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弧长的计算
弧长的计算
一、弧长的计算
设圆的半径为R,直径为d,周长为C,n°的圆心角所对的弧长为l.
1.圆的周长:
2.弧长
二、扇形的面积
1.扇形:
一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
2.扇形的面积
设扇形OAB的半径为R,弧长为l,圆心角为n°,面积为S扇形.
则
三、圆柱、圆锥的侧面积
(一)圆柱
1.组成:
2.
3.侧面:
圆柱的侧面展开图是一个矩形,矩形的长是圆柱底面的周长,宽是圆柱的高.
S侧=2πr·h
S表=2πrh+2πr2
(二)圆锥
1.组成:
2.
3.侧面:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长是圆锥底面的周长,半径是圆锥的母线长.
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°,
则
典型例题
例1已知矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.
(1)以BC的中垂线MN为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积及表面积;
(2)以AB的中垂线MN为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积及表面积;
(3)以AB所在的直线为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积及表面积;
(4)以BC所在的直线为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积及表面积.
知识考查:
圆柱的侧面展开,圆柱的侧面积、表面积公式及计算.
思路分析:
分别求出旋转后几何体(圆柱)的底面半径r及高h,再求面积.S侧=2πr·h,S表=2πrh+2πr2.
解:
(1)由题意,
,h=AB=6,
∴S侧=2π×4×6=48π(cm2),
S表=2π×4×6+2π×42=48π+32π=80π(cm2).
(2)由题意,
,h=BC=8,
∴S侧=2π×3×8=48π(cm2),
S表=2π×3×8+2π×32=48π+18π=66π(cm2).
(3)由题意,r=8,h=6,
∴S侧=2π×8×6=96π(cm2),
S表=2π×8×6+2π×82=96π+128π=224π(cm2).
(4)由题意,r=6,h=8,
∴S侧=2π×6×8=96π(cm2),
S表=2π×6×8+2π×62=168π(cm2).
例2已知:
Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6cm,AC=8cm.
(1)以AC所在直线为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积和表面积;
(2)以BC所在直线为轴旋转一周,求所得几何体的侧面积和表面积;
(3)以AB所在直线为轴旋转一周,求所得几何体的表面积.
知识考查:
勾股定理,圆锥的侧面积、表面积公式及计算.
思路分析:
分别求出圆锥的底面半径和母线长,再利用公式求面积.
解:
(1)由题意,r=BC=6,
,
∴
,
.
(2)由题意,r=AC=8,l=AB=10,
∴
,
.
(3)过C作CO⊥AB于O.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴
.
∵
,
即
,
∴CO=4.8.
∴
=π×4.8×(6+8)
=π×
×14
=
π(cm2).
能力训练
一、选择题
1.如果圆锥的底面半径为3cm,母线长为4cm,那么它的侧面积等于( )
A.24πcm2 B.12πcm2 C.12cm2 D.6πcm2
2.某学校需要修一个半径为15米,圆心角为60°的扇形投掷场地,那么该场地的面积(结果精确到0.1平方米)约为( )
3.一个圆柱的高是底面圆半径的两倍,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A.5:
4 B.4:
3 C.3:
2 D.2:
1
4.小明要制作一个圆锥模型,其侧面是由一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形纸板制成的,还需要一块圆形纸板做底面,那么这块圆形纸板的直径为( )
A.15cm B.12cm C.10cm D.9cm
5.如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形,那么圆锥的表面积是( )
A.8πcm2 B.10πcm2 C.12πcm2 D.16πcm2
6.已知圆锥形模具的母线长和底面圆的直径均是10cm,求得这个模具的侧面积是( )
A.50πcm2 B.75πcm2 C.100πcm2 D.150πcm2
7.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线BC为轴旋转一周得一个圆锥,则这个圆锥的表面积为( )
A.65πcm2 B.90πcm2 C.156πcm2 D.300πcm2
8.如图,某种牙膏上部圆的直径为3cm,下部底边的长度为4.8cm,现要制作长方体的牙膏盒,牙膏盒的上面是正方形.以下列数据作为正方形边长制作牙膏盒,既节省材料又方便取放的是(
取1.4)( )
9.秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡该秋千时,秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A.π B.2π米 C.
π米 D.
π米
二、填空题
1.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm(如图),则圆锥的侧面展开图的圆心角为____度.
2.已知圆锥的母线长5cm,底面半径为3cm,那么它的侧面展开图的圆心角等于____.
3.如果圆柱的底面半径为3cm,高为3cm,那么这个圆柱的侧面展开图的面积是____cm2.
4.已知矩形ABCD的一边AB=5,另一边BC=6,以直线AB为轴旋转一周所得的圆柱的侧面积为____.
5.将一个底面半径为2cm,高为4cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开,所得到的侧面展开图的面积为____cm2.
6.张师傅要用铁皮制做一个高为40cm,底面半径为15cm的圆柱形无盖水桶,需要铁皮____cm2.(接缝与边沿折叠部分不计,结果保留π)
7.矩形ABCD中,AB=3,AD=4,则以AD为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为____.(用含π的式子表示)
三、解答题
1.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起,连结AC、BD.
(1)求证:
△AOC≌△BOD;
(2)若OA=3cm,OC=1cm,求阴影部分的面积.
2.在半径为27m的圆形广场中央点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆锥形,其轴截面SAB的顶角为120°(如图).求光源离地面的垂直高度SO(精确到0.1m).(
=1.414,
=1.732,
=2.236,以上数据供参考)
3.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料,现找出其中的一种,测得∠C=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径).
参考答案
一、1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B
二、1.120° 2.216° 3.18π 4.60π 5.16π 6.1425π 7.42π
三、1.
(1)证明:
由题意,OC=OD,OA=OB,
∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB=90°,
∴∠AOC=∠BOD.∴△AOC≌△BOD
(2)解:
2.解:
由题意,SO⊥AB于O,
∴∠SOA=∠SOB=90°.
又SA=SB,∠ASB=120°,
∴∠SAB=∠SBA=
=30°.
∵
,∴
3.如图.
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