初中数学重要知识点总结.docx

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初中数学重要知识点总结

线

1、基本概念

图形

直线

射线

线段

端点个数

无

一个

两个

表示法

直线a；直线AB（BA）

射线AB

线段a；线段AB（BA）

作法叙述

作直线AB；作直线a

作射线AB

作线段a；作线段AB；连接AB

延长叙述

不能延长

反向延长射线AB

延长线段AB；反向延长线段BA

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单地：

两点确定一条直线。

3、画一条线段等于已知线段

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的大小比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

定义：

把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

符号：

若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。

6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。

简单地：

两点之间，线段最短。

7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离。

8、点与直线的位置关系

（1）点在直线上

（2）点在直线外.

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

4直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

5平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

6如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

7定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

8逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

9线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

等边三角形

1推论等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

2推论三个角都相等的三角形是等边三角形

3推论有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

等腰三角形

1等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

2推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

3等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

4等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

角

1、角：

由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

2、角的表示法（四种）：

用三个字母及角的符号“”表示。

中间的字母表示顶点，其他两个字母分别表示角的两边上的店；

当顶点处只有一个角时，可用表示顶点的这个字母来表示该角；

用一个数字表示一个角；

用一个希腊字母表示一个角。

3、角的分类

∠β

锐角

直角

钝角

平角

周角

范围

0＜∠β＜90°

∠β=90°

90°<∠β<180°

∠β=180°

∠β=360°

4、角的比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

5、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角。

（2）借助量角器能画出给定度数的角。

（3）用尺规作图法。

6、角的平线线

定义：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。

7、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）余（补）角的性质：

等角的补（余）角相等.

8、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏东（西）方向

（3）东（西）北（南）方向

1同角或等角的补角相等

2同角或等角的余角相等

3同位角相等，两直线平行

4内错角相等，两直线平行

5同旁内角互补，两直线平行

6两直线平行，同位角相等

7两直线平行，内错角相等

8两直线平行，同旁内角互补

9定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

10定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

11角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

三角形

1定理三角形两边的和大于第三边

2推论三角形两边的差小于第三边

3三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

4推论1直角三角形的两个锐角互余

5推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

6推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

7全等三角形的对应边、对应角相等

8边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

9角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

10推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

11边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

12斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

13直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

14在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

15勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

16勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

平行四边形

1平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

2平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

3推论夹在两条平行线间的平行线段相等

4平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

5平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

8平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

9矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

多边形

1定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

2定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

3定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

4逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

5定理四边形的内角和等于360°

6四边形的外角和等于360°

7多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

8推论任意多边的外角和等于360°

分式

设A、B表示两个整式。

如果B中含有字母，式子

就叫做分式。

注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义。

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

如果分子分母有公因式，要进行约分化简。

2、分式的基本性质

（M为不等于零的整式）

3．分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）

（异分母相加，先通分）；

；

；

4．零指数a0=1（a≠0）

5．负整数指数

（a≠0,p为正整数）

注意正整数幂的运算性质

，

（a≠0）

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是0或负整数．

正比例反比例一次函数

第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋）第三象限（－、－）第四象限（＋，－）

x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；

若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

1、一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）,那么y叫做x的一次函数。

（2）当b＝0时，一次函数y=kx+b即为y=kx（k≠0）。

这时，y叫做x的正比例函数。

注：

正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2、正比例函数的图象与性质

（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过（0，0）（1，k）的一条直线。

（2）当k>0时?

y随x的增大而增大?

直线y=kx经过一、三象限?

从左到右直线上升。

当k<0时?

y随x的增大而减少?

直线y＝kx经过二、四象限?

从左到右直线下降。

3、一次函数的图象与性质

（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过（0，b）（

，0）的一条直线。

注：

（0,b）是直线与y轴交点坐标，（

，0）是直线与x轴交点坐标。

（2）当k>0时?

y随x的增大而增大?

直线y=kx+b（k≠0）是上升的

（3）当k<0时?

y随x的增大而减少?

直线y＝kx+b（k≠0）是下降的

4、一次函数y=kx+b（k≠0,kb为常数）中k、b的符号对图象的影响

（1）k>0,b>0?

直线经过一、二、三象限

（2）k>0,b<0?

直线经过一、三、四象限

（3）k<0,b>0?

直线经过一、二、四象限

（4）k<0,b<0?

直线经过二、三、四象限

5、对一次函数y=kx+b的系数k,b的理解。

（1）k（k≠0）相同，b不同时的所有直线平行，即直线

l1:

y=k1x+b1；直线

（k1，k2均不为零，k1，b1，k2，b2为常数）

（2）k（k≠0）不同，b相同时的所有直线恒过y轴上一定点（0,b），例如：

直线y=2x+3,y=-2x+3,

均交于y轴一点（0，3）

6、直线的平移：

所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可由公式︱b1－b2︱得到，其中b1，b2是两直线与y轴交点的纵坐标，直线沿x轴平移多少个单位，可由公式︱x1－x2︱求得，其中x1，x2是由两直线与x轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+b（k≠0）与方程、不等式的联系

（1）一条直线y=kx+b（k≠0）就是一个关于y的二元一次方程

（2）求两直线

，

的交点，就是解关于x，y的方程组

（3）若y>0则kx+b>0。

若y<0，则kx+b<0

（4）一元一次不等式，y1≤kx+b≤y2（y1，y2都是已知数，且y1

（5）一元一次不等式kx+b≤y0（或kx+b≥y0）（y0为已知数）的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y0（或y≥y0）那条射线所对应的自变量的取范围。

8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（1）由于比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。

（2）一次函数y=kx+b中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点，或两对x，y的值。

9、反比例函数

（1）反比例函数及其图象

如果

（k是常数，k≠0），那么，y是x的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象。

（2）反比例函数的性质

当k>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

（3）由于比例函数

（k是常数，k≠0）中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。

三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。

二元一次方程组

1．二元一次方程：

含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程。

注意：

一般说二元一次方程有无数个解。

2.二元一次方程组：

两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。

3.二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注意：

一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）。

4．二元一次方程组的解法：

（1）代入消元法；

（2）加减消元法；

（3）注意：

判断如何解简单是关键.

5．一次方程组的应用：

（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”；

（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。

一元一次不等式（组）

1.不等式：

用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：

不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

不等式的基本性质2：

不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

不等式的基本性质3：

不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集：

能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

4．一元一次不等式：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b＞0或ax+b＜0，（a≠0）。

5．一元一次不等式的解法：

一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用；

注意：

在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点。

6．一元一次不等式组：

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组；

注意：

；

；

；

7.一元一次不等式组的解集与解法：

所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集。

8．一元一次不等式组的解集的四种类型：

设a＞b

不等式组的解集是x>a

不等式组的解集是x

不等式组的解集是a>x>b

不等式组的解集是空集

9．几个重要的判断：

，

，

整式的乘除

1.同底数幂的乘法：

am·an=am+n，底数不变，指数相加。

2．幂的乘方与积的乘方：

（am）n=amn，底数不变，指数相乘；（ab）n=anbn，积的乘方等于各因式乘方的积。

3．单项式的乘法：

系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里。

4．单项式与多项式的乘法：

m（a+b+c）=ma+mb+mc，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

5．多项式的乘法：

（a+b）·（c+d）=ac+ad+bc+bd，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

6．乘法公式：

（1）平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；

（2）完全平方公式：

①（a+b）2=a2+2ab+b2,两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍；

②（a-b）2=a2-2ab+b2,两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；

③（a+b-c）2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略。

7.配方：

（1）若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式：

；

（2）二次三项式ax2+bx+c经过配方，总可以变为a（x-h）2+k的形式，利用a（x-h）2+k

①可以判断ax2+bx+c值的符号；

②当x=h时，可求出ax2+bx+c的最大（或最小）值k。

（3）注意：

8．同底数幂的除法：

am÷an=am-n，底数不变，指数相减。

9．零指数与负指数公式:

（1）a0=1（a≠0）；

（a≠0）.注意：

00，0-2无意义；

（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：

0.0000201=2.01×10-5.

10．单项式除以单项式:

系数相除，相同字母相除，只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

11．多项式除以单项式：

先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

12．多项式除以多项式：

先因式分解后约分或竖式相除；

注意：

被除式-余式=除式·商式。

13．整式混合运算：

先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内。

线段、角、相交线与平行线

几何A级概念：

（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1.角平分线的定义：

一条射线把一个角分成两个相等的部分，这条射线叫角的平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC

（2）∵∠AOC=∠BOC

∴OC是∠AOB的平分线

2．线段中点的定义：

点C把线段AB分成两条相

等的线段，点C叫线段中点.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵C是AB中点

∴AC=BC

（2）∵AC=BC

∴C是AB中点

3．

等量公理：

（如图）

（1）等量加等量和相等；

（2）等量减等量差相等；

（3）

等量的等倍量相等；

（4）等量的等分量相等.

几何表达式举例：

（1）∵AC=DB

∴AC+CD=DB+CD即AD=BC

（2）∵∠AOC=∠DOB∴∠AOC-∠BOC=∠DOB-∠BOC

即∠AOB=∠DOC

（3）∵∠BOC=∠GFM又∵∠AOB=2∠BOC

∠EFG=2∠GFM

∴∠AOB=∠EFG

（4）∵

，

又∵AB=EF

∴AC=EG

4．等量代换：

几何表达式举例：

∵a=cb=c

∴a=b

几何表达式举例：

∵a=cb=d

又∵c=d

∴a=b

几何表达式举例：

∵a=c+db=c+d∴a=b

5．补角重要性质：

同角或等角的补角相等.（如图）

几何表达式举例：

∵∠1+∠3=180°

∠2+∠4=180°

又∵∠3=∠4

∴∠1=∠2

6．余角重要性质：

同角或等角的余角相等.（如图）

几何表达式举例：

∵∠1+∠3=90°

∠2+∠4=90°

又∵∠3=∠4

∴∠1=∠2

7．对顶角性质定理：

对顶角相等.（如图）

几何表达式举例：

∵∠AOC=∠DOB

又∵∠AOC+∠AOD=180°

∠DOB+∠BOC=180°

∴∠AOD=∠BOC

8．两条直线垂直的定义：

两条直线相交成四个角，有一个角是直角，这两条直线互相垂直.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AB、CD互相垂直∴∠COB=90°

（2）∵∠COB=90°

∴AB、CD互相垂直

9．三直线平行定理：

两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也平行.（如图）

几何表达式举例：

∵AB∥EF

又∵CD∥EF

∴AB∥CD

10．平行线判定定理：

两条直线被第三条直线所截：

（1）若同位角相等，两条直线平行；（如图）

（2）若内错角相等，两条直线平行；（如图）

（3）若同旁内角互补，两条直线平行.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵∠GEB=∠EFD

∴AB∥CD

（2）∵∠AEF=∠DFE

∴AB∥CD

（3）

∵∠BEF+∠DFE=180°∴AB∥CD

11．平行线性质定理：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；（如图）

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（如图）

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AB∥CD

∴∠GEB=∠EFD

（2）∵AB∥CD

∴∠AEF=∠DFE

（3）∵AB∥CD

∴∠BEF+∠DFE=180°

几何B级概念：

（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一基本概念：

直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.

二定理：

1.直线公理：

过两点有且只有一条直线.

2.线段公理：

两点之间线段最短.

3.有关垂线的定理:

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

4.平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

三公式：

直角=90°，平角=180°，周角=360°，1°=60′，1′=60″.

四常识：

1．定义有双向性，定理没有.

2．直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能双向延长.

3．命题可以写为“如果………那么………”的形式，“如果………”是命题的条件，“那么………”是命题的结论.

4．几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解.

5．数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数.

6．几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析.

7．方向角：

（1）

（2）

8．比例尺：

比例尺1:

m中，1表示图上距离，m表示实际距离，若图上1厘米，表示实际距离m厘米.

9．几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据；证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。

有理数的基础知识

1、三个重要的定义：

（1）正数：

像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

（2）负数：

在正数前面加上“-”号，表示比0小的数叫做负数；

（3）0即不是正数也不是负数.

2、有理数的分类：

（1）

按定义分类：

（2）按性质符号分类：

3、数轴

数轴有三要素：

原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

4、相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

5、绝对值

（1）绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。

（2）绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负

数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算

1、有理数的