初中数学九大几何模型.docx
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初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型
一、手拉手模型----旋转型全等
D
(1)等边三角形
OO
C
E
C
A
图1
B
A
图2
【条件】:
△OAB和△OCD均为等边三角形;
【结论】:
①△OAC≌△OBD;②∠AEB=60°;③OE平分∠AED
D
(2)等腰直角三角形
OC
E
ABA
图1
D
E
B
D
O
E
C
B
图2
【条件】:
△OAB和△OCD均为等腰直角三角形;
【结论】:
①△OAC≌△OBD;②∠AEB=90°;③OE平分∠AED
(3)顶角相等的两任意等腰三角形
D
O
O
C
【条件】:
△OAB和△OCD均为等腰三角形;
D
E
且∠COD=∠AOB
E
【结论】:
①△OAC≌△OBD;
C
②∠AEB=∠AOB;
③OE平分∠AED
A
图1
B
A
图2
B
OO
二、模型二:
手拉手模型----旋转型相似
(1)一般情况
D
【条件】:
CD∥AB,CD
将△OCD旋转至右图的位置
AB
【结论】:
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD;
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA
O
(2)特殊情况
C
D
【条件】:
CD∥AB,∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置
A
B
【结论】:
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD;
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA;
③BD
OD
OB
tan∠OCD;④BD⊥AC;
AC
OC
OA
⑤连接AD、BC,必有AD2
BC2
2
2;⑥S△BCD
ABCD
三、模型三、对角互补模型
(1)全等型-90°
【条件】:
①∠AOB=∠DCE=90°;②OC平分∠AOB
E
C
AB
D
O
C
E
AB
1ACBD
2A
C
D
OEB
图1
【结论】:
①
;②
OD+OE=
2
;③
S△DCE
S△OCD
S△OCE
1
OC
2
CD=CE
OC
2
证明提示:
A
C
M
①作垂直,如图2,证明△CDM≌△CEN
D
②过点C作CF⊥OC,如图3,证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如图
4):
O
N
EB
图2
以上三个结论:
①CD=CE;②OE-OD=
2OC;
A
1OC
2
M
C
③S
S
△OCE
△OCD
2
A
C
D
O
N
B
E
O
图3
E
F
BD
图4
(2)全等型-120°
【条件】:
①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC平分∠AOB
【结论】:
①CD=CE;②OD+OE=OC;③S
S
S
3
OC2
△DCE
△OCD
△OCE
4
证明提示:
①可参考“全等型
-90°”证法一;
②如右下图:
在
OB上取一点
F,使OF=OC,证明△OCF为等边三角形。
A
C
A
C
F
F
O
E
B
O
E
FB
(3)全等型-任意角ɑ
【条件】:
①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ;②CD=CE;
【结论】:
①OC平分∠AOB;②OD+OE=2OC·cosɑ;
③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图):
原结论变成:
①;
②;
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
A
C
D
A
OEB
C
O
EB
D
对角互补模型总结:
①常见初始条件:
四边形对角互补,注意两点:
四点共圆有直角三角形斜边中线;
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;A
③注意OC平分∠AOB时,C
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导?
D
O
四、模型四:
角含半角模型90°
(1)角含半角模型90°---1
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
①EF=DF+BE;②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半;
也可以这样:
【条件】:
①正方形ABCD;②EF=DF+BE;
【结论】:
①∠EAF=45°;ADA
F
BECGBE
(2)角含半角模型90°---2
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
①EF=DF-BE;
ADADA
CC
EBEBEB
EB
D
F
C
D
C
FFF
(3)角含半角模型90°---3
【条件】:
①Rt△ABC;②∠DAE=45°;
【结论】:
BD2CE2DE2(如图1)
若∠DAE旋转到△ABC外部时,结论BD2A
F
BDECB
A
DBEC
(4)角含半角模型90°变形A
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
△AHE为等腰直角三角形;
CE2
DE2仍然成立(如图
2)
A
DFEC
A
DBEC
DAD
HH
FF
证明:
连接AC(方法不唯一)
G
G
∵∠DAC=∠EAF=45°,
B
E
CB
E
C
∴∠DAH=∠CAE,又∵∠ACB=∠ADB=45°;
∴△DAH∽△CAE,∴DA
AC
AH
AE
∴△AHE∽△ADC,∴△AHE为等腰直角三角形
模型五:
倍长中线类模型
(1)倍长中线类模型---1
ADAD
【条件】:
①矩形ABCD;②BD=BE;
③DF=EF;
FF
BCEHBEH
【结论】:
AF⊥CF
模型提取:
①有平行线AD∥BE;②平行线间线段有中点DF=EF;
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
(2)倍长中线类模型---2
【条件】:
①平行四边形ABCD;②BC=2AB;③AM=DM;④CE⊥AB;
【结论】:
∠EMD=3∠MEA
辅助线:
有平行AB∥CD,有中点AM=DM,延长EM,构造△AME≌△DMF,连接CM构造
等腰△EMC,等腰△MCF。
(通过构造8字全等线段数量及位置关系,角的大小转化)
F
AMDAMD
EE
B
C
B
C
模型六:
相似三角形360°旋转模型
(1)相似三角形(等腰直角)
360°旋转模型---
倍长中线法
【条件】:
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形;②
EF=CF;
【结论】:
①DF=BF;②DF⊥BF
辅助线:
延长DF到点G,使FG=DF,连接CG、BG、BD,证明△BDG为等腰直角三角形;
突破点:
△ABD≌△CBG;
C
C
难点:
证明∠BAO=∠BCG
F
G
F
D
D
A
B
A
B
E
(2)相似三角形(等腰直角)
360°旋转模型---
补全法
C
【条件】:
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形;②
EF=CF;C
G
【结论】:
①DF=BF;②DF⊥BF
辅助线:
构造等腰直角△AEG、△AHC;
F
辅助线思路:
将DF与BF转化到CG与EF。
F
D
D
A
B
A
B
E
E
H
(3)任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】:
①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE;【结论】:
①AE=DE;②∠AED=2∠ABO
辅助线:
延长BA到G,使AG=AB,延长CD到点H使DH=CD,补全△OGB、△OCH构造旋转模
H
型。
转化AE与DE到CG与BH,难点在转化∠AED。
OGO
D
ADA
B
EB
CEC
(4)任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】:
①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE;【结论】:
①AE=DE;②∠AED=2∠ABO
辅助线:
延长DE至M,使ME=DE,将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO,此为难点,
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在
O
证明∠ABM=∠AOD
O
D
A
D
A
B
E
B
C
E
C
模型七:
最短路程模型
M
(1)最短路程模型一(将军饮马类)
A
总结:
右四图为常见的轴对称类最短路程问题,
最后都转化到:
“两点之间,线段最短:
解决;
B
PA+PB
l
P
B'
特点:
①动点在直线上;②起点,终点固定
A'
l1
A
P
A
A'
A
A'
B
P
l1
B
Q
l2
l
Q
l2
PA+PQ+BQ
P
Q
PA+PQ+BQ
B'
PA+PQ+BQ
B'
B
(2)最短路程模型二(点到直线类
1)
【条件】:
①OC平分∠AOB;②M为OB上一定点;③P为OC上一动点;④Q为OB上一动点;
【问题】:
求MP+PQ最小时,P、Q的位置?
辅助线:
将作
Q关于OC对称点Q’,转化PQ’=PQ,过点M作MH⊥OA,
A
则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短)
A
H
Q'P
P
O
Q
MB
(3)最短路程模型二(点到直线类
2)
【条件】:
A(0,4),B(-2,0),P(0,n
)
【问题】:
n为何值时,PB
5PA最小?
5
求解方法:
①x轴上取C(2,0),
使sin∠OAC=
5
;②过B作BD⊥AC,交y轴于点E,即为
5
1
所求;③tan∠EBO=tan∠OAC=,即E(0,1)
2
y
A
y
A
P
P
D
E
B
O
x
B
O
C
x
(4)最短路程模型三(旋转类最值模型)
【条件】:
①线段OA=4,OB=2;②OB绕点O在平面内360°旋转;
【问题】:
AB的最大值,最小值分别为多少?
【结论】:
以点O为圆心,OB为半径作圆,如图所示,将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”
。
B
最大值:
OA+OB;最小值:
OA-OB
A
最小值位置
O
最大值位置
【条件】:
①线段OA=4,OB=2;②以点O为圆心,OB,OC为半径作圆;
③点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点;
【结论】:
若PA的最大值为10,则OC=6
;若PA的最小值为
1,则OC=3
;
若PA的最小值为2,则PC的取值范围是
0 C B AO P 【条件】: ①Rt△OBC,∠OBC=30°; ②OC=2;③OA=1;④点P为BC上动点(可与端点重合);⑤△OBC绕点O旋转 【结论】: PA最大值为 1 2 3 ;PA的最小值为 1OB OA31 OA+OB= 2 如下图,圆的最小半径为 O到BC垂线段长。 C C P P A O B AO B 模型八: 二倍角模型 【条件】: 在△ABC中,∠B=2∠C; 辅助线: 以BC的垂直平分线为对称轴,作点A的对称点A’,连接AA’、BA’、CA’、 则BA=AA’=CA’(注意这个结论) 此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一,不是唯一作法。 A A A' BCBC A 模型九: 相似三角形模型 (1)相似三角形模型--基本型D 平行类: DE∥BC; B A字型 结论: ADAEDE(注意对应边要对应) ABACBC (2)相似三角形模型---斜交型 【条件】: 如右图,∠AED=∠ACB=90°;E 【结论】: AE×AB=AC×ADB EDA A EDE CBCBC 8字型A字型 AA E D C C B 斜交型 斜交型 D A A E E B斜交型CBC 【条件】: 如右图,∠ACE=∠ABC; 2 【结论】: AC=AE×AB 第四个图还存在射影定理: 2 2 AE×EC=BC×AC;BC=BE×BA;CE=AE×BE; (3)相似三角形模型--- 一线三等角型 E 【条件】: (1)图: ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°; (2)图: ∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°; A (3)图: ∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°; 【结论】: ①△ABC∽△CDE;②AB×DE=BC×CD; B C D 图 (1) 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 A A E E BCDBCD图(3) 图 (2) (4)相似三角形模型---圆幂定理型 A 【条件】: (2)图: PA为圆的切线; 【结论】: (1)图: PA×PB=PC×PD; 2 (2)图: PA=PC×PB; (3)图: PA×PB=PC×PD; D P B C 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。 图 (1) A P P A C B B C 图 (2) D 图(3) 清代“红顶商人”胡雪岩说: “做生意顶要紧的是眼光,看得到一省,就能做一省的生意;看得到天下,就能做天下的生意;看得到外国,就能做外国的生意。 ”可见,一个人的心胸和眼光,决 定了他志向的短浅或高远;一个人的希望和梦想,决定了他的人生暗淡或辉煌。 人生能有几回搏,有生不搏待何时! 所有的机遇和成功,都在充满阳光,充满希望的大道之上! 我们走过了黑夜,就迎来了黎明;走过了荆棘,就迎来了花丛;走过了坎坷,就走出了泥 泞;走过了失败,就走向了成功! 一个人只要心存希望,坚强坚韧,坚持不懈,勇往直前地去追寻,去探索,去拼搏,他总有一天会成功。 正如郑板桥所具有的人格和精神: “咬定青山不放松,立根原在破岩中。 千磨万 击还坚劲,任尔东南西北风。 ” 梦想在,希望在,人就有奔头;愿奋斗,勇拼搏,事就能成功。 前行途中,无论我们面对怎样的生活,无论我们遭遇怎样的挫折,只要坚定执着地走在充满希望的路上,就能将逆境变为 顺境,将梦想变为现实。 实现人生的梦想,我们必须希望和拼搏同在,机遇和奋斗并存,要一如既往,永远走在充满希望的路上!
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