最新微分中值定理的证明及应用.docx
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最新微分中值定理的证明及应用
微分中值定理的证明及应用
微分中值定理的证明及应用
黄敏
(井冈山大学数理学院,江西吉安343009)
指导老师:
颜昌元
[摘要]本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题.
[关键词]辅助函数中值定理介值定理
引言
微分中值定理不仅是微分学的基本定理,而且它也是微分学的理论核心.又因为导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的,所以微分中值定理是微分学应用的理论基础.微分中值定理通常指:
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关键是做出辅助函数.现行教材中传统形式的辅助函数,表达式冗长.以下通过:
1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理.最后通过一类证明题和一些巧用来说明“微分中值定理”的应用.
1微分中值定理的证明
定理1罗尔(Rolle)中值定理如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»可导,且在区间端点的函数值相等,即«SkipRecordIf...»,那么在«SkipRecordIf...»内至少存在一点
«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»成立.
定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»内可导,那么在«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»
成立.
定理3柯西(Cauchy)中值定理如果函数«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内每一点均不为零,那么在«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
成立.
1.1证明中建立辅助函数的方法
这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键.
1.1.1分析推理法
分析一下定理3,定理3的结论是:
至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
即«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
因为«SkipRecordIf...»,所以只要
«SkipRecordIf...»(*)
由(*)式可以试着构造函数
«SkipRecordIf...»
只要它满足罗尔中值定理的条件,便知存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...».
即(*)式成立,定理3便可得证.不难验证,«SkipRecordIf...»确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为«SkipRecordIf...»即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数
«SkipRecordIf...»
这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.
1.1.2“K”值法
拉格朗日中值定理中,令«SkipRecordIf...»,则有«SkipRecordIf...»,
即有«SkipRecordIf...»,不难发现,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上均满足罗尔中值定理的条件,
其中«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»可以作为所需要的辅助函数.
而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得柯西中值定理.
令«SkipRecordIf...»,由已知,对«SkipRecordIf...»中任意«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,可推得«SkipRecordIf...»(根据罗尔中值定理可证得).此时有
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»
不难发现,可以取«SkipRecordIf...»作为辅助函数,它在«SkipRecordIf...»上均满足罗尔中值定理的条件,故有«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»又«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
此方法构造辅助函数的过程相当巧妙,而且所得辅助函数简单明朗,但逻辑关系并非十分严密,带有一定的偶然性,不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强.
1.1.3积分法
定理2拉格朗日中值定理的证明
把需证之式变为«SkipRecordIf...»对应改写成
«SkipRecordIf...»(把«SkipRecordIf...»换成«SkipRecordIf...»),
证明上述方程在«SkipRecordIf...»内存在根,将上式左边对«SkipRecordIf...»积分,有
«SkipRecordIf...»
故取«SkipRecordIf...».则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,且
«SkipRecordIf...»
由罗尔中值定理知,至少存在一点«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...».
同理,可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成
«SkipRecordIf...»
对应改写成
«SkipRecordIf...»(把«SkipRecordIf...»换成«SkipRecordIf...»)
证明上述方程在«SkipRecordIf...»内存在根,将上式左边对«SkipRecordIf...»积分,有
«SkipRecordIf...»故取
«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,且
«SkipRecordIf...»
由罗尔定理知,至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...».
通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数,其基础方法是:
(1)将需证之式整理,使等式右边为0,左边的«SkipRecordIf...»改写成«SkipRecordIf...»;
(2)对等式左边关于«SkipRecordIf...»积分;(3)对应积分值写出«SkipRecordIf...»,这种方法最大的优点在于其规律性,不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用.
1.2逆序统一证明法
这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。
10先证Cauchy中值定理
证令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»满足:
(1)在«SkipRecordIf...»上连续;
(2)在«SkipRecordIf...»内可导;
(3)«SkipRecordIf...»
若«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»(常数)«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,取«SkipRecordIf...»内任一点为«SkipRecordIf...»都有«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»
若存在某个«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,所以«SkipRecordIf...»必在某点«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得最大值或最小值,则«SkipRecordIf...»亦称为极值点,又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»可导,所以«SkipRecordIf...».即
«SkipRecordIf...»
20Lagrange中值定理的证明
证只要令定理中的«SkipRecordIf...»,立即有本定理的结论.
30Rolle中值定理证明
证把该定理中的条件«SkipRecordIf...»用于Lagrange中值定理的结论即证.
从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖、更快捷的具大优势.
2微分中值定理的应用
要熟练的应用中值定理确实是一件不易的事,尤其是辅助函数的引入,更是变化多样.下面给出微分中值定理在数学分析的一些证明题中的巧用.
2.1插入一个分点使满足中值定理的条件.
分点c的选取,要根据具体情况而定,有时需要结合闭区间上连续函数的性质推断符合要求的点c的存在性,以保证函数在该点处的值«SkipRecordIf...»满足特殊要求,进而完成证明.
例1设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,证明:
(1)存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
(2)存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
(3)存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
(4)存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»及大于零的常数«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»,
(5)对于任意的正整数«SkipRecordIf...»,存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»及常数«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»,
(6)对于任意常数«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»及c属于«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...».
分析要证明存在«SkipRecordIf...»内两个不同的点«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得题中等式成立,关键是在«SkipRecordIf...»内插入一个分点c,将闭区间«SkipRecordIf...»分成两个子区间«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»,然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可.
证
(1)显然,«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足Lagrange中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
从而«SkipRecordIf...».
(2)因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故根据闭区间上的连续函数的介值定理,存在c属于«SkipRecordIf...»上满足«SkipRecordIf...»,显然,«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足Lagrange中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»使得:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
从而
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
(3)构造辅助函数«SkipRecordIf...»
显然,其在«SkipRecordIf...»上连续,且«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
根据闭区间上连续函数的介值性定理,存在c属于«SkipRecordIf...»,满足«SkipRecordIf...»即«SkipRecordIf...»
又«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足Lagrange中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»使得:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
从而
«SkipRecordIf...».
(4)因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故根据闭区间上的连续函数的介值定理,存在c属于«SkipRecordIf...»上满足«SkipRecordIf...»,显然,«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足Lagrange中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
从而
«SkipRecordIf...».
(5)因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则对于任意的正整数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故根据闭区间上的连续函数的介值定理,存在c属于«SkipRecordIf...»,满足
«SkipRecordIf...»,且显然«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足Lagrange中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使得:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
从而
«SkipRecordIf...».
(6)因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,且对于任意常数«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故根据闭区间上的连续函数的介值定理,存在c属于«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»
又«SkipRecordIf...»显然在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上满足«SkipRecordIf...»中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
从而
«SkipRecordIf...».
2.2若在所证明的等式中同时出现函数及其导数时,应考虑使用«SkipRecordIf...»这个辅助函数,因为它的导数等于它本身,在使用Rolle定理时可以消去.
例2若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»可微,且«SkipRecordIf...»,则存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...».
证令«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...».再由Rolle定理得,存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».
即
«SkipRecordIf...»,
所以
«SkipRecordIf...»成立.
例3若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»可微,且«SkipRecordIf...»,则存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...».
证令«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...».由Rolle定理得:
存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»,
即
«SkipRecordIf...».
所以有
«SkipRecordIf...»
成立.
例4若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»可微,且«SkipRecordIf...»,则对于任意自然数«SkipRecordIf...»,存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»
证同理只需令«SkipRecordIf...»,再应用Rolle定理即可.
2.3已知«SkipRecordIf...»在一个区间的某一端点处的值为0,且在所证明的式子中有自然数出现,则可考虑«SkipRecordIf...»的方幂.
例5若函数在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,在开区间内«SkipRecordIf...»可微,且
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
其中«SkipRecordIf...»,则对任意正整数«SkipRecordIf...»,存在«SkipRecordIf...»属于«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»成立.
证明:
因为在要证明的式子中,有«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»,还有自然数«SkipRecordIf...»,故联想到«SkipRecordI
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