全等三角形的基础和经典例题含有答案.docx
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全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章:
全等三角形
一、基础知识
1.全等图形的有关概念
(1)全等图形的定义
能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如:
图13-1和图13-2就是全等图形
图13-2
(2)全等多边形的定义
两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。
例如:
图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
(3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边
两个全等的多边形,经过运动而重合,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角。
(4)全等多边形的表示
例如:
图13-5中的两个五边形是全等的,记作五边形ABCD率五边形AB'C'D'E'(这里符号“也”表示全等,读作“全等于”)。
图13-5
表示图形的全等时,要把对应顶点写在对应的位置
(5)全等多边形的性质
全等多边形的对应边、对应角分别相等。
(6)全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别
(1)根据定义
若两个三角形的边、角分别对应相等,则这两个三角形全等。
(2)根据SSS
如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与(SSS全等识别法相类似,即三条边对应成比例的两个三角形相似,而相似比为1时,就成为全等三角形。
(3)根据SAS
如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与(SAS全等识别法相类似,即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似,当相似比为1时,即为全
等三角形。
(4)根据ASA
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等。
(5)根据AAS
如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别
(1)根据HL
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形
全等。
(2)SSSSASASAAAS对于直角三角形同样适用。
判断两个直角三角形全等的方法可分为:
已知一锐角和一边或已知两边。
4.证明三角形全等的方法
证明三角形全等的一般方法有四种:
“SSS、“SAS、“ASA、“AAS。
每一种都有给出三个独立的条件,在具体问题中,题设往往只给出一个或两个条件,其余的需要我们自己去发掘和证明。
判定方法的选择:
已知条件
可选择的判定方法
一边对应一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
具体地说,证明角相等的常用方法有:
对顶角相等;两直线平行,同位角、内错
角相等;同角(或对角)的余角(补角)相等;角平分线平分的两角相等;角的等量代换等。
证明线段相等的方法有:
同一线段;中点的定义;平行四边形的对边;等腰三角形的两腰;边的等量代换等。
为什么“AAA和“SSA不能判定两个三角形全等?
这是因为有三个角相等,但边不一定相等,则三角形不一定全等,如图13-6,可以看出△ABC不全等于△ADE同样,如果两边及其中一边的对角相等,也不能确定三角形全等,如图13-7,
AB=AB,AC=AD/B=ZB,但△ABC与△ABD不全等。
5.证明两个三角形全等如何入手
证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。
(1)综合法,就是从已知条件入手,进行推理,逐步向要证的结论推进,如从已知条件中推导出对应边或对应角相等,从而推导出三角形全等。
同时,也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等,达到正题的目的。
(2)分析法,即从欲证的结论出发,分析结论成立的必需条件,各种条件联系已知,寻找它们之间的关系,逐步靠拢已知条件,从而分析出已知与结论的因果关系。
证题时,分析法与综合法结合起来使用更加有效,证三角形全等时,既要有明显的已知条件,又要有隐藏的条件,通过综合法罗列已知条件,再通过分析法找出隐藏条件,从而得证。
二、经典例题
例1:
(1)已知一个三角形有两边的长分别为2cm13cm又知这个三角形的周长为偶数,求第三边长。
(2)在厶ABC中,已知/A+ZC=2/B,/C-/A=80°,求/G
[考点透视]
(1)考察三边关系的应用;
(2)考察三角形内角和定理
[参考答案]解:
(1)设第三边为xcm,则
132x132
即11x15
周长L213x15x的范围是
151115x1515
即27L30
又L为偶数
L28
L15x28
x13
即第三边长为13cm
(2)
A
C
2B
A
B
C
(AC)
B2B
B3B180
B
60
A
C
2B
120
又
C
A
80
A
C
120
由
C
A
80
A
20
C
100
得
C
100
例2:
已知,在△ABC中,AD是角平分线,B66,C54,DEAC于E,
求:
ADB和ADE
[考点透视]考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质
[参考答案]解:
由三角形内角和定理,得
在RtADE中
ADE90CAD903060(直角三角形的两个锐角互余)
例3:
已知:
在ABC和A'B'C'中
AA,BB',CDAB于d,C'D'A'B'于D',且CDC'D'
求证:
ABCA'B'C'
A
A'
[考点透视]如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等,那么这两个三角形全等。
[参考答案]证明:
在RtADC和RtA'D'C'中
AA'
ADCA'D'C'90
CDC'D'
RtADCRtA'D'C'(AAS)
ACA'C'(全等三角形对应边相等)
在ABC和A'B'C'中
AA'
BB'
ACA'C'
3.适时训练
(一)精心选一选
1.在△ABC中,/A:
/B:
/C=1:
2:
3,且△DEFBC=EF点A的对应顶
点是D,下列说法正确的是()
A.
/C与/D互余
/C与/F互余B.
2.如图,△ABC中,AB=ACCEBD分别是ABAC边上的中线,AMLCE于M
AN!
BD于N,则图中全等三角形共有()弋
A.3对B.4对C.5对D.6对
氏C
3.如图,△ACD中,AB丄CD且BD>CB△BCE^PAABD都是等腰Rt△,下列结
论①△ABC^ADBE②△ACB^AABD③△CBE^ABED④△AC
正确的是()
A.①②③B.①C.
①③④D.②③④
4.
如图,△ABE和厶ADC是△ABC分别沿AB,AC边翻折/2:
/3=28:
5:
3,则/度数为()
A.60°B.70°C.80°D.90°
5.下列命题正确的是()
A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等
6.在厶ABC内部取一点P使得点P到厶ABC的三边距离相等,则点P应是△
ABC的哪三条线交点.()
(A)高(B)角平分线(C)中线(D)垂直平分线已知
7.下列条件能判定厶ABC◎△DEF的一组是()
(A)ZA=/D,/C=/F,AC=DF
(B)AB=DE,BC=EF,ZA=ZD
(C)ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF
(D)AB=DE,△ABC的周长等于△DEF的周长
(二)细心填一填
1.如图2-1,一长方形ABCD纸片,以EF为折痕折叠,点B落在点MEN是Z
MEC勺角平分线,则ZFEN
2.如图2-2,在△ABC中,ZBAC:
ZABC:
ZACB=3:
5:
10,且△ABC^A,则Z1:
Z2=
3.如图2-3,若△ABC^AADEZE=ZC,Z1=20°,则Z2=
4.如图2-4,在正方形ABCD中,E是AD中点,F是BA延长线上一点,AB=2AF
在图中可通过(填“平移”,“翻折”,或“旋转”)使厶ABE变到
△ADF的位置,这时BE与DF之间的位置关系是
5.如图2-5,△ABC中,/C=90,AC=BCAD平分/CABDELAB于E,若AB=4cm则厶BDE的周长是
6.已知,如图2-6,AD=ACBD=BCO为AB上一点,那么,图中共有对
全等三角形.
7.如图2-7,△ABC^AADE贝XAB,/E=Z.若/
BAE=120,/BAD=40,则/BAC=°.
8.在厶ABC^PAABD中,/C=ZD=9Q若利用“AAS证明△ABC^AABD则需
要加条件或;若利用“HL”证明△ABC^AABD则需
要加条件,或.
9.把两根钢条AA?
BB?
勺中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具
(卡钳),如图2-9,若测得AB=5厘米,则槽宽为米。
10.工人师傅砌门时,如图所示,常用木条EF固定矩形木框ABCD使其不变形,
这是利用,用菱形做活动铁门是利用四边形的O
三、认真答一答
1.
如图,AB=ADAC=AE且/DAB2CAEBE与CD交于点P,AP的延长线交BC于F,试判断/BPF与/CPF的关系,并加以证明。
2.如图,ABC的中线,AE丄ABAF丄AC,且AE=ABAF=ACMA的延长线交EF于点P,求证:
APIEF。
3.已知:
如图,C为BE上一点,点A分别在BE两侧.AB//ED,AB=CE,BC=ED.求证:
AC=CD.
4.已知:
如图,0P是/AOC和/BOD的平分线,OA=OC,OB=OD.
求证:
AB=CD
5.我们知道:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于0,若
1
A60,DCBEBC—A,请你写出图中一个与A相等的角,并猜想图
2
中哪个四边形是等对边四边形;
(3)在ABC中,如果A是不等于60o的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且
1
DCBEBCA,探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证
2
明你的结论.
6.已知:
如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,0为BD的中点,EF丄BD于点0,与AD、BC分别交于点E、F。
求证:
DE=DF。
7.如图,在O0中,D、E分别为半径0A、0B上的点,且AD=BE.
点C为弧AB上一点,连接CD、CE、C0,/A0C=ZB0C.
求证:
CD=CE.
&如图,已知在△ABC中AB=AC,D为BC边的点D作DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E、F。
(1)求证:
△BED◎△CFD;
(2)若/A=90。
,求证:
四边形DFAE是正方形。
9.如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
⑴求证:
△ABE◎△CAD;
(2)
求/BFD的度数.
10.八
(1)班同学到野外上数学活动课,为测量池塘两端A、B的距离,设计了如下方案:
(I)如图1,先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,连接AC、BC,并分别延
长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的距离即为AB的长;
(H)如图2,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点使BC=CD,接着过D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即为AB的距离.
I—la.五iHi
3
图1
阅读后回答下列问题:
(1)方案(I)是否可行?
请说明理由。
(2)方案(n)是否可行?
请说明理由。
(3)
BCD的平分线,点E在AD上,求
方案(n)中作BF丄AB,ED丄BF的目的是;若仅满足/ABD=/BDE丰90°,方案(n)是否成立?
11.已知,如图AB//CD,BE、CE分别是ABC、
证:
BCABCD
12.
一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如
(1)求证:
AB丄ED.
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.
13.如图,在口ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.请找出图中的一对全等三角形,并给予证明.
14.如图,直线I切OO于点A,点P为直线I上一点,直线PO交OO于点C、B,点D在线段AP上,连结DB,且AD=DB.
(1)
求证:
DB为OO的切线.
(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长.
15.已知:
如图,直径为OA的0M与X轴交于点°、A,点B、C把Oa分为三等份,连接MC并延长交y轴于点D(0,3).
(1)求证:
AOMDBAO;
16.如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和厶QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)ZPBA=/PCQ=30;
(2)PA=PQ.
17.如图,°°是Rt△ABC的外接圆,点°在AB上,BDAB,点B是垂足,
OD//AC,连接CD.
求证:
CD是°°的切线.
18.△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),
△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线ABAC于点
F、G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证:
△AEB=△ADC;
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?
并说明理由;
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出
(1)中的两个结论是否成立?
(3)在
(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?
并说明理由.
图(b)
19.如图,C、F在BE上,AD,AC//DF,BFEC
求证:
ABDE.
20.如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,/BAD=ZEAC,BC、DE交于点O.求证:
(1)△ABC◎△AED;
(2)OB=OE.
21.如图,在Rt△ABC中,/C=90。
,以BC为直径作OO交AB于点D,取AC的中点E,连结DE、OE.
(1)求证:
DE是OO的切线;
(2)如果OO的半径是1.5cm,ED=2cm,求AB的长.
B
22.如图,ABCD是正方形.G是BC上的一点,DE丄AG于E,BF丄AG于F.
(1)求证:
△ABF=△DAE;
(2)求证:
DEEFFB.
23.如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)
(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与厶ABC及厶AMN的面积之比;若不是,请说明理由。
求证:
(1)PEPF;
25..已知:
如图,在Rt△ABC和Rt△BAD中,点E.
(1)求证:
AE=BE;
AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于
⑵若/AEC=45°,AC=1,求CE的长.
参考答案
(一)精心选一选
1.D2.C3.B4.C5.D6.B7.A
(二)细心填一填
1.90°2.1:
43.20°4.旋转;垂直5.4cm6.37.AD,/C,80
8./CAB=/DAB,/CBA=/DBA,AC=AD,BC=BD9.5厘米10.三角形的稳定性,不稳定性
(三)认真答一答
1.相等,过A作AM丄DC,AN丄BE,证明△DAC◎△BAE,所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN,所以/BPF=/CPF2.延长AM至N,使MN=AM,证明△AMCNMB,所以AC=NB,再证明厶EAFABN,得到/E=/BAN,因为/BAN+/EAP=90°,所以/E+/EAP=90°,所以AP丄EF
3.证明:
QAB//ED,BE.
在△ABC和△CED中,
AB
CE,
B
E,
BC
ED,
△ABCCED.
ACCD.
4、证明:
•••OP是/AOC和/BOD的平分线,
AOPCOP,BOPDOP
AOBCOD
在AOB和COD中,
OAOC,
AOBCOD,
OBOD,
AOBCOD
ABCD
5、解:
(1)平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可
(2)与/A相等的角是/BOD(或/COE)
(3)
四边形DBCE是等对边四边形.
此时存在等对边四边形DBCE.
证明1:
如图,作CG丄BE于G点,作BF丄CD交CD的延长线于F点.
1
•••/DCB=/EBC=/A,BC为公共边
2
•••△BGCCFB
•••BF=CG
•••/BDF=/ABC+/DCB=/ABE+/EBC+/DCB=/ABE+/A
•BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形
证明2:
如图,在BE上取一点F,使得BF=CD,连接CF.
易证△BCD◎△CBF,故BD=CF,/FCB=ZDBC.
vZCFE=ZFCB+ZCBF=ZDBC+ZCBF=ZABE+2ZCBF=ZABE+ZA
•CF=CE
•BF=CE
故四边形
DBCE是等对边四边形.
E
6•证法一:
在平行四边形
ABCD中,AD//BC
•/OBF=/ODE
•OB=OD
•/O为BD的中点
在厶BOF和厶DOE
zOBFzODE
OBOD
ZBOFZDOE
•OF=OE
•/EF丄BD于点O
证法二:
•••O为BD的中点
•/EF丄BD于点O
•DE=DF
•BO=DO
•BF=DF
•/BFO=/DFO
•••在平行四边形ABCD中,
•/BFO=/DEO
AD//BC
•/DEO=/DFO
•DE=DF
7.证明:
TOA=OBAD=BE
•OA-AD=OB-BE即
OD=OE
在厶ODC和厶OEC中
ODOE
DOCEOC
OCOC
•••△ODC◎△OEC
•••CD=CE
&
(1)vDE丄AB,DF丄AC,
•••/BED=/CFD=90°,
•/AB=AC,
•••/B=/C,
•/D是BC的中点,
•BD=CD
•••△BED◎△CFD.
(2)vDE丄AB,DF丄AC
•••/AED=/AFD=90°
•••/A=90°
•四边形DFAE为矩形
•/△BED也厶CFD
•DE=DF
•四边形DFAE为正方形
9。
(1)证明:
•••△ABC为等边三角形
•••/BAC=/C=60°,AB=CA,
在厶ABE和厶CAD中
AB=CA,/BAE=/C,AE=CD
•△ABE◎△CAD
(2)解I/BFD=/ABE+/BAD
又•••△ABE◎△CAD
•••/ABE=/CAD
•••/BFD=/CAD+/BAD=/BAC=60
10.
(1)可以;
(2)可以;(3)构造三角形全等,可以
11.AB//CD
ABCBCD180
又BE、CE平分
ABC,
ACD
11
EBC—ABC,ECB—BCD
22
11
EBCECB-(ABCBCD)—180
22
BEC90(三角形内角和定理)
在BC上取BF=BA,连结EF
在ABE和FBE中
ABFB
ABEFBE
BEBE
ABEFBE(SAS)
12(全等三角形对应角相等)
1BEC3180
13180BEC1809090
又2490,12
34(等量代换)
在CFE和CDE中
FCEDCE(角平分线定义)
CECE
43
CFECDE(ASA)
CDCF(全等三角形对应边相等)
BCBFCFABCD
12.
(1)由于△ABC与厶DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形,所以
△ABC◎△DEF,所以/A=Z。
在厶ANP和厶DNC中,因为/ANP=ZDNC,所以/APN=ZDCN,又/DCN=90°所以/APN=90°故AB丄ED.
(2)答案不唯一,女口△ABC◎△DBP;△PEM◎△FBM;△ANP◎△DNC等等.以
△ABC◎△DBP为例证明如下:
在△ABC与厶DBP中,因为/A=ZD,/B=ZB,PB=BC,所以△ABC◎△DBP.
13.例:
△AOB◎△COD.
证明:
•••四边形ABCD为平行四边形,
•••OA=OC,OB=OD,
又•••/AOB=/COD,
•△AOBCOD.
14.
(1)证明:
连结OD
•/PA为OO切线
•/OAD=90°
•/OA=OB,DA=DB,DO=DO,
•••△OADB△OBD
•••/OBD=/OAD=90°,
•P
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