线性代数与概率统计及答案.docx
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线性代数与概率统计及答案
第一章
行列式
、单项选择题
(A)0
(B)
1
(C)
1(D)2
若
311ai2
a,则
312
ka22
ka21
().
a21a22
a11
(A)
1ka
(B)
ka
(C)
k2a(D)
3.
已知4阶行列式中第
1行兀依次是4,0,1,3,
k2a
(A)0(B)
3
(C)3
(D)2
X1
X2
kX3
0
5.k等于下列选项中哪个值时,
齐次线性方程组
X1
kx2
X3
0有非零解
kx1
X2
X3
0
(A)1(B)
2
(C)3
(D)
0
则x().
.()
0...
2...
2.
0...
0...
行列式
ai1
a12
a13
a11
a13
3a12
3a12
3.如果D
a21
a22
a23
M,则D1
a21
a23
3a22
3a22
a31
a32
a33
a31
a33
3a32
3a32
n
1
x
4.行列式
5.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为
kx1
2x2
X30
2x1
kx2
0仅有零解的充要条件是
X1
X2
X30
6.齐次线性方程组
7.若齐次线性方程组
3x1
2x2
2x2
2x2
X3
5x3
kx3
0
0有非零解,则k=
0
、计算题
2.
3.解方程
6.
b...
(n
1)b
1
1
1
...1
bl
a1
a1
...a
7.
bl
b2
a2
...a2
bl
b2
ba
...an
四、证明题
x
a1
a2
...an
a1
x
a2
...an
a1
a2
x
...an
a1
a2
a3
...x
8.
1.设abed
1,
证明:
a2
b2
1
a2
1
了
1
e
1
1
0.
1
qdxa1xblG
印b1G
2.
a2bzXa2xb2C2
(1x2)
a2b2C2
aabaxaaXbaC3
aabaC3
d
d
1
1
d2
3.
a
2a
4a
1
b
b2
b4
e
2e
4e
1
d
d2
d4
(b
a)(c
a)(d
a)(e
b)(d
b)(d
e)(a
d).
第二章
矩阵
一、单项选择题
1.A、B为n阶方阵,
(a)A2
则下列各式中成立的是
2
222
A(b)AB(AB)(AB)(e)
(AB)A
A2AB(d)
(AB)Tatbt
2.设方阵ABC满足AB=AC当A满足()
(a)AB=BA(b)
时,B=C
A0(e)方程组AX=O有非零解
(d)B、C可逆
3.若A为n阶方阵,k为非零常数,则|kA
(a)kA(b)
kA(e)kn|A(d)
A中任意一行为其它行的线性组合
A中必有一行为其它行的线性组合
4.设A为n阶方阵,且lA0,则()
(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)
(e)A中至少有一行元素全为零(d)5.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则()。
(a)(a)
A1
(b)
A(e)
In1
A(d)
6.
设A,B为n阶方矩阵,A2B2,则下列各式成立的是
1
(c)A0
0
(d)对任何n维非零向量X,均有AX
.ABC
.CBA
的是()
A.ACB
C.BAC
12.设矩阵A,B均为可逆方阵,
则以下结论正确的是(D)
A
A.B可逆,且其逆为B1
A
B.B不可逆
C.B可逆,且其逆为
D.B可逆,且其逆为
13.已知向量2
(1,2,
2,1)T,3
(1,4,3,0)T,则
A.(0,2,1,1)T
B.
(2,0,1,1)T
C(1,1,2,0)t
(2,6,5,1)T
14.设A和B为n阶方阵,
F列说法正确的是(C)
A.若ABAC,则BC
B.
若AB0,则A0或B0
C.若
AB
0,则
0D.
0,则AE6、设两事
二、填空题
1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2
2.
行列式
4.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为
三、计算题
1.解下列矩阵方程
2
1)1
1
四、证明题
1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.
2.设Ak0(k为整数),求证IA可逆.
4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.
5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
、单项选择题
m,
(a)必有r个行向量线性无关
、填空题
1.若1(1,1,1)T,2(1,2,3)t,3(1,3,t)T线性相关,则t=
0
2.n维零向量一定线性关。
3.
向量线性无关的充要条件是_
5.n维单位向量组一定线性,
三、计算题
1.设1
(1,1,1)T,
2(1,1
1)T,
3(1,1,1)T,
(0,
2),问
(1)
为何值时,
能由1,2,
3唯一地线性表示?
(2)
为何值时,
能由1,2,
3线性表示,
但表达式不唯一?
(3)
为何值时,
不能由1,2
3线性表示?
2.设1
(1,0,2,3)
T,2(1,
1,3,5)T,
3(1,1,a2,1)T,
4(1,
2,4,a8)T
,(1,1,
b3,5)T
问:
(1)
a,b为何值时,
不能表示为
1,2,3,
4的线性组合?
(2)
a,b为何值时,
能唯一地表示为1,2
3,4的线性组合?
3.求向量组1(1,1,
0,4)T,
2(2,1,
5,6)T,3(1,2,5,2)T,
4
(1,1,2
0)T,5
(3,0,7,
14)T的一个极大线性无关组,并
将其余向量用该极大无关组线性表示。
四、证明题
1.设1
12,23
21,32
12,试证1,2,3线性相关。
2.设1,
2,...,n线性无关
,证明1
2,23,...
n1在n为奇数时线性无关;
在n为偶数时线性相关。
第四章线性方程组
X1
2x2
X3
4
4.方程组
X22X3
2无解的充分条件是
(
2)x3
(
3)(
4)
(1)
(A)1
(B)2
(C)
3
(D)4
X1X2
X3
1
5.方程组
2x2
X3
2
'有唯一解的充分条件是
X3
4
(
1)X3
(
3))(
1))
(A)1
(B)2
(C)
3
(D)4
二、填空题
1.设A为100阶矩阵,为.
5.
r(A)
若线性方程组AmnXb的系数矩阵的秩为m,贝U其增广矩阵的秩为
三、计算题
1)求(I)的一个基础解系
2)如果ki(0,1,1,0)Tk2(1,2,2,1)T是某齐次线性方程组(II)的通解,问方程组(I)和(II)是否有非零的公共解?
若有,求出其全部非零公共解;若无,说明理由。
第五章特征值与特征向量
、单项选择题
001
1.设A
010,则A的特征值是()。
100
(a)-1,1,1
(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,2
110
2.设A
101,则A的特征值是()。
011
(a)0,1,1
(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,1
3.
设A为n阶方阵,A2I,则()。
(a)
|A|1(b)A的特征根都是1(c)r(A)n(d)A一定是对称阵
的特征向量的充分条件是()。
1.
的一个特征向量.
若方阵A与4I相似,则A。
三、计算题
若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应
2.求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵.
21
1)A12
2)
四、证明题
1.设A是非奇异阵,
是A的任一特征根,求证丄是A1的一个特征根,并且A关于
的特征向量也是A1关于丄的特征向量.
2.
设A2E,求证A的特征根只能是1.
设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.证明:
相似矩阵具有相同的特征值.
设n阶矩阵AE,如果r(AE)
设A:
B,证明Ak:
Bk。
设1,2是n阶矩阵A分别属于
的特征向量。
3.
4.
5.
6.
7.
r(AE)n,证明:
-1是A的特征值。
2的特征向量,且12,证明12不是A
概率论部分
一、填空:
(每题3分,共15分)
假设A,B是两独立的事件,P(AB)
0.7,P(A)0.3,则P(B)
2.
设A,B是两事件,P(A|B)1/4,P(B)1/3,则P(AB)
3.
若二维随机变量(X,Y)满足E(XY)E(X)E(Y),则X与Y
4.
随机变量X~N(0,1),Y2X3,则丫~
5.
设总体X~N(0,1),X1,X2,L,X1o是来自总体X的样本,则
X服从
分布。
二、选择:
(每题3分,共15分)
如果()成立,则事件A,B互为对立事件
2.
x
若X的概率密度为f(x)4x
0
0x
2x
其它
2
4,则P{X3}
()
3.
设随机变量X~B(n,P),则方差
var(X)
()
下列结论正确的是()
A.X与Y相互独立,则X与Y不相关
B.X与丫不独立,则X与丫相关
C.X与丫不相关,则X与丫相互独立
D.X与Y相关,则X与Y相互独立
22
5.设X1,X2,,Xn为来自正态总体X~N(,)的一个样本,其中已知,未知,则下
面不是统计量的是()
三、计算:
(共70分)
1.(15分)甲乙两袋,甲袋中有两白球一个黑球,乙袋中有一个白球两个黑球。
先从甲袋中取一球放到乙袋中,再从乙袋中取一球,
(1)求从乙袋中取岀的是白球的概率;
(2)已发现从乙袋中取岀的是白球,问从甲袋中取岀放入乙袋中的球为白球的概率。
(1)试求关于X及丫的边缘概率密度;
(2)判断X与丫是否相互独立,并说明理由
线性代数部分参考答案
第一章
行列式
一、单项选择题
1.(
.填空题
1.0;2.(
2;6.k2,3;7.k7
1.
2.
三.计算题
3\
y);
(2
b)(1b)...((n2)b);
(1)n
n
(bkak);
nn
5(Xak)(XaQ;
k1k1
第二章参考答案
12.(D))14.(Q
.1.1或-1;2.0;
5.81
三、)
10
13
16
;2)、
;6.0;
1
2
2
1
2
3;3)、
8
9
12
6
6.2.0;
9
1
0
3.0
0
4.
第三章向量参考答案
单项选择
填空题
1.52.
解答题
相关3.
4.相关
1.解:
设
X11X2
X33
(1
则对应方程组为
X1
X1
)X1
(1
X2
X2
)X2
(1
X3
其系数行列式A
(1)当
0,
3时,A
性表示;
(2)当
0时,
r(A)
r(A)
X3
)X3
2(
3)
0,方程组有唯一解,所以
1
方程组的增广阵A1
1
可由
1,2,3唯一地线
13,方程组有无穷多解,所以
可由
表示式不唯一;
2,
3线性表示,但
3
12
18
r(A)r(A),方程组无解,
所以
不能由
3线性表示。
2.解:
以
2,
为列构造矩阵
(1)
不能表示为
3,
4的线性组合;
(2)
1,b任意时,
能唯一地表示为
的线性组合。
3.解:
5)
1
1
0
4
2
1
5
6
1
2
5
2
1
1
2
0
3
0
7
14
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
2
1
1
0
4为一个极大无关组,且
四、证明题
1.证:
•••3(1
2)4(21
3)
3线性相关
2.证:
设k1(
2)
k2(2
3)
kn(n
1)
则(k1
kn)
(k1k2)2
(kn1
kn)
n线性无关
k1
k1
kn
k2
kn1
kn
其系数行列式
=1
1)n1
2,n为奇数
0,n为偶数
•••当n为奇数时,
k1,k2,
kn只能为零,
n线性无关;
2.k
1.是
3.1)
当n为偶数时,ki,k2,
单项选择题
填空题
2且k34.
计算题
2.不能
vi(0,0,1,0)
T
V2
、单项选择题
二、填空题
-1,1
三、计算题
1.a,(1,1,L,1)T
2.
(1)11
11
四.证明题(略)
概率论部分
一、填空(每题
3分共
1.4/7;2.1/12
;3.
15分)
不相关;
kn可以不全为零,
参考答案
5.m
n线性相关。
1,1,0,1)T2)k(1,1,1,1T(其中k为任意非零常数)
第五章参考答案
4.
Y~N(3,4);5.N(0,1/10)
二、选择(每题
1.C;2.C
三、计算
1.(15分)
3分共
3.D
15分)
;4.a
5.B
解:
设A{第一次从甲袋中摸的是黑球}A2{第一次从甲袋中摸的是白球}
(1)
由全概率公式
P(B)
Pg
P(B|A)P(AJP(B|A2)P(A2)Llllllllllllllllllll%分1212
-P(A)-,P(B|A1)-P(B|A2)-
3344
P(B|A2)
所以
P(B)=1/12+4/12=5/12
⑵要求P(A2|B),由贝叶斯公式
P(A2|B)
P(B|A2)P(A2)
P(B)
212
35
2.(10分)解:
(1)由
f(x)dx
1,得0Cx2dx
8-c
3
1,所以
⑵P{1
X1}
1
1f(x)dx
13x2dx
08
3.(10分)解:
(1)
YX2分别在
(,0)和(0,+
)单调,所以
fY(y)
fX(7y)i(皿
0,
fx(7?
)i(&)'i,0
y1
其他.
4分,
11,
6分,
0,
其他
或利用分布函数法:
FY(y)P{Yy}
P{X2
y}
P{
TvXTv}
P{0
XTy}……4分
◎xdx
0
y,
fY(y)FY(y)
1,
0,
0
其他
4.(10分)
解:
X=1,2,3
P{X1}
6
1?
P{x2}
C322p{x
10
3}
1
CJ
丄
10
6/10
3/101/10
E(X)
6分
「6c3c1
I—2—3—
101010
=•••12分
5.(15分)
解:
(1)fx(X)
f(X,y)dy
x
6xdy,0x
0
0,其它
6x2,0
0,其它
fY(y)
1
6xdx,0y1
f(x,y)dxy
0,其它
3(1
0
y2),0y1
,其它
EX
xf(x)dx
ox
A
3X
所以
J
2
•2分
A
由于E
3EX
3ex
2
2
计。
•——
6.(10分)解:
(1)
2xdx
所以
-•3分,-X•…2分,
3
的矩估计量为无偏估
1)n1n!
;3.3M;4.x4;5.
2,0,1;
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