数学实验报告.docx
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数学实验报告.docx
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数学实验报告
西安交通大学实验报告
一、某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间,各车间的原棉需求量,单位产品从各仓库运往各车间的运输费以及各仓库的库存如表所列,问如何安排运输任务使得总运费最小?
车间
1
2
3
库存容量
1
2
1
3
50
2
2
2
4
30
3
3
4
2
10
需求
40
15
35
问题分析:
该题较为简单,只要根据表中数据确定不等式,找到上下限,在根据书上的已有例子,综合自己的判断,就可写出。
f=[2,1,3,2,2,4,3,4,2];
A=[1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1];
b=[50;30;10];
aeq=[1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1];
beq=[40,15,35];
vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,b,aeq,beq,vlb,vub)
结果分析:
由运行结果可知,第一车间由1,2仓库分别运进10,20单位的原棉,第二车间由1仓库运进15单位的原棉,第三车间由1,3仓库分别运进25,10单位的原棉,即可使总运费最小。
二、某校学生在大学三年级第一学期必须要选修的课程只有一门,可供限定选修的课程有8门,任意选修课程有10门,由于一些课程之间互有联系,所以可能在选修某门课程中必须同时选修其他课程,这18门课程的学分数和要求同时选修课程的相应信息如表:
按学校规定,每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分,因此,学生必须在上述18门课程中至少选修19学分学校同时还规定学生每学期选修任意选修课的学分不能少于3学分,也不能超过6学分,为了达到学校的要求,试为该学生确定一种选课方案。
问题分析:
本题是一道典型的0-1规划的问题,本体的难点在于,选了B一定要选A,但选了A却有选B,和不选B这两种方案,故不可采用以前普通的计算方式,考虑相减,即A-B>=0就可解决该问题。
c=[-5,-5,-4,-4,-3,-3,-3,-2,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1];
a=[-5,-5,-4,-4,-3,-3,-3,-2,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1;
0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1;
0,0,0,0,0,0,0,0,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1;
-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0];
b=[-19;6;-3;0;0;0;0;0;0;0;0];
[x,favl]=bintprog(c,a,b)
favl=-favl;
结果分析:
有实验结果可知,连选前10门课才可达到学校的要求。
虽然此时已远远超出了学校的要求,但仍为最优方案。
三、一家制造计算机的公司计划生产A,B两种型号的计算机产品,他们使用相同通的微处理芯片,但A产品使用27英寸显示器,B产品使用31英寸显示器,除了400000美元的固定费用外,每台A产品成本为1950美元,每台B产品成本为2260美元,公司建议每台A产品的零售价3390美元,每台B产品的零售价为3980美元,营销人员估计,在销售这些计算机的竞争市场上,同一类型的计算机多买一台,它的价格就下降0.15美元,同时,一种类型的计算机销售也会影响另一种计算机的销售,估计每销售一台A产品,就会使B产品的零售价格下降0.04美元,每销售一台B产品就会使A产品的零售价下降0.06美元,假设该公司制造的所有计算机都可以售出,那么,该公司应该生产每种计算机个多少台,才能使利润最大?
问题分析:
该问题实际上是关于二元函数的极值问题,可以通过计算偏导数,求其驻点,然后再判别这些驻点是否为极值。
并且,B和A的出售量又会相互影响,使问题更加复杂。
故在本题中采用分两步的方法,第一步,简化方程,找出可能存在的极值点。
第二步,将该驻点作为初始值代入方程,找到极值点。
fun='-(3390-0.15*x
(1)-0.06*x
(2))*x
(1)-(3980-0.15*x
(2)-0.04*x
(1))*x
(2)';
x0=[0,0];
[x,fval]=fminsearch(fun,x0)
fmax=-fval
functiony=fun(x)
y
(1)=((3390-0.15*x
(1)-0.06*x
(2))*x
(1)-1950*x
(1)-400000);
y
(2)=((3980-0.15*x
(2)-0.04*x
(1))*x
(2)-2260*x
(2)-400000);
y=-y
(1)-y
(2);
x0=[7738,10687];
[x,y]=fminunc(@fun,x0)
z=-y
结果分析:
在第一步中,找出x1=7738,x2=10687为其驻点,将其代入方程可得出x1=3250,x2=4650为其极值点,即A生产3250台,B生产4650台时,可以获得最大利润。
四、下表中,X是华氏温度,Y是一分钟内一只蟋蟀的鸣叫次数,试用多项式模型拟合这些数据,画出拟合曲线,分析你的拟合模型是否很好?
观测序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
46
49
51
52
54
56
57
58
59
60
Y
40
50
55
63
72
70
77
73
90
73
观测序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Y
96
88
99
110
113
120
127
137
132
137
问题分析:
该问题是一道典型的曲线拟合问题,故其应符合曲线拟合的最佳条件,即找到一条曲线,是题目中的数据尽可能多的经过,或者靠近给出的曲线,使得经曲线拟合出来的数据与实际测得的数据尽可能的接近。
故应先假设出一个函数y=f(x),然后根据实际测得的数据来确定函数中的参数,使得在各处的误差较小。
根据书上教授的内容,最小二乘法不失为一个较为便捷有效的方法,通过题目给出的数据确定曲线的横,纵坐标,然后规定一个e值,使e等于拟合的次数,在matlab编写拟合曲线。
源代码:
x=[4649515254565758596061626364666768717271];
y=[40505563727077739093968899110113120127137132137];
plot(x,y,'k.','markersize',20);
axis([35,75,40,150]);
k=polyfit(x,y,7);
q=40:
1:
85;
w=polyval(k,q);
holdon
plot(q,w,'k-','linewidth',2)
结果分析:
通过图表可知,随着温度的上升,蟋蟀在单位时间内鸣叫的次数,先下降,再上升,然后接着下降,并在70时达到最高点,并且在45~70这一段曲线较为准确,当小于45时,可明显看出曲线上升的过于剧烈,与实际不符,若增测数据点,可能会有所改善。
五、在下列数据中,W表示一条鱼的重量,l表示它的长度,使用最小二乘准则拟合模型W=kl3
长度l(英寸)
14.5
12.5
17.25
14.5
12.625
17.75
14.125
12.625
重量w(盎司)
27
17
41
26
17
49
23
16
(2)**在下列数据中,g表示一条鱼的身围,使用最小二乘准则拟合模型W=klg2
长度l(英寸)
14.5
12.5
17.25
14.5
12.625
17.75
14.125
12.625
身围g(英寸)
9.75
8.375
11.0
9.75
8.5
12.5
9.0
8.5
重量w(盎司)
27
17
41
26
17
49
23
16
(3)**两个模型哪个拟合数据较好?
为什么?
问题分析:
与上一题类似,该问题亦是一个典型的曲线拟合问题,故其要点应与上一题类似,即,如何找到一条曲线,使拟合出来的数据与实际数据的偏差较小。
(1)
l=[14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625];
w=[2717412617492316];
a=0;b=0;
fori=1:
8
a=a+l(i)^4;
b=b+l(i)*w(i);
end
A=a
B=b
q=inv(A)*B
fori=1:
8
x(i)=q
(1)*l(i)^3;
end
plot(l,w,'r*--',l,x,'b.--')
(2)
l=[14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625];
g=[9.758.37511.09.758.512.59.08.5];
w=[2717412617492316];
plot3(l,g,w,'k.','markersize',25)
axis([10207121555])
a=l.*(g.^2)
b=inv(a*(a.'))*(a)*(w.')
x=10:
0.1:
20
y=7:
0.1:
13
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Z=b*X.*Y.^2
surf(X,Y,Z)
shadingflat
(3)
就个人而言,认为2中的拟合数据较好,因为鱼的重量不仅与其身长相关,亦与身围有密不可分的联系,综合考虑才能得到较好结果。
结果分析:
从图像中可以看出,随着鱼身长与身围的增大,其质量在不断增加。
(1),
(2)的对比也可得出,在面对实际问题做曲线拟合时,要考虑多方面的因素,这样才能得到较为真实准确的结果。
六、某工厂利用甲、乙两种原料生产A1,A2,A3三种产品,每月可供应的原料数量(单位:
t)每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如表8.4所示:
应如何制定每月的最优生产计划,使得总收益最大?
问题分析:
这是一个典型的线性规划问题,由于本题中共有6个需要控制的量,故有6个变量,两个限制条件即两个不等式约束,而后利用matlab中的linprog函数即可求解。
源代码:
c=[-12,-5,-4,-12,-5,-4];
A=[4,3,1,0,0,0;0,0,0,2,6,3];
b=[180;200];
vlb=[000000];
[x,min]=linprog(c,A,b,[],[],vlb,[])
max=-min
结论:
故应每月用甲生产180吨A3,用乙生产100吨A1,如此可得到最大利润为1920元。
七设有三种证券S1,S2,S3,期望收益率分别为10%,15%,40%,风险分别是10%,5%,20%,假定投资总风险用最大的投资股票的风险来度量,且同期银行存款利率为5%,无风险,为投资者建议一种投资策略(投资比例),使其尽可能获得最大收益。
问题分析:
假设投资四种股票的比例为
,
,
,
,投资银行的比例为
,依此建立模型并用matlab逐步改变风险额度,做出的收益—风险度如下:
a=0
while(1.1-a)>1
c=[-0.1,-0.15,-0.4,-0.05];
aeq=[1,1,1,1];
beq=[1];
A=[0.1,0,0,0;0,0.05,0,0;0,0,0.2,0];
b=[a,a,a];
vlb=[0,0,0,0];vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb,vub);
a
x=x'
Q=-fval
plot(a,Q,'.')
axis([0,0.1,0,0.3])
holdon
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
从执行结果及图示,我们可以得到以下结论:
1、风险越大,收益越大。
2、当投资越分散时,投资者承担的风险越小。
冒险的投资者会出现集中投资的情况,而保守的投资者则尽量分散投资。
3、图线分别在a=0.03和a=0.04出现两个转折点,在a=0.03左边时,当风险增加,收益增长较快,在a=0.03和a=0.04之间时,风险增长而收益增长减慢。
在a=0.04右边,风险增加时收益增长进一步减慢。
对风险厌恶型投资者来说,应选择转折点a=0.03作为最优投资组合:
a=0.0300
x=0.25000.60000.15000.0000
Q=0.1750
对风险喜好型投资者来说,应选择右端转折点a=0.04作为最优投资组合:
a0.0400
x=0.00000.80000.20000.0000
Q=0.2000
八、有一形状较为复杂,但表面很光滑的曲面工件。
通过科学手段,将其放置于某一空间坐标系下,测得曲面上若干个点的坐标如下:
要求:
(1)画出该曲面工件的图形
(2)在已知相邻的横纵坐标之间分别插入三个分点,用interp2命令计算出所有点处的竖坐标,画出相应的插值曲面。
(3)用不同方法求出该曲面工件表面积的近似值
源代码:
x=-5:
1:
5;
y=-5:
1:
5;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
zz=Sheet1;
figure
(1);
mesh(xx,yy,zz);
figure
(2)
xb=-5:
0.25:
5;
yb=-5:
0.25:
5;
[xxb,yyb]=meshgrid(xb,yb);
zzb=interp2(xx,yy,zz,xxb,yyb,'cubic');
mesh(xxb,yyb,zzb)
[Fx,Fy]=gradient(zz,0.001,0.001);
S=sqrt(1+Fx.^2+Fy.^2)*0.000001.*(~isnan(zz));
sum(S(~isnan(S)))
原曲面:
插值后的曲面:
算的的曲面面积:
ans=0.7669
九、煤矿的储量估计,下表给出了某露天煤矿在平面矩形区域(1100mX700m)上,在纵横均匀的网格交点处测得的煤层厚度(单位:
m)(由于客观原因,有些点无法测量煤层厚度,这里用/标出),其中的每个网格都为(100mX100m)的小矩形,试根据这些数据,来估算出该矩形区域煤矿的储藏量(体积)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1
/
/
12.5
13.5
17.2
/
8.8
14.7
8.0
13.0
/
2
/
/
/
15.6
18.2
13
6.4
8.9
9.2
11.7
/
3
/
12
13.5
13.5
17.8
16.9
13.2
/
/
/
/
4
7.5
12.6
14.9
18.7
17.7
17.5
14.7
13
/
/
6.5
5
8.9
7.8
12.4
13.5
15.7
17.6
11.7
9.6
9.2
9.5
8.6
6
/
/
/
13.7
13.6
16.5
12.5
8.7
9.7
/
/
7
/
/
8.6
11.8
12.5
11.3
13.4
/
/
/
/
源代码:
x=0:
100:
1000;
y=0:
100:
600;
z=[14.2,14.1,12.5,13.5,17.2,12.9,8.8,14.7,8.0,13.0,10.3;19.1,17.9,16.7,15.6,18.2,13,6.4,8.9,9.2,11.7,7.0;12.4,12,13.5,13.5,17.8,16.9,13.2,16.5,17.1,17.7,18.3;7.5,12.6,14.9,18.7,17.7,17.5,14.7,13,9.9,7.6,6.5;
8.9,7.8,12.4,13.5,15.7,17.6,11.7,9.6,9.2,9.5,8.6;
8.2,9.3,11.7,13.7,13.6,16.5,12.5,8.7,9.7,7.6,9.5;
8.1,10.8,8.6,11.8,12.5,11.3,13.4,11.0,8.4,5.0,0.88];
[x0,y0]=meshgrid(0:
1:
1000,0:
1:
600);
z1=interp2(x,y,z,x0,y0,'linear');
z2=interp2(x,y,z,x0,y0,'cubic');
z3=interp2(x,y,z,x0,y0,'spline');
%surf(x0,y0,z1)
%surf(x0,y0,z2)
surf(x0,y0,z3)
shadinginterp;
fori=1:
601
forj=1:
1001
%M(i,j)=z1(i,j);
%M(i,j)=z2(i,j);
M(i,j)=z3(i,j);
end
end
sum(sum(M))
第一种插值得到的曲面:
储量估计:
ans=7.5956e+006
第二种插值得到的曲面:
储量估计:
ans=7.6190e+006
第三种插值得到的曲面:
储量估计:
ans=7.6076e+006
实验感想:
通过这几次上机实验,我们掌握了如何用matlab求解最优化问题,并学会的数据的拟合与插值,这部分内容与生产实际问题更为相似,因而引起了我们的兴趣。
虽然本学期的数学实验课结束了,但我们运用matlab解决实际问题的热情没有消失,我们计划通过课外的学习,在这条路上尝试着者走更远。
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