小学四年级奥数讲义之精讲精练第40讲 数学开放题.docx
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小学四年级奥数讲义之精讲精练第40讲数学开放题
第40讲数学开放题
一、专题简析:
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。
由于客观世界复杂多变,数学问题也必然复杂多变,往往不可能得到唯一答案。
一般而言,数学开放题具有以下三个特征:
1、条件不足或多余;
2、没有确定的结论或结论不唯一;
3、解题的策略、思路多种多样。
解答数学开放题,需要我们从不同角度分析和思考问题,紧密联系实际,具体问题具体分析。
我们一般可以从以下几方面考虑:
1、以问题为指向,对现有条件进行筛选、补充和组合,促进问题的顺利解决;
2、根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合,采用不同的方法求解;
3、避免“答案唯一”的僵化思维模式,联系实际考虑可能出现的多种情况,得出不同的答案。
二、精讲精练:
例1:
A、B都是自然数,且A+B=10,那么A×B的积可能是多少?
其中最大的值是多少?
练习一
1、甲、乙两数都是自然数,且甲+乙=32,那么,甲×乙的积的最大值是多少?
2、A、B两个自然数的积是24,当A和B各等于多少时,它们的和最小?
例2:
把1到5五个数分别填图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。
练习二
1、把1~5五个数分别填入图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。
2、把3~7五个数分别填入图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和相等而且最大。
例3:
把1~6六个数分别填入图中的六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于9。
练习三
1、把1~6六个数分别填入图中的六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于12。
2、把1~8八个数分别填入图中的八个圆圈中,使每个圆圈上五个数的和都等于21。
例4:
在一次羽毛球比赛中,8名运动员进行淘汰赛,最后决出冠军。
共打了多少场比赛?
(两名运动员之间比赛一次称为一场)
练习四
1、在一次乒乓球比赛中,32名运动员进行淘汰赛,最后决出冠军,共打了多少场球?
2、在一次足球比赛中,采取淘汰制,共打了11场球,最后决出冠军。
共有多少支足球队参加了这次比赛?
例5:
一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度前进,就可以提前5分钟到校。
这个学生出发时离上学时间有多少分?
练习五
1、李老师从家到学校上班,出发时他看看表,发现如果步行,每分钟80米,他将迟到5分钟;如果骑自行车,每分钟行200米,他可以提前7分钟到校。
李老师出发时离上班时间有多少分?
2、一位小学生从家到学校,如果以每分50米的速度行走,就迟到3分钟;如果以每分70米的速度行走,就可以提前5分到校。
求他家到学校的距离。
三、课后作业:
1、一个学生从家到学校上课,先用每分钟80米的速度走了3分钟,发现这样走下去将迟到3分钟;于是他就改用每分钟110米的速度前进,结果比上课提前了3分钟。
这个学生家离学校有多远?
2、A、B、C三个数都是自然数,且A+B+C=18,那么A×B×C的积的最大值是多少?
3、把1--7七个数分别填入图中的七个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。
4、把1--9这九个数分别填入图中的九个圆圈中,使每条边上四个数的和相等而且最小。
5、有13个队参加篮球赛,比赛分两个组。
第一组7个队,第二组6个队。
各组先进行单循环赛(即每队都要与其他各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛,最后决出冠、亚军。
共需比赛多少场?
第四十周数学开放题
专题简析:
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。
由于客观世界复杂多变,数学问题也必然复杂多变,往往不可能得到唯一答案。
一般而言,数学开放题具有以下三个特征:
1,条件不足或多余;
2,没有确定的结论或结论不唯一;
3,解题的策略、思路多种多样。
解答数学开放题,需要我们从不同角度分析和思考问题,紧密联系实际,具体问题具体分析。
我们一般可以从以下几方面考虑:
1,以问题为指向,对现有条件进行筛选、补充和组合,促进问题的顺利解决;
2,根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合,采用不同的方法求解;
3,避免“答案唯一”的僵化思维模式,联系实际考虑可能出现的多种情况,得出不同的答案。
例1:
A、B都是自然数,且A+B=10,那么A×B的积可能是多少?
其中最大的值是多少?
分析与解答:
由条件“A、B都是自然数,且A+B=10”,可知A的取值范围是0~10,B的取值范围的10~0。
不妨将符合题意的情形一一列举出来:
0×10=01×9=92×8=163×7=214×6=245×5=25
A×B的积可能是0、9、16、21、24、25。
当A=B=5时,A×B的积的最大值是25。
从以上过程发现,当两个数的和一定时,两个数的差越小,积越大。
练习一
1.甲、乙两数都是自然数,且甲+乙=32,那么,甲×乙的积的最大值是多少?
2.A、B两个自然数的积是24,当A和B各等于多少时,它们的和最小?
3.A、B、C三个数都是自然数,且A+B+C=18,那么A×B×C的积的最大值是多少?
【答案】
(1)16×16=256
(2)4+6=10(3)6×6×6=216
例2:
把1~5五个数分别填图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。
分析与解答:
每条直线上三个圆圈内各数的和是9,两条直线上数的和等于9×2=18(其中中间圈内的数重复加了一次)。
而1、2、3、4、5的和为15,18-15=3。
所以,中间圈内应填3。
这样,两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。
这个解我们也叫做基本解,由这个基本解很容易得出其余的七个解。
练习二
1,把1~5五个数分别填入图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。
2,把3~7五个数分别填入图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和相等而且最大。
3,把1~7七个数分别填入图中的七个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。
例3:
把1~6六个数分别填入图中的六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于9。
分析与解答:
每边上三个数的和都等于9,三条边上数的和等于9×3=27,27-(1+2+3+4+5+6)=6。
所以,三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。
在1~6,只有1+2+3=6,故三个顶点只能填1、2、3。
这样就得到一组解:
1、5、3;1、6、2;3、4、2。
练习三
1,把1~6六个数分别填入图中的六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于12。
2,把1~8八个数分别填入图中的八个圆圈中,使每个圆圈上五个数的和都等于21。
3,把1~9这九个数分别填入图中的九个圆圈中,使每条边上四个数的和相等而且最小。
【答案】1.左边4、3、5,右边2、6,下面1
3.左边1、5、9、2,右边6、7、3,下面4、8
例4:
在一次羽毛球比赛中,8名运动员进行淘汰赛,最后决出冠军。
共打了多少场比赛?
(两名运动员之间比赛一次称为一场)
分析与解答:
8名运动员进行淘汰赛,第一轮赛4场后,剩下4名运动员;第二轮赛2场后,剩下2名运动员;第三轮只需再赛1场,就能决出冠军。
所以,共打了4+2+1=7场球。
还可以这样想:
8名运动员进行淘汰赛,每淘汰1名运动员,需要进行1场比赛,整个比赛共需要淘汰8-1=7名运动员,所以共打了7场比赛。
练习四
1,在一次乒乓球比赛中,32名运动员进行淘汰赛,最后决出冠军,共打了多少场球?
2,在一次足球比赛中,采取淘汰制,共打了11场球,最后决出冠军。
共有多少支足球队参加了这次比赛?
3,有13个队参加篮球赛,比赛分两个组。
第一组7个队,第二组6个队。
各组先进行单循环赛(即每队都要与其他各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛,最后决出冠、亚军。
共需比赛多少场?
【答案】1.31场球2.11+1=12(支)
3.(6×7÷2)+(5×6÷2)+(4-1)=39(场)
例5:
一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度前进,就可以提前5分钟到校。
这个学生出发时离上学时间有多少分?
分析与解答:
解答这道题,可以以不同的时间为标准,选择的标准不同,解答方法也有所不同。
例如,如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。
可这样分析:
由“每分钟行50米,要迟到8分钟”,可知学校上课时,这个学生还离学校50×8=400米;由“每分钟行60米,可以提前5分钟到校”,可知距学校上课时,他还可走60×5=300米。
两种不同的速度,在相同的时间内路程相差400+300=700米,而两种速度每分钟相差60-50=10米。
因此,这个学生出发时离上课时间为:
700÷10=70分钟。
解法一:
(50×8+60×5)÷(60-50)=70分;
解法二:
60×(5+8)÷(60-50)-8=70分;
解法三:
50×(8+5)÷(60-50)+5=70分。
练习五
1,李老师从家到学校上班,出发时他看看表,发现如果步行,每分钟80米,他将迟到5分钟;如果骑自行车,每分钟行200米,他可以提前7分钟到校。
李老师出发时离上班时间有多少分?
2,一位小学生从家到学校,如果以每分50米的速度行走,就迟到3分钟;如果以每分70米的速度行走,就可以提前5分到校。
求他家到学校的距离。
3,一个学生从家到学校上课,先用每分钟80米的速度走了3分钟,发现这样走下去将迟到3分钟;于是他就改用每分钟110米的速度前进,结果比上课提前了3分钟。
这个学生家离学校有多远?
【答案】
(1)15分钟
(2)1400米(3)1760米
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