二次函数与三角形最大面积的3种求法.docx

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二次函数与三角形最大面积的3种求法

二次函数与三角形最大面积的3种求法

一•解答题（共7小题）

2

1.（2012?

广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3,0）和点C,与y轴交于点B（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；

（3）

在第一象限的抛物线上，是否存在一点P,使得△ABP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不

为（3,0）.

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC•在x轴下方的抛物线上求一点皿，使厶AMC与厶ABC的面积相等;

（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|.探究：

是否存在一点N，使d的值最大？

若存在,

请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由.

3.（2011?

茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C（5,0）,抛

物线对称轴I与x轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）点P在抛物线上，且以A、0、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC•探索：

在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？

若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由.

\

-0

\

4.（2012?

黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C（5,0）,

抛物线的对称轴I与x轴相交于点M.

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x>5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC,探索：

在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？

若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

一2

5.（2013?

新疆）如图，已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线I与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？

若存在，求出点D的坐标，若不

存在，请说明理由；

（3）若点E是

（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.

2

y=-x+bx+c与x轴交于A（1,0）,B（-3,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?

若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由;

（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大？

若存在，求出点P的坐标

及厶PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.

:

\

C

V

1

1

h

R

2

7.如图，已知二次函数y=ax+bx+c经过点A（1,0）,C（0,3）,且对称轴为直线x=-1.

（1）求二次函数的表达式；

P的坐标.

二次函数与三角形最大面积的3种求法

参考答案与试题解析

一•解答题（共7小题）

2

1.（2012?

广解：

（1）：

抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A（3,0）和点B（0,西）解答：

...輕+6+匚二0,解得a=-1,c=3,

lc=3

2

.抛物线的解析式为：

y=-x+2x+3.

（2）对称轴为x=-上=1,

2a

2

令y=-x+2x+3=0，解得xi=3,x2=-1,.C（-1,0）.

A、C两点关于对称轴对

如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.

设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3,0）、B（0,3）可得：

/3k+b=0，解得k=-1,b=3,

'b=3

•••直线AB解析式为y=-x+3.

当x=1时，y=2,.D点坐标为（1,2）.

（3）结论：

存在.

如图2所示，设P（x,y）是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PN丄x轴于点N，则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.

Saabp=S梯形pnob+Sapna-S^aob

_1

2

=1

=2

=3

=2

当x=时y=-x2+2x+3=］」P（「：

）.

所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P,使得△ABP的面积最大;

2.（2013?

茂名）

解答：

解：

（1）v抛物线y=ax2-'x+2经过点B（3,0）,

3

9a-二X3+2=0,

3

解得a=-丄,

9

•••y=-'x2-「x+2,

93

•••y=-2x2-2x+2=-1（x2+3x）+2=--（x+」）2^,

939924

•••顶点坐标为（-」，卫）；

24

⑵「抛物线尸-{x+2的对称轴为直线x=-'，

与x轴交于点A和点B,点B的坐标为（3,0）,••点A的坐标为（-6,0）.

又•••当x=0时，y=2,

•C点坐标为（0,2）.

设直线AC的解析式为y=kx+b,

-6k+b=0

则*

lb二2

•直线AC的解析式为y=；x+2.

TSaaMC=S^ABC，

•••点B与点M到AC的距离相等，又•••点B与点M都在AC的下方,

•BM//AC,

设直线BM的解析式为y=-^x+n,

将点B（3,0）代入，得丄X3+n=0,

3

1i

尸-討-站+2

•M点的坐标是（-9,-4）;

（3）在抛物线对称轴上存在一点

-2

•••抛物线y=-x-x+2与x轴交于点A和点B,

93

•••点A和点B关于抛物线的对称轴对称.

连接BC并延长，交直线x=-于点N，连接AN，贝UAN=BN，此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大.

2

设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3,0）,C（0,2）两点的坐标代入，

3[rr+t=0

it=2，

",

1=2

•直线BC的解析式为y=-x+2,

3

当x=--!

时，y=-_Lx（-_）+2=3,

232

•••点N的坐标为（-2,3）,d的最大值为BC={3^+2&履.2

3.（2011?

茂名）

解答：

解：

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5）,

把点A（0,4）代入上式得：

a=2

5

•y=§（x-1）（x-5）=_^x-聖x+4=S（x-3）2-吏，

55555

•抛物线的对称轴是：

x=3;

•••抛物线对称轴过点M,

•••在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,

即PM=5，此时点P横坐标为6,即AP=6；

故以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，

即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大.

设N点的横坐标为t，此时点N（t,上t2-亠t+4）（OvtV5）,

55

过点N作NG//y轴交AC于G;作AM丄NG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：

y=-总x+4;

5

把x=t代入得：

y=-t+4，则G（t，-t+4），

55

此时：

NG=-x+4-（『-：

t+4）=-_t2+4t

5555

•/AM+CF=CO，

22-

--acn=Saang+S△cgn=—AM>NG+—NGXCF=—NG?

0C=（-t+4t）>5=-2t+10t=-2（t-

2252

225

T，

•••当t=时，△CAN面积的最大值为—'，

22

由t=±，得:

y=」t2—丄=t+4=—3，

255

二N（'，—3）.

2

4.（2012?

黔西南州）

解答：

解:

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为

y=a（x—1）（x—5），

将点A（0，4）代入上式解得：

a=±

5

y=_2（x-1）（x-5）=_!

x2--二x+4=」（x-3）2—

16

Y

5

5

55

x=3;

即可得函数解析式为:

故抛物线的对称轴是:

（2）P点坐标为：

（6,4）,

由题意可知以A、0、M、P为顶点的四边形有两条边A0=4、OM=3,

又•••点P的坐标中x>5,

•••MP>2,AP>2;

•••以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，

•四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，

在Rt△A0M中，AM=厂.畀工—=5,

•••抛物线对称轴过点M,

•••在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,

即PM=5，此时点P横坐标为6,即AP=6;

故以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,

即P（6,4）;

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大.

设N点的横坐标为t，此时点N（t,上t2-八t+4）（OvtV5）,

55

过点N作NG//y轴交AC于G,作AM丄NG于M,由点A（0,4）和点C（5,0）可求出直线AC的解析式为：

y=-；'x+4;

5

4d

把x=t代入y=-—x+4，则可得G（t,-t+4）,

55

此时：

NG=-—x+4—（士t2—丄t+4）=-二t2+4t

「丫:

:

•/AM+CE=CO,

.22-二S^acn=Saang+S△CGN=—AM>NG+—NG>

OC=—（1+4t）>5=-2t+10t=-2（t-

2丄三

+

T

.•.当t=±时，△CAN面积的最大值为—',

22

由t=:

得：

y=^t2-'t+4=-3,

255

5

•N（,-3）.

2

2

解：

（1）v抛物线y=ax+bx+3经过点A（1,0）,点C（4,3）,

fa+b+3=0

16a+4b+3=3，

a=l

b=—4’

解得」

所以，抛物线的解析式为y=x2-4x+3;

（2）•••点A、B关于对称轴对称，

•••点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小,设直线AC的解析式为y=kx+b（k用）,

fk+b=0

L4k+b二3'

k=l

b=-1?

解得*

2-1,

x=2,

所以，直线AC的解析式为y=x-1,

2

•y=x-4x+3=（x-2）

•••抛物线的对称轴为直线

当x=2时，y=2-1=1,

•

D（2,1）,使厶BCD的周长最小;

••抛物线对称轴上存在点

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m,

y=x+iD

联立*?

y二J_4x+3

2

消掉y得，x-5x+3-m=0,

2

△=（-5）2-4X1X（3-m）=0,

即m=-上时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积

4

叶计55133

2244_

53

•••点E的坐标为（一，-—）,

设过点E的直线与x轴交点为F,贝UF（_：

0）,

4

•••AF=—-仁」,

44

•••直线AC的解析式为y=x-1,

•••/CAB=45°

•••点F到AC的距离为AF?

sin45°「二，

428

又•••AC=_J_=3-

•△ACE的最大面积>3匚乂'，此时E点坐标为（’，-二）.

28824

-l+b+c=0

-9-3b+c-0

（2分）

（3分）

抛物线解析式为:

2

y=-x-2x+3;（4分）

（2）存在（5分）

理由如下：

由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称•直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

2cC

•/y=-x-2x+3

•C的坐标为：

（0,3）

直线BC解析式为：

y=x+3（6分）

严耳二—]

Q点坐标即为«'

1尸k+3

—1

解得’

[尸2

•Q（-1,2）;（7分）

（3）存在.（8分）

2

理由如下：

设P点（x,-x-2x+3）（-3

9

-Sabpc=S四边形BPCO-5△boC=S四边形BPCO-~

若S四边形BPCO有最大值，则S^BPC就最大，

•-S四边形BPCO=SABPE+S直角梯形PEOC（9分）

=gBE?

PE+^OE（PE+OC）

=（x+3）（-x2_2x+3）+（-x）（-x2

22

-2x+3+3）

当x=-时，S四边形BPCO最大值=—.L—

22F

二S^bpc最大='^（10分）

_282S

当x=-时，-x2-2x+3=—r

24

•••点P坐标为（-\_2）.（11分）

24

7.

答:

解ra+b+c=O

c二—只

解：

（1）根据题意得：

*

解得：

a=1,b=2,c=-3,

•••抛物线解析式为y=x2+2x-3.

2

（2）令y=0,则x+2x-3=0,解得x=1或x=-3,

•AB=4,

■/△PAB得面积为10,设P的纵坐标为h,

•—ABX|h|=10,

•|h|=5,

22,

-y=x+2x-3=（x+1）-4,

•顶点坐标为（-1,-4）,

•P的纵坐标不能为-5,

•,h=5,

代入得5=x2+2x-3,解得x=2,x=-4;

•点P的坐标为（2,5）,（-4,5）.

•四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，

在Rt△AOM中，AM=厂”「=「：

=5,

6.（2009?

江津区）

2

解：

（1）将A（1,0）,B（-3,0）代y=-x*2+bx+c中得