高考数学理一轮复习分层演练22函数的单调性与最值含答案.docx
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高考数学理一轮复习分层演练22函数的单调性与最值含答案
第2讲 函数的单调性与最值
[学生用书P19]
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 1.辨明两个易误点 (1)区分两个概念: “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写出,一般不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接.例如函数f(x)=在区间(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不是减函数. 2.函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- C.y=D.y=x+ A [解析]选项A的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( ) A.m>B.m< C.m>-D.m<- B [解析]使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<. 3.如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]上的图象,则下列哪个说法是正确的( ) A.f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数 B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3 D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2 C [解析]根据题图提供的信息可知选C. 4.函数f(x)=x2-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间为________,f(x)max=__________. [解析]函数f(x)的对称轴为x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. [答案][1,4] 8 5.已知函数f(x)=,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为__________. [解析]可判断函数f(x)=在[2,6]上为减函数,所以f(x)max=f (2)=2,f(x)min=f(6)=. [答案]2 确定函数的单调性(区间)[学生用书P20] [典例引领] (1)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. (2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. 【解】 (1)设-1<x1<x2<1, f(x)=a=a, f(x1)-f(x2)=a-a =,由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增. (2)f(x)= = 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). 若将本例 (2)中函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解? [解]函数y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1-,1)和(1+,+∞);单调递减区间为(-∞,1-)和(1,1+). [通关练习] 1.判断函数y=在(-1,+∞)上的单调性. [解]法一: 任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1 则y1-y2=-=. 因为x1>-1,x2>-1,所以x1+1>0,x2+1>0, 又x1 所以>0,即y1-y2>0.所以y1>y2, 所以函数y=在(-1,+∞)上是减函数. 法二: y==1+. 因为y=x+1在(-1,+∞)上是增函数, 所以y=在(-1,+∞)上是减函数, 所以y=1+在(-1,+∞)上是减函数.即函数y=在(-1,+∞)上是减函数. 2.作出函数y=|x2-1|+x的图象,并根据函数图象写出函数的单调区间. [解]当x≥1或x≤-1时,y=x2+x-1=-;当-1 由函数图象可知,函数的减区间为(-∞,-1],, 函数的增区间为,[1,+∞). 求函数的最值(值域)[学生用书P21] [典例引领] (1)函数y=x+的最小值为________. (2)函数f(x)=-+b(a>0)在[,2]上的值域为[,2],则a=________,b=________. 【解析】 (1)法一: 令t=,且t≥0,则x=t2+1, 所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0. 配方得y=+, 又因为t≥0,所以y≥+=1, 故函数y=x+的最小值为1. 法二: 因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在[1,+∞)内为增函数,所以ymin=1. (2)因为f(x)=-+b(a>0)在[,2]上是增函数, 所以f()=,f (2)=2. 即, 解得a=1,b=. 【答案】 (1)1 (2)1 [通关练习] 1.函数f(x)=的最大值为________. [解析]当x≥1时,函数f(x)=为减函数, 所以f(x)在x=1处取得最大值,为f (1)=1; 当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值, 为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2. [答案]2 2.函数f(x)=|x-1|+x2的值域为________. [解析]因为f(x)=|x-1|+x2 =, 所以f(x)= 作出函数图象如图, 由图象知f(x)=|x-1|+x2的值域为. [答案] 函数单调性的应用(高频考点)[学生用书P21] 函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点,常以选择、填空题的形式出现. 高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度: (1)比较两个函数值或两个自变量的大小; (2)解函数不等式; (3)求参数的值或取值范围. [典例引领] (1)(2016·高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是( ) A.(-∞,) B.(-∞,)∪(,+∞) C.(,) D.(,+∞) (2)已知函数f(x)=(a>0)在(2,+∞)上递增,则实数a的取值范围为________. 【解析】 (1)由f(x)是偶函数得f(-)=f(),再由偶函数在对称区间上单调性相反,得f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以由2|a-1|<,得|a-1|<,即<a<.
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