商业保理资产证券化融资模型设计及定价分析研.docx
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商业保理资产证券化融资模型设计及定价分析研
第1章数理统计的基本知识1
第1章数理统计的基本知识
第1节统计学
统计学是用科学的方法收集、整理、汇总、描述和分析统计数据,在此基础上进行统计推断和决策的方法论科学。
统计学分为两大类:
?
描述统计学
?
推断统计学
一、描述统计学
描述统计学是研究对数据的收集、整理、汇总、显示、分析和对数据数量特征描述的方法,称为描述统计学或演绎统计学。
描述统计主要包含图形描述和数量特征描述。
1、收集数据(直接收集:
普查,抽样调查;间接收集:
统计报表)统计数据来源于直接或间接的调查和科学实验,常用的调查方法:
(1)普查(全面调查):
如人口普查
(2)抽样调查:
从调查对象的总体中抽出一部分作为样本,对样本
中包含的对象进行调查,根据样本的数据特征推断总体数量特征。
常用的抽样方法:
简单随机抽样,系统抽样和分层抽样。
①简单随机抽样
(a)抽签法
(b)随机数法:
用随机数表
使用简单随机抽样一般要满足以下特点:
总体中个体数较少,而且事
1
先不知道总体的任何信息。
②系统抽样:
当总体中个体的个数较多时,可将总体均衡分出几部分,定出规则,从每部分抽出1个,每个个体被抽到的可能性仍然相同。
比如,从1000个产品中抽取50个,50:
1000=1:
20,将1000个产品分成20组,每隔20个号抽取1个。
步骤:
(1)编号;
(2)分段(分组),组数k?
N,N表示总体中个体n
数,n表示抽取个体数;(3)确定起始抽样号;(4)每隔定间距k抽取所有号码。
③分层抽样:
当已知总体由差别明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按各部分的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
分成的各部分叫做层。
比如,一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁以上的有95人。
为了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,从中抽取容量为100的样本。
因已知年龄信息,采用分层抽样,抽样人数:
总人数=100:
500=1:
5,所以各层需要抽取的人数应占1的比例,从而1251=25,2801=56,951=19,在5555
各层抽取的人可采用简单随机抽样或系统抽样,显然,每人被抽到的可能性相同。
简单随机抽样和系统抽样事先不知道总体的任何信息,而分层抽样则充分利用总体的已知信息。
(3)统计报表
间接收集数据主要是通过国家和地方的统计部门或统计书刊等公
2
开出版物上查找的数据。
如《中国统计年鉴》,也可以从网上查阅。
常用的样本数据分为时间序列数据和横截面数据。
时间序列数据是按时间的先后顺序排列的数据。
如,年国民收入、年粮食产量、月消费额等。
横截面数据是在同一时间截面上的数据。
如,同一年度鞍钢、宝钢、首钢的钢产量;2014年度不同职业的受过大学教育的人的平均收入(教师、会计、医生、精算师等)。
代表性的参考书
?
中国科技大学研究生院李丛珠<抽样调查>
?
中国科学院严擎宇<抽样检查方法>
2、数据的整理、汇总和显示
(1)图形描述:
直方图
步骤:
第一步:
将收集的数据按某种规则排序(由小到大或由大到小)第二步:
确定组数和组距
第三步:
数出组频数,计算组频率
第四步:
计算组频率密度以及累积组频率
第五步:
做出统计表
第六步:
作图
例1从一批零件中抽出100个,测其重量(单位:
g)的一组样本
观察值
237240240241242242243244244244244244245245245246246246246246
3
246246247247247247247247247247248248248248249249249249249249249249249250250250250250250250250251251251251251251251252252252252252252252252252252252252253253253253253254254254254254255255255255255255256256256257257258258258259259260263264265试画出频率直方图和累积频率直方图.
第一步:
排序.最小值x
(1)?
237,最大值x(100)?
265
第二步:
确定组数和组距.分成10组,组距?
=3
第三步:
数出组频数,计算组频率
第四步:
计算组频率密度以及累积组频率
第五步:
做出统计表
4
第六步:
作图
频率直方图
5
累计频率直方图
图形还有:
茎叶图,箱线图等.参看<统计的思想与方法>
(2)数字特征的描述
度量集中趋势的量:
均值,中位数,众数
度量离散程度的量:
极差,平均绝对偏差,方差和标准差度量数据分布形状的量:
偏度和峰度
Ⅰ度量集中趋势的量:
均值,中位数,众数
①均值:
全部数据的算术平均数
1n
公式:
?
n?
xi
i?
1
1k
分组数据:
?
n?
nixi
i?
1
例2计算例1中100个零件的平均重量.
6
②中位数:
一组数据按从小到大排序后,处于中间位置上的数值,称为中位数.记为Me
?
xn?
1,n奇()?
2?
Me=?
1公式:
n偶?
[xn?
xn],?
?
2
(2)(2?
1)
?
n?
?
n?
?
i?
Me=L?
?
?
C分组数据时:
?
nm?
?
?
例3计算例1中100个数据的中位数.
③众数:
一组数据中出现次数最多的哪个数值,即出现频数最大的那个数,称为众数.记为M0
?
?
1?
M?
L?
?
?
C分组数据时:
0?
?
1+?
2?
例4计算例1中100个数据的众数.
④均值,中位数,众数的性质
a.均值
?
均值利用了全部数据的信息
?
性质1:
?
(x?
)?
0i
i?
1
nn
i?
1i?
1n22min(x?
a)?
(x?
)?
i?
i?
性质2:
,即一组数据与任意实数a之差的平方和当且仅当a?
时达到最小。
b.中位数:
7
?
min?
|x?
a|?
?
|x?
Mii
i?
1i?
1nne|,即中位数Me与各数据x距离之和最i
小。
c.众数
d.均值,中位数,众数的比较
?
单峰对称:
?
Me?
M0
?
右偏:
M0?
Me?
?
左偏:
?
Me?
M0
Ⅱ离散程度的度量:
极差,平均绝对偏差,标准差和方差①极差(全距):
一组数据中最大值与最小值之差。
公式:
R?
x(n)?
x
(1)
显然受极端值影响。
n1n1②平均绝对偏差:
Md?
n?
|xi?
或Md?
?
|xi?
Me|ni?
1i?
1
对于分组数据:
Md?
?
n|xi
i?
1
k
i?
1ki?
|?
ni
③标准差和方差
例5求分组数据的极差,平均绝对偏差和标准差.
8
其中,x
(1)=60,x(n)=74
解:
极差R?
x(n)?
x
(1)=74?
60=14
平均绝对偏差
1k1?
?
ni
xi=(5?
61?
18?
64?
42?
67?
27?
70?
8?
73)?
67.45ni?
1100
Md?
?
n|x?
|iii?
1k?
n
i?
1k1=[5?
|61?
67.45|+18?
|64?
67.45|+42?
|67?
67.45|100i
1+27?
|70?
67.45|+8?
|73-67.45|)=?
226.1=2.261100
标准差
s?
1[5?
|61?
67.45|2+18?
|64?
67.45|2+42?
|67?
67.45|299
+27?
|70?
67.45|+8?
|73-67.45|]Ⅲ度量分布形状的量:
偏度与峰度22?
2.935V1?
①偏度系数:
?
(x?
)ii?
1
nn3(n?
1)s34(x?
)?
i
i?
1V2?
②峰度系数:
(n?
1)s49
Ⅳ度量相关程度的量:
R?
?
(x?
)(y?
)iin
二、推断统计学
推断统计学是研究从总体中抽取随机样本,利用样本提供的信息或利用随机试验产生的数据对总体进行推断的方法。
统计推断是数理统计学的核心内容,包括;参数估计,假设检验,方差分析,回归分析,实验设计等。
第2节数理统计的基本概念
一、总体和样本
二、统计量
常用的统计量1n
样本均值:
?
n?
Xii?
1
1n2S?
(X?
)?
i样本方差:
n?
1i?
12
S?
样本标准差:
样本的矩:
10
1nk
样本的k阶原点矩:
Ak?
n?
Xi
i?
11nk
B?
(X?
)样本的k阶中心矩:
kn?
i
i?
11nkl
样本的k?
l阶混合原点矩:
n?
XiYi
i?
1
1nkl
(X?
)(Y?
)i样本的k?
l阶混合中心矩:
n?
ii?
1
R?
?
(X
n
i
?
)(Yi?
)
样本的相关系数:
偏度与峰度系数:
V1?
?
(Xi?
)
i?
1
n
3
(n?
1)S3
V2?
,
4
(X?
)?
ii?
1
n
(n?
1)S4
?
,Xn是来自总体X的样本,如果,定理1设X1,X2,
EX?
?
,DX?
?
2则?
?
,?
n,
?
2
?
,Xn是来自总体X的样本,如果,定理2设X1,X2,
EX?
?
,DX?
?
2则ES2?
?
2
,
三、顺序统计量四、经验分布函数
11
x?
x
(1)?
0,?
?
kFn(x)?
?
x(k)?
x?
x(k?
1)?
n
x?
x(n)?
?
1,
12
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