高中数学必修2课时训练试题第2章 一般式苏教版.docx
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高中数学必修2课时训练试题第2章一般式苏教版
第3课时 一般式
学习目标:
1.了解二元一次方程与直线的对应关系,掌握直线的一般形式.(重点、难点)2.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程几种形式之间的关系.(易错、易混点)3.能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程.(重点)
[自主预习·探新知]
1.直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)来表示.
(2)在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.
2.直线的一般式方程
(1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程;任何关于x,y的二元一次方程都表示直线.方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫做直线方程的一般式.
(2)对于直线Ax+By+C=0,当B≠0时,其斜率为-
,在y轴上的截距为-
;当B=0时,在x轴上的截距为-
;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为-
,-
.
(3)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x,y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.( )
(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程,反之,直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程.( )
(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)之间是一一对应关系.( )
(4)方程①x+2y-3=0;②x-3=0;③y+1=0均表示直线.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.过点(1,2),斜率为0的直线对应的二元一次方程为________.
[解析] 过点(1,2),斜率为0的直线方程为y=2,其对应的二元一次方程为y-2=0.
[答案] y-2=0
3.方程
-
=1,化成一般式为________.
[解析] 由
-
=1,得2x-3y-6=0.
[答案] 2x-3y-6=0
4.经过点(-2,3),且斜率为2的直线方程的一般式为______________.
[解析] 由点斜式方程得y-3=2(x+2),整理得y=2x+7,即2x-y+7=0.
[答案] 2x-y+7=0
[合作探究·攻重难]
求直线的一般式方程
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是
,且经过点A(2,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-1;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x,y轴上的截距分别是3,-1.
[思路探究] 选择恰当方程形式,代入条件,再化成一般式.
[解]
(1)由点斜式方程可知,
所求直线方程为y-3=
(x-2),
化为一般式为
x-y+3-2
=0.
(2)由斜截式方程可知,
所求直线方程为y=4x-1,
化为一般式为4x-y-1=0.
(3)由两点式方程可知,所求直线方程为
=
.
化为一般式方程为2x+y-3=0.
(4)由截距式方程可得,
所求直线方程为
+
=1.
化成一般式方程为x-3y-3=0.
[规律方法] 求直线的一般式方程,设一般式用待定系数法求解并不简单,通常是根据题干条件选用点斜式,斜截式,两点式或截距式先求出方程,再化为一般式.
[跟踪训练]
1.求满足下列条件的直线方程,并化成一般式.
(1)斜率为3,经过点(5,-4);
(2)斜率为-2,经过点(0,2);
(3)经过两点(2,1)和(3,-4);
(4)经过两点(2,0)和(0,-3).
[解]
(1)∵直线的斜率为3,过点(5,-4),
由直线的点斜式方程,得y+4=3(x-5),
∴所求直线方程为3x-y-19=0.
(2)∵直线的斜率为-2,在y轴上的截距为2,
由直线的斜截式方程,
得y=-2x+2,
∴所求直线方程为2x+y-2=0.
(3)∵直线过两点(2,1)和(3,-4),
由直线的两点式方程,得
=
,
∴所求直线方程为5x+y-11=0.
(4)∵直线在x轴,y轴上的截距分别为2和-3,
由直线的截距式方程,得
+
=1,
∴所求直线方程为3x-2y-6=0.
直线方程的应用
一根铁棒在20℃时,长10.4025米,在40℃时,长10.4050米,已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示,试求出这个方程,并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度.
[思路探究] 把(20,10.4025)和(40,10.4050)视为直线l上的两个点,利用两点式求l的方程,并估计t=25℃时的值.
[解] 这条直线经过两点(20,10.4025)和(40,10.4050),根据直线的两点式方程,
得
=
,
即l=0.0025×
+10.4000,
当t=25℃时,l=0.0025×
+10.4000
=0.003125+10.4000=10.403125.
即当t=25℃时,铁棒长为10.403125米.
[规律方法] 在解决实际问题时,选择直线方程的形式不同,导致运算的繁简程度也不一样.待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法.一般地,已知一点,设k为待定系数,但要注意分k存在与不存在两种情况进行讨论.若已知斜率k,则设在y轴上的截距b为待定系数.有关直线与坐标轴围成的三角形问题,则设横截距和纵截距为待定系数,总之,应因题而异,寻找解题的最佳方法.
[跟踪训练]
2.某电信公司推出两种手机收费方式:
A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图217,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差________元.
图217
[解析] 设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,
B种方式对应的函数解析式为s=k2t,
当t=100时,100k1+20=100k2,
∴k2-k1=
,
t=150时,150k2-150k1-20=150×
-20=10.
[答案] 10
含参方程问题
[探究问题]
1.直线5ax-5y-a+3=0是否一定过第一象限?
为什么?
[提示] 5ax-5y-a+3=0变形为a(5x-1)+3-5y=0.
当5x-1=0时,3-5y=0即直线过定点
,
所以不论a为何值,直线一定过第一象限.
2.要使直线5ax-5y-a+3=0不经过第二象限,那么a的取值范围是什么?
[提示] 易知直线5ax-5y-a+3=0过定点A
,直线OA的斜率为k=
=3.
而直线l的方程整理得y-
=a
.
∵l不经过第二象限,∴k=a≥3.
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)是否存在实数a,使直线l不经过第二象限?
若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
[思路探究]
(1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解.
(2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解.
[解]
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,即截距相等,
∴a=2时满足条件,此时l的方程为3x+y=0;
当a=-1时,直线平行于x轴,在x轴无截距,不合题意;
当a≠-1,且a≠2时,由
=a-2,
即a+1=1,即a=0.
此时直线在x轴,y轴上的截距都为-2,l的方程为x+y+2=0.
综上,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0时,l在两坐标轴上的截距相等.
(2)假设存在实数a,使直线l不经过第二象限.将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
则有
解得a≤-1.
[规律方法]
1.本题
(1)在求解过程中,常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解;本题
(2)在求解过程中,常因漏掉“-(a+1)=0”的情形而漏解.
2.解答此类综合问题,常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解.解题时应结合具体问题选好切入点,以防增(漏)解.
[跟踪训练]
3.已知直线l:
kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:
直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围.
【导学号:
85012074】
[解]
(1)证明:
直线l的方程是k(x+2)+(1-y)=0,
令
解得
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-
,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有
解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,
符合题意,故k≥0.
故k的取值范围为{k|k≥0}.
[当堂达标·固双基]
1.过点(0,-1),倾斜角为60°的直线的一般式方程为________.
[解析] k=tan60°=
,由斜截式方程得y=
x-1,化为一般式:
x-y-1=0.
[答案]
x-y-1=0
2.已知直线的一般式方程为2x+y-4=0,且点(0,a)在直线上,则a=__________.
[解析] 把点(0,a)的坐标代入方程2x+y-4=0,得a-4=0,所以a=4.
[答案] 4
3.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过第________象限.
【导学号:
85012075】
[解析] 由ax+by=c,得y=-
x+
,
∵ab<0,∴直线的斜率k=-
>0,直线在y轴上的截距
<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
[答案] 一、三、四
4.斜率为-3,在y轴上的截距为2的直线的一般式方程是________.
[解析] 由斜截式方程得y=-3x+2,
化为一般式:
3x+y-2=0.
[答案] 3x+y-2=0
5.已知一个等腰三角形,两腰长是5,底边长是8,建立适当坐标系,求两腰所在的直线的方程.
[解] 如图,以底边BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,易知点B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0).
在Rt△AOC中,AC=5,OC=4,则OA=3.所以点A的坐标为(0,3).由直线的截距式方程得腰AB所在的直线方程为:
+
=1,即3x-4y+12=0;腰AC所在的直线方程为
+
=1,
即3x+4y-12=0.
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