概率论与数理统计复习题2.docx

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概率论与数理统计复习题2

1.设A,B为两个随机事件且,,求.

2.某工厂向三家出租车公司（D,E,F）租用汽车，20%汽车来自D公司，20%来自E公司，60%来自F公司，而这三家出租公司的车在运输过程中发生故障的概率分别为0.10，0.12，0.04。

（1）该工厂租用汽车发生故障的概率是多少？

（2）若租用汽车发生故障，问该故障汽车来自F公司的概率是多少？

3.设随机变量X的概率密度函数为

求

（1）常数a以及X的分布函数,

（2）,

（3）的概率密度函数。

4..设随机变量X的分布律为

X

-2

-1

0

1

3

3a

3a

a

求

（1）常数a

（2）的分布律。

5.设随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为

求：

（1）常数k，

（2）联合分布函数，（3）边缘概率密度和边缘分布函数，

（4）条件概率密度函数，（5）X和Y是否独立？

（6）的概率密度函数。

6.设随机变量X的分布律为

X

-1

0

2

求，.

7.设连续型随机变量X的概率密度函数为

求

（1）的数学期望,

（2）。

8.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

求X和Y的协方差和相关系数.

9.假设市场对某种商品的需求量是随机变量X（单位吨），它服从[2000,4000]的均匀分布。

设每售出这种商品一吨，可获利3万元，如果售不出而囤积，则损失1万元。

问需要组织多少货源才能获利最大？

10.假设某种型号的灯泡寿命服从参数指数分布。

现在随机地取16只，设这些灯泡的寿命相互独立。

求这16只灯泡寿命总和大于1920（小时）的概率。

11.某单位有260部电话分机，每部分机平均有4%的时间使用外线，设各分机是否使用外线相互独立。

问需要安装多少外线，才能以95%的概率保证用外线时不占线？

12.设总体服从参数为（未知）的指数分布，密度函数为

为一个样本，试求：

（1）的矩估计量，

（2）的最大似然估计量，

（3）验证的矩估计量和最大似然估计量是否为的无偏估计量。

13.设从正态总体得到一个容量为10的样本，样本均值为，从正态总体得到一个容量为12的样本，样本均值为。

设两个总体相互独立，求均值差的置信度为95%的置信区间。

14.某厂生产的汽车电池使用寿命服从正态分布，其说明书上写明其标准差不超过0.9年。

现在随机抽取10个，得样本标准差为1.2年，试在显著性水平

的条件下检验说明书上的标准差是否可信。

15.规定杨树苗平均高达60cm以上才可以出苗圃。

某苗圃所育杨树苗中随即抽取50株，测得杨树苗的平均高度为cm，均方差。

试问在显著性水平条件下，这批杨树苗能否出苗圃？

几类重要分布的期望和方差

分布类型

分布律、密度函数

数学期望

方差

0-1分布

k=0,1

E（X）=p

D（X）=p（1-p）

二项分布

k=0,1,…,n

E（X）=np

D（X）=np（1-p）

泊松分布

k=0,1,2……

E（X）=

D（X）=

均匀分布

E（X）=

D（X）=

指数分布

E（X）=

D（X）=

正态分布

，

E（X）=

D（X）=

数理统计三大分布

服从，

分布类型

随机变量

统计量

-分布

=

t-分布

F-分布

,

1.解：

。

2.解：

设A表示汽车发生故障，表示全部汽车。

（1）由题意可得

由全概率公式有

（2）由贝叶斯公式有

3.解：

（1）由概率密度函数的性质有

，所以。

当时，，

当时，，

所以分布函数为。

（2）。

（3）当时，，

当时，，所以Y的概率密度函数为。

4.解：

（1）由随机变量分布律的性质有，即，从而得。

（2）随机变量Y的可能取值为3，0，-1，8，且

，

，

，

，

故的分布律为

-1

0

3

8

p

5.解：

（1）由二维随机变量概率密度函数的性质有

，故。

（2）当时，

，

故分布函数为。

（3）因为，故当时，，当时，，

所以X的边缘密度函数为。

同理，因为，故当时，，当时，，

所以Y的边缘密度函数为

。

（4）当时，。

当时，。

（5）因为当时，，当取其他值时，，所以X，Y相互独立。

（6）当时，。

当时，。

故Z的概率密度函数为

。

6.解：

，，。

，。

7.解：

（1），

。

（2）因为,

所以。

8.解：

，

。

，

，

，

，

，

，

。

9.解：

假设需要组织y吨该商品，用Y表示获利收益，则。

由题意有，于是获利的平均值为

。

故当时获利最大。

10.解：

设表示第i只灯泡的寿命，则服从参数为100的指数分布，其概率密度函数为

，且，由中心极限定理知近似服从正态分布，即，

故。

11.解：

引入随机变量，则表示实际使用的外线数。

由条件知，且。

假设至少需要安装n条外线。

由中心极限定理可知近似服从正态分布。

根据题意可得，即，查表得，因此至少安装16条外线。

12.解：

（1）因为,所以,从而的矩估计量为

（2）设为一个观察值，似然函数为

，取对数得。

令得，从而得的最大似然估计量为

（3），故的矩估计量和最大似然估计量是均为的无偏估计量

13.解:

因为，所以。

取枢轴量，

由，，

令，则的置信度为95%的置信区间为

（,）.由条件的置信区间为（-8.80,0.40）.

14.解：

检验假设。

取检验统计量。

拒绝域形式为。

由条件有，

。

故不在拒绝域中，因此接受，即说明书可信。

15.解：

检验假设。

取检验统计量。

拒绝域的形式为。

由条件，，不在拒绝域内，故接受，即这批树苗可以出苗圃。

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