25,17）8043（元）.

3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产

品甲与生产y单位的产品乙的总费用是

4002x3y0.01（3x2xy3y2）元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

解：

L（x,y）表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L（x,y）（10x9y）[4002x3y0.01（3x2xy3y2）]

22

8x6y0.01（3x2xy3y2）400,（x0,y0），

Lx80.01（6xy）0令x，解得唯一驻点（120,80）.

Ly60.01（x6y）0

又因ALxx0.060,BLxy0.01,CLyy0.06，得

23

ACB3.5100.

得极大值L（120,80）320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120

单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.

kn2ekntsinnx

五、证明题

3、设

zxy

xF（u）

而u

yF（u）为可导函数

证明x—y—zxy

x

xy

证明：

x二

y二

Xy

F（u）xF（u）」]y[x

xF（u）」]

x

y

x

y

x[y

F（u）■yF（u）]y[x

x

F（u）]

t

x2

xyxF（u）xyzxy

所以丄

32sin（xy）.

x