三年级奥数下册.docx
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三年级奥数下册
第一讲速算与巧算
十个数字,几种运算符号,构造了千变万化的数学计算,计算要做到又正确又快,关键在于掌握运算技巧,“硬算”加“巧算”。
“硬算”是凭坚定的意志和良好的计算习惯,仔细地算。
“巧算”是对算式整体以及其中的每个数进行观察,剖析算式的特点和各数之间可能存在的联系,恰当地利用运算定律,改组运算顺序,使计算简便易行。
要达到“速”与“巧”,需要掌握以下几点计算技巧:
1.凑成容易算的数,在心算中培养凑数、搭配、替代的思维习惯。
如凑成整十、整百、整千、……又如若干比较接近的数相加时,可选择一个基数作为计算基础,在此数上加上或减去与这个基数的相差数。
2.利用运算定律简化运算。
3.根据某些算式的规律,学会创造条件,进行分组、分类地计算,使计算简便。
4.适当配对,能使计算简便。
例1:
计算:
78+76+83+82+77+80+79+85
分析几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。
解:
原式=808-2-4
说明对于这类题,关键是要找准一个数作为基准数,使其他各数多出的部分或不足的部分不宜太大,以便于口算。
例2:
计算:
199999+19999+1999+199+19
分析此题利用补数的方法,将每个加数加1后凑成整十、整百、整千、……的加数计算,然后再减去5个补数的和。
解原式=(200000-1)+(200000-1)+(2000-1)+(200-1)+(20-1)
=222220-5
=222215
说明利用“补数发”把接近整十、整百、整千、……的数先变整,可使计算变得简便、快捷。
例3计算:
325+46-125+54
分析采用“带符号搬家”来巧算。
解原式=325-125+46+54
=(325-125)+(46+54)
=200+100
=300
说明每个数前面的运算符号是这个数的符号。
如+46,-125,+54而325前面虽然没有符号,应看作是+325
例4计算:
1991+8119+8009+1881
分析根据加法的结合律和交换律,可先将两个互为补数的数结合在一起,进行“凑数”计算,然后再计算这两个和的和。
解原式=(1991+8009)+(8119+1881)
=10000+10000
=20000
说明如果能看出两个加数互为补数(如果两个数的和正好凑成整十、整百、整千、……那么,我们就说这两个数互为补数,如52+48=100,其中52和48互为补数),根据加法交换律和结合律,可以把两个补数先相加,凑成整十、整百、整千、……再与其他加数相加或相减,这样计算比较方便。
例5计算:
25x19x64x125
分析因为25x4=100,125x8=1000,而64可拆成4x8x2,这样可以简便计算。
解原式=25x19x64x125
=25x19x(4x8x2)x125
=(25x4)x(125x8)x(19x2)
=100x1000x38
=3800000
例6计算:
(1)125x34+125x66
(2)43x11+43x36+43x52+43
分析
(1)中是34个125加66个125,可不可以看作是(34+66)个125呢?
解
(1)125x34+125x66
=125x(34+66)
=125x100
=12500
(2)43x11+43x36+43x52+43
=43x(11+36+52+1)
=43x100
=4300
例7计算:
(1)68x62
(2)85x85
分析观察可知这两道算式的因数有个共同的特点,我们把它叫做“头同尾合十”的乘法。
这种形式有什么特别的算法呢?
解
(1)68x62=4216
(2)85x85=7225
说明它们的计算方法是:
先用两个因数的个位数相乘,并把积直接写在末尾,如果积不满10,十位上要补写0,然后再将两个因数的十位数乘它本身加1的核对和,积写在两个个位数积的前面。
例8计算:
26x11
解
说明一个两位数与11相乘的方法是:
用两位数的头作积的头,用两位数的尾作积的尾,用这个两位数两个数字之和作积的中间数(如果想加满十,则把和的十位数“1”加到头上)。
例9计算:
358x11
解
练习一
1.计算:
78+76+81+82+77+80+79+83128+131+129+130+135+134
2.计算:
998+1413+9989135+286+365-186
889+465+311291+389-211+409
3.计算:
19+299+3999+499999+19+199+1999
4.计算:
53×5742×48
21×2996×94
85×8566×64
15×1591×99
45×1136×11
87×1199×11
125×11331×11
467×11999×11
5.速算下面各题:
2×31×572×125×3
32×25×1254×25×16×125
64×12525×125×8×12
125×64+125×3621×73+26×21+21
64×28+28×36225×45+55×225
42×28+42×71+42245×101
16.先观察下列各题有什么特点再计算:
(1)23×27
(2)46×44
(3)55×55(4)353×11
(5)638×9(6)38×999
第二讲消元问题
例1如图3-1,一只小猴重4千克,1只小兔和一只小猫共重多少千克?
分析从图3-1中可以看出,1只猴子的重量等于2只兔子的重量,这样可以求出1只兔子的重量,而2只兔子的重量等于4只小猫的重量,这样可以求出1只小猫的重量,从而1只小兔与1只小猫的总重量就可以求出了。
解
(1)1只小兔的重量是
4÷2=2(千克)
(2)一只小猫的重量是
4÷4=1(千克)
(3)一只兔子和一只小猫共重
2+1=3(千克)
综合算式:
4÷2=4÷4=3(千克)
例2学校买两张桌子和3把椅子共付90元,每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍。
每张桌子多少元?
分析先摘录条件如下:
2张桌子+3把椅子=90元
1张坐姿=3把椅子
将
(2)式代入
(1),消去桌子这个未知量,问题就可以解决。
解(3×2)把椅子+3把椅子=90元
即9把椅子=90元
所以1把椅子=10元
一张桌子=10×3=30(元)
答:
每张桌子30元。
例3有大米10袋、6袋面粉共重2600千克。
由2袋大米的重量与4袋面粉的重量相等。
大米和面粉每袋各多少千克?
分析因为10袋大米、6袋面粉共重2600千克。
由2袋大米的重量等于4袋面粉的重量,知道1袋大米的重量等于2袋面粉的重量。
所以,10袋大米的重量就与(10×2)袋面粉的重量相等,用10×2袋面粉的重量去换10袋大米的重量。
这样“大米10袋,面粉6袋共重2600千克”,就转化为“面粉(10×2+6)袋共重2600千克”。
由此可以求得每袋面粉重[2600÷(10×2+6)]千克,进而求得每袋大米的重量。
解4÷2=2;
10×2+6=26(袋);
2600÷26=100(千克);
100×2=200(千克)。
答:
大米每袋重200千克,面粉每袋重100千克。
说明利用等量代换,解题别具一格。
例4食品柜中的大、中、小三种瓶子都装着橘子水(如图3-2),每只小瓶装1千克,每只大瓶装的重量等于2只中瓶,1只中瓶等于3只小瓶,食品柜有三层,每层装的橘子水重量相等,这只食品柜每层共装了多少千克橘子水?
分析第一层有4只小瓶,3只中瓶,“每只小瓶装1千克”,4只小瓶装橘子水4千克,有“1只中瓶等于3只小瓶”,可以推出1只中瓶装橘子水3千克,3只中瓶装橘子水3×3=9(千克),第一层共装橘子水4+9=13(千克),根据“每层装的橘子水重量相等”可以知道这只食品柜每层的瓶里共装了13千克橘子水。
解
(1)第一层4只小瓶装橘子水多少千克?
1×4=4(千克)
(2)“1只中瓶等于3只小瓶”,第一层3只中瓶装橘子水多少千克?
3×3=9(千克)
(3)第一层共装橘子水多少千克?
4+9=13(千克)
综合算式:
1×4+3×3
=4+9
=13(千克)
答:
这只食品柜每层共装了13千克橘子水。
也可以从第二层入手进行分析推理。
第二层有4只小瓶、1只中瓶、1只大瓶,“每只小瓶装1千克”,4只小瓶装4千克;由“1只中瓶等于3只小瓶”,可以推出1只中瓶装3千克;由“1只大瓶等于2只中瓶”又可以推出1只大瓶装3×2=6(千克);这一层共装橘子水4+3+6=13(千克),因为“每层装的橘子水重量相等”,所以,这只食品柜每层共装橘子水13千克。
解
(1)第二层4只小瓶装橘子水多少千克?
1×4=4(千克)
(2)“1只中瓶等于3只小瓶”,1只中瓶装橘子水多少千克?
1×3=3(千克)
(3)“1只大瓶等于2只中瓶”,1只大瓶装橘子水多少千克?
3×2=6(千克)
(4)第二层共装橘子水多少千克?
4+3+6=13(千克)
综合算式:
4+1×3+3×2
=4+3+6
=13(千克)
答:
这只食品柜每层共装橘子水13千克。
想一想
(1)如果从第三层入手,应怎样进行分析推理?
(2)怎样算出这只食品柜的瓶子里共装了多少千克橘子水?
练习三
1.一只小猴重4千克,从下面图中你能推断出一只小兔和一只小猫共重多少千克吗?
2.从下面图中你能推出1只菠萝的重量等于几只桃子的重量?
3.有4盆水,如果全部倒入桶内,需要3只小桶;有5大杯水,如果全部倒入盆内,能装满2盆。
现在有20大杯水,如果改用小桶来装,要准备多少只小桶?
4.1筐梨+1筐苹果=120千克
1筐梨+1筐桔子=100千克
1筐苹果+1筐桔子=80千克
1筐梨=()千克
5.光明小学买2张桌子而和5把椅子,共付110元,每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍,每张桌子多少元?
6.小强买了3本小笔记本和6本大笔记本共付24元。
已知3本小笔记本和2本大笔记本的价钱相等,问一本小笔记本和一本大笔记本的价钱各是多少?
7.甲有5盒糖,乙有4盒糕共值23元。
如果甲有4盒糖,乙有5盒糖共值22元。
问一盒糖和一盒糕共值多少元?
8.甲班和乙班共84人,乙班和丙班共86人,丙班和甲班共88人,问甲、乙、丙各多少人?
第三讲找规律
找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思维方法,再解数学题时常常使用它。
例1根据下列前三幅图的变回了,在第四幅图中画出阴影部分。
分析与解图5-1中的阴影部分均按顺时针方向旋转一格可得图5-2,图5-2中的阴影部分均按顺时针方向旋转一格可得图5-3,由此可得出图形阴影部分旋转的规律:
每次阴影部分均按顺时针方向旋转一格,可得图5-4的阴影部分如图5-5.
例2请观察图5-6中已有的几个图形,并按规律填出空白处的图形。
分析与解首先可以看出:
图形的第一行、第一列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;其次,在所给出的图形中,我们发现各行、各列均没有重复的图形,而且所给出的图形中,只有圆、三角形和正方形三种图形。
由此,我们知道这个图的特点就是:
1仅由圆、三角形、正方形组成;
2各行、各列中,都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
3因此,根据不重不漏的原则,在第二行的空格中应填一个三角形,而第三行的空格中应填一个正方形。
例3图5-7是由九个小人排列的方阵,但有一个小人没有到位,请你从下面图5-8中的6个小人里,选一个小人放到问号的位置,你认为最合适的人选是几号?
分析与解从图5-7中可以发现小人的排列规律:
即每行、每列小人的“手臂”有向上、水平、向下;“腰身”有三角形、矩形、半圆;“脚”有圆脚、方脚、平脚。
从中可知问号处的小人应该是向上伸臂、圆脚的小人,所以最合适吧的人选是6号。
说明从例1、例2、例3可以看出,寻找图形的变化规律,一般从以下几方面来观察:
(1)图中数量的变化;
(2)图形形状的变化;(3)图形大小的变化;(4)图形颜色的变化;(5)图形位置的变化;(6)图形繁简的变化。
例4按规律填数。
(1)2,4,7,11,16,()
(2)3,5,9,17,33,65,()
(3)1,3,7,15,31,()
分析与解
(1)不难发现,从第2项开始,每一项减去它前面一项所得的差可排列为:
2,3,4,5,……所以括号里的数比16大6,即括号里应填的数是16+6=22.
(2)这道题可以采用求差的方法找出规律,从第2项开始,每一项减去它前面的一项所得的差可排列为2,4,8,16,32,……这样括号中的数比65大64,括号中的数应该是65+64=129.
(3)这道题从第二项起,每一项都是它前面一项的2倍加上1,这样括号里的数应该是31×2+1=63.
说明寻找数列的规律,通常从两个方面来考虑:
(1)寻找各项与项数间的关系;
(2)考虑相邻之间的关系,然后,再总结出一般的规律。
例5表1、表2是按同一规律排列的两个方格数表。
那么表2的空白方格中应该填的数是多少?
分析从表1的行与列两个方面寻找填数的规律,可按此规律填表2的空白方格中的数。
解表1中,从24=4×6可得:
第一行最左边的数等于其余两个数的乘积,第一列最上面的数等于其余两个数的乘积;从4=2+2,6=2+4可得:
第二行最左边的数等于其余两个数的和,第二列最上面的数等于其余两个数的和;从6=4+2,4=2+2可得到第三行、第三列的规律同第二行、第二列的规律相同。
根据这一规律,可以求出表2中空白部分的数,即5—2=3.
例6观察、分析下面各数列的变化规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)8,1,10,2,12,3,(),()
(2)15,6,13,7,11,8,(),()
分析与解
(1)在8,1,10,2,12,3,(),()中,由观察可知,单数项组成新数列8,10,12,…,每项依次增加1.因此3后面一项是12+2=14,14后面一项是3+1=4所以括号里分别填14,4.
(2)在15,6,13,7,11,8,(),()中,由观察可知,单数项组成新数列15,13,11,…,每项依次减少2,双数项组成新数列6,7,8,…,每项依次增加1.因此8后面一项是11-2=9,9后面一项是8+1=9,所以括号里分别填9,9.
例7从1开始的自然数按下图所示的规律排列,并用一个平行四边形框出九个数,能否使这九个数的和等于①1993;②1143;③1989.若能,请写出平行四边形框内的最大数和最小数;若不能,说明理由。
练习五
1.观察下图中图形的变化规律,并在“?
”处填上合适的图形。
2.按照图5-10的变化规律,画出相符的图形。
3.下图中的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并在“?
”处填上适当的图形。
4.4.按规律填数。
(1)0,1,1,2,3,5,_____
(2)1,3,7,15,31,63,______
5.按规律填数。
(1)2,7,12,17,_____,_____
(2)2,8,32,128,_____,______
6.在下面各题的五个数中,选出与其他四个数规律不同的数,并把它划掉,再从括号中选一个合适的数替换。
(1)42,20,18,48,24(21,54,45,10)
(2)15,75,60,45,27(50,70,30,9)
(3)42,126,168,63,882(27,210,33,25)
7.观察下列模式,求x的值。
8.下图的数字是按照一定的规律排列的,按照这一规律,在“?
”处应当填上什么数?
9.根据每小题前两组图形中的三个数的关系,填出后一组图形空圈中数。
10.请你认真看看下面几道算式的规律,然后再进行计算。
12.在正方体的六个面上分别涂上“红”、“黄”、“蓝”、“白”、“黑”、“绿”六种颜色。
现有涂色方式完全一样的四个正方体,如下图拼成一个长方体。
问涂“红”、“黄”、“白”的三个面各与涂什么颜色的面相对?
14.有一排加法算式:
4+2,5+8,6+14,7+20,…按这种规律排列的第10个加法算式是怎样的?
它的结果是怎样的?
15.观察下列各组图的变化规律,并在“?
”处画出相关的图形。
第四讲等差数列及其应用
据说大数学家高斯小时候,有一次老师在课堂上出了这样一道算术题:
算一算1,2,3,…,直到100,这一百个数的和应是多少?
也就是1+2+3+…+100=?
高斯很快便在自己的小石板上工工整整地写出了答案,恭恭敬敬地放在讲台上。
你知道高斯是怎样算的吗?
例1求1,2,3,…,99,100,这100个数的和是多少?
分析采用分组配对的方法,注意1+100,2+99,…,50+51的和都是101,便可变加为乘求出这100个数的和。
解S=1+2+3+…+98+99+100
S=100+99+98+…+3+2+1
将以上两式相加得
2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(100+1)
所以S=(1+100)×100÷2=5050.
答:
这100个数的和是5050.
例2下面一列数是按一定的规律排列的:
3,12,21,30,39,48,57,66,…
(1)第12个数是多少?
(2)912是第几个数?
分析不难发现,这个数列每相邻两项的差是9,所以第12个数比第1个数大11个9.另一方面,从912比3大多少个9考虑,不难回答第二个问题。
解
(1)3+(12-1)×9=102
(2)(912-3)÷9+1=102
答:
第12个数是102,912是第102个数。
说明这个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都相等,这样的数列叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。
在等差数列中,
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+(项数-1)×公差
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
和=(末项-首项)×项数÷2
在今后解等差数列时,可以直接运用这些公式。
例3求所有被2除余数是1的三位数的和。
分析首先应分析一下呗2除余数是1的三位数是哪些数。
能被2整除的三位数中最小的是100,所以被2除余数是1的三位数中最小的是101.采用同样的办法可知,三位数中最大的被2除余1的数是999,而且这样的三位数前后两数都相差2,因此它们构成一个等差数列,故可以利用等差数列求和公式求和。
解所求的三位数的和是101+103+105+…+999
项数=(999-101)÷2+1
=898÷2+1
=450
和=(101+999)×450÷2
=247500
答:
所有被2除余数是1的三位数的和是247500.
由例3可以看出,解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列,然后求和。
例5某小组有10个同学,放假时,握手告别,每两人都握一次,问共握手多少次?
分析第一个同学和其余9个人都握一次手,共握手9次;除第一个同学外,第二个同学与其余8个人都握一次手,共握手8次;除前两名同学外,第三个同学与其余7个人都握手一次,共握手7次。
以此类推,他们握手的总次数为9+8+7+6+…+1.
解9+8+7+…+1=(9+1)×9÷2=45(次)
答:
共握手45次手。
例6小红读一本长篇小说,第一天读了30页。
从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最后一天读了70页,刚好读完。
问这本小说共有多少页?
分析每天看的页数组成等差数列,公差是4,首项是30,末项是70.要求这本小说共多少页,应先求出小红总共看了多少天。
解天数(项数)=(末项-首项)÷公差+1
=(70-30)÷4+1=11
总页数=(30+70)×11÷2
=100×11÷2=550
答:
这本小说共有550页。
小结这一章学习了等差数列及其应用。
同学们要搞清首项、末项、项数、公差与和之间的关系,灵活地应用公式解决一些实际问题。
练习六
1.下面的数列中,哪些是等差数列?
如果是,请指明公差,如果不是,说明理由。
(1)6,10,14,18,22,…
(2)1,2,3,4,5,6,7,8,9
(3)3,3,3,3,3,3,3
(4)1,2,1,2,1,2,1,2
(5)1,2,4,8,16,32,64
2.已知等差数列5,8,11,…,求出它的第15项和第20项。
4.已知等差数列7,11,15,…,问这个数列前20项的和是多少?
5.在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第几个数是1994?
6.如图所示,这堆棋子共有多少枚?
7.一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
8.求一切除以4余1的两位数的和是多少?
9.有10把锁和10把钥匙是互相配对的,但现在把锁和钥匙弄乱了,问最多需要试验多少次,就可以把锁和钥匙配起来?
11.时钟每个整点敲该钟点数,每半点敲一下,一昼夜共敲多少下?
13.影剧院有座位若干排,第一排有25个座位,以后每排比前一排多3个座位。
最后一排有94个座位。
问这个影剧院共有多少个座位?
15.小张看一本故事书,第一天看了25页,以后每天比前一天多看的页数相同,第25天看了97页刚好看完。
问:
这本书共有多少页?
第五讲平均数
例1小刚有5个抽屉,分别有图书33本、42本、20本、53本和32本,平均每个抽屉里有图书多少本?
分析一求平均每个抽屉里有图书多少本,就是把5个抽屉的本数加在一起,再除以5.
解(33+42+20+53+32)÷5=36(本)
答:
平均每个抽屉里有图书36本。
分析二可选择一个数,例如35,作为基准,再把每个抽屉里的本数与35的差算出来。
将这些想加减,多出的作为加数(如:
42=35+7,7作为加数),不足的作为减数(如33=35-2,2作为42=35+7,7作为加数),不足的作为减数(如33=35-2,2作为减数),所得结果除以抽屉数5,再加上基准35,就是要求的平均数。
解35+(7-2-15+18-3)÷5=36(本)
说明从例1可以看出,求平均数必须知道总数和份数,可以写成:
平均数=总数÷份数
由上不难得出两个基本数量关系式:
总数=平均数×份数
份数=总数÷平均数
求平均数时,还可以先估计一下,取一个接近平均数的数作为基准,大于基准数的差作为加数,小于基准的数与基准数的差作为减数,将这些差相加减,所得结果除以份数,商再加上基准数,就是要求的平均数。
例2小明参加了四次语文测验,平均成绩是68分,他想通过一次语文测验,将五次的平均成绩提高到最少70分,那么,在下次测验中他至少要得多少分?
分析一已知前四次语文测验的平均成绩,可以算出前四次的总分,即68×4=272(分),第五次考试后,五次的平均成绩最少的是70分,所以五次的总分至少是70×5=350(分)。
这样就可算出第五次的成绩至少是多少。
解70×5-68×4=78(分)
答:
小明在第五次测验中至少要得78分。
分析二要使平均68分提高到至少70分,前四次测验的总分至少少了(70-68)×4+70=78(分),所以第五次测验至少要得70+8=78(分)
解(70-68)×4+70=78分。
例5有甲、乙、丙三个数,甲数和乙数的平均数是42,甲数和丙数的平均数是46,乙数和丙数的平均数是47,求甲、乙、丙这三个数各是多少?
分析根
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