天一大联考学年高三毕业班阶段性测试五文科数学试题.docx
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天一大联考学年高三毕业班阶段性测试五文科数学试题
天一大联考2020-2021学年高三毕业班阶段性测试(五)文科数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知集合,,则().
A.B.C.D.
2.已知复数,则的共轭复数为().
A.B.C.D.
3.在一堆从实际生活得到的十进制数据中,一个数的首位数字是(,,,)的概率为,这被称为本福特定律.以此判断,一个数的首位数字是1的概率约为().
A.10%B.11%C.20%D.30%
4.某公司以客户满意为出发点,随机抽选2000名客户,以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素.每名客户填写一个因素,下图为客户满意度分析的帕累托图.帕累托图用双直角坐标系表示,左边纵坐标表示频数,右边纵坐标表示频率,分析线表示累计频率,横坐标表示影响满意度的各项因素,按影响程度(即频数)的大小从左到右排列,以下结论正确的个数是().
①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度;
②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度;
③最影响客户满意度的因素是电话接起快速;
④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.
A.1B.2C.3D.4
5.已知,().
A.3B.1C.D.
6.已知函数,若,则不等式的解集为().
A.B.C.D.
7.已知实数,满足,则的取值范围是().
A.B.C.D.
8.执行如图所示的程序框图,若输出的值,则的取值范围为().
A.B.C.D.
9.已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象的一条对称轴方程为().
A.B.C.D.
10.已知函数,的定义域为,是奇函数,是偶函数,若的图象与轴有5个交点,则的零点之和为().
A.B.5C.D.10
11.已知直四棱柱的侧棱长为8,底面矩形的面积为16,一个小虫从点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段上一点,若平面,则小虫爬行的最短路程为().
A.8B.16C.D.
12.已知从圆上一点作两条互相垂直的直线与椭圆相切,同时圆与直线交于,两点,则的最小值为().
A.B.4C.D.8
二、填空题
13.在等边三角形中,,,分别为,的中点,则__________.
14.双曲线的离心率的最大值是__________.
15.已知球的内接正方体的棱长为1,点在线段上,过点垂直于的平面截球所得的截面圆的面积为,则线段的长为__________.
16.已知的内角,,的对边分别为,,,角为钝角,设的面积为,若,则的取值范围是__________.
三、解答题
17.已知数列满足,数列是各项均为正数的等比数列,且,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.如图,已知圆柱内有一个三棱锥,为圆柱的一条母线,,为下底面圆的直径,.
(Ⅰ)在圆柱的上底面圆内是否存在一点,使得平面?
证明你的结论.
(Ⅱ)设点为棱的中点,,求四棱锥体积的最大值.
19.某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标和的数据,并统计得到如下的列联表(不完整):
合计
12
36
7
合计
其中在生理指标的人中,设组为生理指标的人,组为生理指标的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:
天)记录如下:
组:
10,11,12,13,14,15,16
组:
12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填写上表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标和有关系;
(Ⅱ)从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
附:
,其中.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
20.已知为坐标原点,抛物线的焦点坐标为,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,.
(Ⅰ)证明:
直线过定点;
(Ⅱ)以,为切点作的切线,设两切线的交点为,点为圆上任意一点,求的最小值.
21.已知函数.
(Ⅰ)设,判断在上零点的个数;
(Ⅱ)证明:
.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,为曲线上的动点,点在线段上,且满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)设与的交点为,,求的面积.
23.若对于实数,有,.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若正实数,满足,证明:
.
参考答案
1.D
【分析】
根据补集的定义直接求解即可.
【详解】
,所以.
故选:
D.
【点睛】
本题考查集合的运算,属于基础题.
2.B
【分析】
易得,然后再写出其共轭复数即可.
【详解】
,所以.
故选:
B.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念,属于基础题.
3.D
【分析】
由一个十进制数是1开头的概率为,而,即可得解.
【详解】
根据题意,一个十进制数是1开头的概率为,而,以此判断,一个数的首位数字是1的概率约为30%.
故选:
D.
【点睛】
本题考查学生的阅读理解能力以及估算能力,属于常考题.
4.C
【分析】
对选项逐一分析即可得出正确答案.
【详解】
①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为,故错误;
②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度,故正确;
③影响客户满意度的因素是电话接起快速,故正确;
④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为,故正确.
故选:
C.
【点睛】
本题考查学生的识图能力以及分析问题的能力,属于常考题.
5.A
【分析】
先根据两角和差的正余弦公式展开计算,然后利用“弦化切”进行计算即可.
【详解】
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查三角函数的变换及求值,考查计算能力,属于常考题.
6.D
【分析】
易得,然后根据分段函数的定义得到不等式进而求解即可.
【详解】
因为,所以,所以,所以,
当时,由,解得,所以;当时,由,解得,故的解集为.
故选:
D.
【点睛】
本题考查函数的性质以及不等式的解法,考查计算能力,属于常考题.
7.C
【分析】
先画出不等式组表示的平面区域,然后平移目标函数,观察即可得出取值范围.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,
当直线经过点时,有最大值0,当直线经过点时,有最小值.
故选:
C.
【点睛】
本题考查线性规划,考查逻辑思维能力和计算能力,考查数形结合思想,属于常考题.
8.A
【分析】
由程序框图依次求得程序运行的结果,再根据输出的n值判断运行的次数,从而得出结果.
【详解】
由题意,;,;,;,.
当时,若,不满足循环条件,输出.
故选:
A.
【点睛】
本题考查程序框图,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
9.B
【分析】
由函数平移规律左加右减,得到平移后的函数表达式,然后求出称轴方程为,,令,即可得解.
【详解】
根据题意得,,因为,所以,所以,所以,则再向左平移个单位长度,所得图象对应的函数,令,,得对称轴方程为,,令,则.
故选:
B.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
10.B
【分析】
由是奇函数,是偶函数,可得函数的图象关于点对称,设的零点为,,,,,易知,设,则,即可得解.
【详解】
由题意,,又,
所以,所以函数的图象关于点对称.
设的零点为,,,,,易知,设,则,所以.
故选:
B.
【点睛】
本题考查函数的图象与性质以及函数零点的概念,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.
11.C
【分析】
将直四棱柱的侧面沿展成一个矩形,连接即为最短.
【详解】
因为平面,所以,又,所以平面,所以,故矩形为正方形,所以底面边长为4,设AC与BD的交点为O,连接,所以,可证,所以,所以,所以,将直四棱柱的侧面沿展成一个矩形,连接即为最短,所以.
故选:
C.
【点睛】
本题考查空间几何体的线面关系及简单计算,考查空间想象能力和计算能力,属于常考题.
12.C
【分析】
先求出圆C的方程,直线过定点,当最小时,,此时圆心到直线l的距离,.
【详解】
由题意可设过与椭圆相切的直线方程为,联立,
消元可得,所以,
即,所以两直线的斜率之积,所以,
所以圆C的方程为,直线过定点,
且点P在圆C内部,当最小时,,
此时圆心到直线l的距离,.
故选:
C.
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
13.
【分析】
易得,,然后根据线性运算和数量积运算法则计算即可.
【详解】
因为
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算以及数量积,考查计算能力,属于常考题.
14.
【分析】
易得,然后根据三角函数的有界性进行计算即可.
【详解】
根据题意,双曲线C的离心率.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查双曲线的性质以及三角函数求最值,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.
15.或
【分析】
分别求出球O的半径R和截面圆的半径r,球心O到截面的距离,线段的长为或.
【详解】
由题意,球O的半径为,截面圆的半径为,
则球心O到截面的距离,
线段的长为或.
故答案为:
或.
【点睛】
本题考查空间几何体的外接球的综合问题,考查空间想象能力和计算能力,属于常考题.
16.
【分析】
先根据得出,所以,
,,
进而可得,最后根据三角函数的有界性进行计算即可.
【详解】
根据题意,得,所以,所以,又B为钝角,因此,所以,,所以,于是
,因为,因此.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用以及三角恒等变换的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
17.(Ⅰ);;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)由可知是以2为首项,1为公差的等差数列,进而可求得的通项公式,再由可得,可求得,进而求得的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,然后利用分组求和法求和即可.
【详解】
(Ⅰ)根据题意,,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以.
因为,
因为为正项数列,所以.
所以;
(Ⅱ)根据题意,,
所以,
设
.
设.
所以.
【点睛】
本题考查数列通项公式的求法以及数列前项和的求法,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
18.(Ⅰ)存在,为上底面圆的圆心,证明见解析;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)画出图形,取上底面圆的圆心为,连接,,,,先证,再证平面即可;
(Ⅱ),然后利用不等式求出最值即可.
【详解】
(Ⅰ)当点为上底面圆的圆心时,平面.
如图,取上底面圆的圆心为,连接,,,,
则,.
所以四边形为平行四边形,
所以,所以.
又,所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
故点为上底面圆的圆心时,平面;
(Ⅱ)在底面圆中,由得.
,
当且仅当时等号成立,所以四棱锥体积的最大值为.
【点睛】
本题考查空间线面关系以及体积的求法,考查空间想象能力和计算能力,属于常考题.
19.(Ⅰ)填表见解析,没有95%的把握认为患者的两项生理指标和有关系;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)先根据题意填好列联表,然后根据公式计算,最后判断即可;
(Ⅱ)按照古
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