高中数学《集合的基本运算交集 并集》导学案.docx

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高中数学《集合的基本运算交集并集》导学案

1．1.3　集合的基本运算

第1课时　并集、交集

1．并集的概念

2．并集运算性质

A∪B＝B∪A，

A∪A＝

A，

A∪∅＝

A，

A∪B＝B⇔A⊆B.

3．交集的概念

4．交集运算性质

A∩B＝B∩A，

A∩A＝

A，

A∩∅＝

∅，

A∩B＝A⇔A⊆B.

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．（　　）

（2）若A∩B＝C∩B，则A＝C.（　　）

（3）（A∩B）⊆（A∪B）．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√

2．做一做

（1）（教材改编P11T1）已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于（　　）

A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2}D．{0,1}

（2）（教材改编P11T2）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于（　　）

A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}

（3）设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是（　　）

A．P∩Q＝PB．P∩QQ

C．P∩QPD．P∩Q＝Q

答案　

（1）B　

（2）C　（3）C

『释疑解难』

1．交集的三点理解

（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．

（2）交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝{2,3,4}，而不是{2,3}，{2,4}或{3,4}．

（3）当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是集合A，B的交集为空集．例如，A＝{0,1,2,3}，B＝{4,5,6}，则A∩B＝∅.

2．并集的两点理解

（1）A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．例如，A＝{0,1}，B＝{2}，则A∪B＝{0,1,2}．

（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，这与生活用语中的“或”是有区别的．生活用语中的“或”一般指或此或彼，必居其一，二者不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的．则符号语言“x∈A或x∈B”包含三种情况：

“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用下图形象表示．

探究

　　并集、交集的基本运算

例1　

（1）集合A＝{x|－1

（2）集合A＝{x|2k

（3）集合A＝{（x，y）|x＝2}，B＝{（x，y）|y＝3}，求A∪B，A∩B，并说明其几何意义．

解　

（1）可以借助数轴求，A∪B如图．

A∪B＝{x|－1

（2）集合A由数轴上的无限多段组成，但我们只需取与B有公共元素的，如下图．

A∩B＝{x|2

（3）A∪B＝{（x，y）|x＝2或y＝3}，几何意义是两条直线x＝2和y＝3上所有点组成的集合．

A∩B＝{（2,3）}，几何意义是两条直线x＝2和y＝3的交点组成的集合．

拓展提升

1.求集合并集的方法

解此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．

（1）若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．

（2）若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

2．求集合交集的注意点

（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．

（2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．

【跟踪训练1】　

（1）集合A＝{x||x|≥2，x∈Z}，B＝{x||x|≤3，x∈Z}，求A∩B，A∪B；

（2）已知集合M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|3x<1}，求M∩N；

（3）集合A＝{（x，y）|y＝x＋2}，B＝{（x，y）|y＝x＋3}，求A∪B，A∩B.

解　

（1）A＝{x||x|≥2，x∈Z}＝{…，－4，－3，－2}∪{2,3,4，…}．

B＝{x||x|≤3，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．

∴A∩B＝{－3，－2,2,3}，A∪B＝{…，－3，－2，－1,0,1,2,3，…}＝Z.

（2）∵3x<1，∴x<

，∴M∩N＝

－1≤x<

}.

（3）A∪B＝{（x，y）|y＝x＋2或y＝x＋3}，A∩B＝∅.

探究

　　利用集合交集、并集的性质求参数

例2　设集合A＝{x|x2＝4x}，B＝{x|x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0}．

（1）若A∩B＝B，求a的取值范围；

（2）若A∪B＝B，求a的值．

解　

（1）∵A＝{x|x2＝4x}＝{0,4}，又∵A∩B＝B，∴B⊆A.

①若B＝∅，则Δ＝4（a－1）2－4（a2－1）<0，解得a>1.

所以，当a>1时，B＝∅⊆A.

②若0∈B，则0为方程x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0的一个根，即a2－1＝0，解得a＝±1.

当a＝1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A；

当a＝－1时，B＝{x|x2－4x＝0}＝A.

③若4∈B，则4为方程x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0的一个根，即a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7.

由②知当a＝－1时，A＝B符合题意，当a＝－7时，B＝{x|x2－16x＋48＝0}＝{4,12}⊄A，综上可知，a的取值范围为{a|a≥1或a＝－1}．

（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B.又∵A＝{0,4}，而B中最多有2个元素，

∴A＝B，即0,4为方程x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0的两个根．

∴

解得a＝－1.

拓展提升

利用子集关系求参数问题

（1）在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．

（2）集合运算常用的性质

①A∪B＝B⇔A⊆B；

②A∩B＝A⇔A⊆B；

③A∩B＝A∪B⇔A＝B.

【跟踪训练2】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．

（1）A∩B＝∅；

（2）A⊆（A∩B）．

解　

（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．

此时2a＋1>3a－5，即a<6.

若A≠∅，如图所示，则

解得6≤a≤7.

综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．

（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B.

显然A＝∅满足条件，此时a<6.

若A≠∅，如图所示，则

或

由

解得a∈∅；

由

解得a>

.

综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是

.

1.对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2.进行集合的交、并运算应注意的三点

（1）意义化：

分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形.

（2）直观化：

借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来.

（3）求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：

①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.

1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则（　　）

A．M⊆NB．N⊆M

C．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}

答案　C

解析　显然A，B均错误，M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}，C正确，M∪N＝{1,2,3,4}，D错误．故选C.

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1}，那么集合A∩B等于（　　）

A．{x|2≤x<4}B．{x|x≤3或x≥4}

C．{x|－2≤x<－1}D．{x|－1≤x≤3}

答案　C

解析　在数轴上表示出两个集合，如图所示，由图可知A∩B＝{x|－2≤x<－1}．

3．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝（　　）

A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}

答案　B

解析　解法一：

因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，

A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}．

解法二：

代值验证法，将－2,0,2分别代入x2－x－2＝0，经检验知只有2满足题意，故选B.

4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．

答案　m≥2

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≥2.

5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}，

（1）当a＝3时，求A∪B；

（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝3时，集合B＝{x|x<3}，

∴A∪B＝{x|1≤x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}．

（2）若A⊆B，如图：

则a≥4.

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．设集合A＝{x|－2≤x≤3}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则A∪B＝（　　）

A．{x|－2≤x≤4}B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|0≤x≤4}D．{x|3≤x≤4}

答案　A

解析　结合数轴分析可知A∪B＝{x|－2≤x≤4}．

2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{－1,0,1}

答案　B

解析　因为A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．

3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集的个数共有（　　）

A．2B．4C．6D．8

答案　B

解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴P＝M∩N＝{1,3}，则集合P的子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．

4．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值集合为（　　）

A．{a|a<2}B．{a|a≥－1}

C．{a|a<－1}D．{a|－1≤a≤2}

答案　C

解析　如图，要使A∩B＝∅，应有a<－1.

5．设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M－（M－P）等于（　　）

A．MB．PC．M∪PD．M∩P

答案　D

解析　当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－（M－P）显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－（M－P）＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D.

二、填空题

6．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

答案　0,1或－2

解析　由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.

7．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．

答案　m＝3或－2

解析　由A∩B＝B得B⊆A，而A＝{1,2}，对于方程x2－mx＋2＝0，Δ＝m2－8.

当B＝∅时，Δ＝m2－8<0，解得－2

；

当B＝{1}或B＝{2}时，

或

m无解；

当B＝{1,2}时，

解得m＝3.

综上所述，m＝3或－2

.

8．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，则A∩B＝________.

答案　{y|－4≤y≤14}

解析　由题可知集合A，B分别是二次函数y＝x2－2x－3和y＝－x2＋2x＋13的函数值y的取值集合．

A＝{y|y＝（x－1）2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}，B＝{y|y＝－（x－1）2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}．

因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14}．

三、解答题

9．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值．

解　由A∩B＝{－3}，得－3∈A.

∴（－3）2－3a－12＝0，解得a＝－1.

∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}．

又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B中只有一个元素－3，

∴

解得b＝6，c＝9.

∴a＝－1，b＝6，c＝9.

B级：

能力提升练

10．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．

（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；

（2）若∅（A∩B），且A∩C＝∅，求实数a的值；

（3）若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．

解　

（1）B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．

因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2,3}，

所以

解得a＝5.

（2）因为∅（A∩B），且A∩C＝∅，

B＝{2,3}，C＝{－4,2}，

所以－4∉A,2∉A,3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，

即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.

当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意；

当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去．

综上，可知a＝－2.

（3）因为A∩B＝A∩C≠∅，B＝{2,3}，C＝{－4,2}，

所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，

即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.

当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去；

当a＝－3时，A＝{－5,2}，满足题意．

综上，可知a＝－3.