剪力图和弯矩图1基础资料讲解.docx
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剪力图和弯矩图1基础资料讲解
剪力图和弯矩图1(基础)
x轴,。
以表(a)
C(c)(b)
(1)
(2)(3)≤l(4)以剪力图是平行于x轴的直线。
AC段的剪力为正,故剪力图在x轴上方;BC段剪力为负,故剪力图在x轴之下,如图8-12(b)所示。
由式
(2)与式(4)可知,弯矩都是x的一次方程,所以弯矩图是两段斜直线。
根据式
(2)、(4)确定三点
x?
0,M(x)?
0Fab
lx?
a,
x?
l,M(x)?
0M(x)?
由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图,如图8-12(c)。
例8-4简支梁AB受集度为q的均布载荷作用,如图8-13(a)所示,作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13
解
(1)求支反力由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等,即
FA?
FB?
(2)列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点,选取坐标系如图所示。
距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为ql2
ql?
qx20<x<l
(1)
xql1M(x)?
FAx?
qx?
x?
qx2
2220≤x≤l
(2)FQ(x)?
FA?
qx?
(3)作剪力图和弯矩图由式
(1)可知,剪力图是一条斜直线,确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图(图8-13b)。
由式
(2)可知,弯矩图为二次抛物线,要多确定曲线上的几点,才能画出这条曲线。
例如
通过这几点作梁的弯矩图,如图8-13(c)所示。
由剪力图和弯矩图可以看出,在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值:
FQmax?
ql2。
1Mmax?
ql2
8,而在此截面上剪力FQ?
0。
在梁跨度中点横截面上弯矩最大
例8-5图8-14所示简支梁,跨度为l,在C截面受一集中力偶m作用。
试列出梁的
FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程,并绘出梁的剪力图和弯矩图。
图8-14
解
(1)求支反力由静力平衡方程?
MA(x)?
0,?
MB(x)?
0得
FA?
FB?
(2)列剪力方程和弯矩方程由于集中力m作用在C处,全梁内力不能用一个方程来表示,故以C为界,分两段列出内力方程
ml
m
l0<x≤a
(1)AC段
m
M(x)?
FAx?
x
l0≤x<a
(2)
FQ(x)?
FA?
m
la≤x<l(3)BC段
m
M(x)?
FAx?
m?
x?
m
la≤x≤l(4)
FQ(x)?
FA?
(3)画剪力图和弯矩图由式
(1)、(3)画出剪力图,见图8-14(b);由式
(2)(4)
画出弯矩图,见图8-14(c)。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
F(x)F(x)
在例8-4中,若将M(x)的表达式对x取导数,就得到剪力Q。
若再将Q的表达式对x取导数,则得到载荷集度q。
这里所得到的结果,并不是偶然的。
实际上,在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。
现从一般情况出发加以论证。
图8-15
设图8-15(a)所示简支梁,受载荷作用,其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。
q(x)是x的连续函数,规定向上为正,选取坐标系如图所示。
若用坐标为x和x?
dx的两个相邻横截面,从梁中取出长为dx的一段来研究,由于dx是微量,微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷,见图8-15(b)。
F(x)M(x),在坐标为x?
dx的横截面上的内力
设坐标为x的横截面上的内力为Q和
为FQ(x)?
dFQ(x)和M(x)?
dM(x)。
假设这些内力均为正值,且在dx微段内没有集中力和集中力偶。
微段梁在上述各力作用下处于平衡。
根据平衡条件?
Fy?
0,得
FQ(x)?
[FQ(x)?
dFQ(x)]?
q(x)dx?
0
dFQ(x)
由此导出dx?
q(x)(8-1)
M?
0设坐标为x?
dx截面与梁轴线交点为C,由?
C,得
略去二阶微量M(x)?
dM(x)?
M(x)?
FQ(x)dx?
q(x)dxdx?
02q(x)dxdx2,可得
dM(x)?
FQ(x)dx(8-2)
将式(8-2)对x求一阶导数,并利用式(8-1),得
d2M(x)?
q(x)2dx(8-3)
F(x)M(x)之间的微分关系。
公式(8-1)~(8-3)就是载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩
它表示:
(1)横截面的剪力对x的一阶导数,等于梁在该截面的载荷集度,即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。
(2)横截面的弯矩对x的一阶导数,等于该截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。
(3)横截面的弯矩对x的二阶导数,等于梁在该截面的载荷集度q(x)。
由此表明弯矩图
d2M(x)?
q(x)2q(x)q(x)dx的变化形式与载荷集度的正负值有关。
若方向向下(负值),即<
0,弯矩图为向上凸曲线;反之,q(x)方向向上(正值),则弯矩图为向下凸曲线。
根据微分关系,还可以看出剪力和弯矩有以下规律:
dFQ(x)?
q(x)?
0F(x)?
q(x)?
0dx
(1)梁的某一段内无载荷作用,即,由可知,Q常量。
dM(x)?
FQ(x)?
0FQ(x)?
0M(x)?
常量,x若,剪力图为沿轴的直线,并由dx可知,
弯矩图为平行于x轴的直线。
FQ(x)x若等于常数,剪力图为平行于轴的直线,弯矩图为向上或向下倾斜的直线。
F(x)
(2)梁的某一段内有均布载荷作用,即q(x)等于常数,则剪力Q是x的一次函数,
M(x)是x的二次函数。
剪力图为斜直线;若q(x)为正值,斜线向上倾斜;若q(x)负弯矩
d2M(x)?
q(x)2q(x)dx值,斜线向下倾斜。
弯矩图为二次抛物线,当为正值,即>0时,弯矩
d2M(x)?
q(x)2q(x)图为下凸曲线;当为负值,即dx<0时,弯矩图为上凸曲线。
(3)在集中力偶作用处,剪力图发生突变,突变的绝对值等于该集中力的数值。
此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。
(4)在集中力偶作用处,剪力图不受影响,而弯矩图发生突变,突变的绝对值等于该集中力偶的数值。
(3)根据上表,由左至右逐段画出剪力图,如图8-16(b)所示;画出弯矩图,如图8-17(c)
F?
3kNMmax?
3kN?
m所示,可见Qmax,。
例8-7外伸梁及其所受载荷如图8-17(a)所示,试作梁的剪力图和弯矩图。
图8-17
解按照前述使用的方法作剪力图和弯矩图时,应分段列出剪力方程及弯矩方程,然后按方程作图。
现利用本节所得结论,可以不列方程而直接作图。
(1)求支反力由?
MA(F)?
0和?
MB(F)?
0可求得
FA?
7kN,FB?
5kN
(2)分段沿集中力作用线、均布载荷的始末端以及集中力偶所在位置进行分段。
现将AE梁分为AC、CD、DB、BE四段。
(3)作剪力图
AC段在支反力FA的右侧梁截面上,剪力为7kN。
截面A到截面C之间的载荷为均
F布载荷,即qAC?
常数。
剪力图为斜直线。
算出集中力F1左侧梁截面上剪力QC左
FQC左?
FA?
q?
AC?
(7?
4?
1)kN?
3kN
即可确定这条斜直线,见图8-17(b)。
CD段截面C处有一集中力F1,剪力图发生突变,变化的数值等于F1。
故
FQC右?
FQC左?
F1?
(3?
2)kN?
1kN
从C到D剪力图又为斜直线,知
FQD左?
FQD右?
FQC右?
q?
CD?
(1?
4?
1)kN?
?
3kN
DB段截面D与截面B之间梁上无载荷,剪力图为水平线。
BE段截面B与截面E之间剪力图也为水平线,算出截面B右侧截面上的2kN,即可画出这一水平线。
(4)作弯矩图
AC段截面A上弯矩为零。
从A到C梁上为均布载荷,且均布载荷向下,则弯矩图为上凸的抛物线。
算出截面C的弯矩为FQB右?
已知A点、C点弯矩以及抛物线为上凸,即可大致画出AC段的弯矩图。
CD段由受力特性可知,从C到D弯矩图为上凸的另一抛物线。
截面C的剪力突变,11MC?
FA?
AC?
q?
AC?
AC?
(7?
4?
?
1?
4?
4)kN?
m?
20kN?
m22
故弯矩图在C点斜率也突变。
在截面F上的剪力等于零,故F点为弯矩的极值点。
由CD段的剪力方程可计算出F至梁左端距离为5m,故可求出截面F上弯矩的极值为
11MF?
FA?
AF?
F1?
CF?
q?
AF?
AF?
(7?
5?
2?
1?
?
1?
5?
5)kN?
m?
20.5kN?
m22
M在集中力偶M0左侧截面上弯矩D左为
11MD左?
FA?
AD?
F1?
CD?
q?
AD?
AD?
(7?
8?
2?
4?
?
1?
8?
8)kN?
m?
16kN?
m22
CCFD左D已知、及等三个截面上的弯矩,即可连成到之间的抛物线。
DB段和BE段截面D上有一集中力偶,弯矩图突变,而且变化的数值等于M0?
10kN?
m。
所以在D右侧截面上MD右为
MD右?
MD左?
M0?
(16?
10)kN?
m?
6kN?
m
B截面上的弯矩MB为
MB?
?
F2?
BE?
?
2?
3kN?
m?
?
6kN?
m
M由于DB段的剪力图为水平直线,于是由D右和MB就确定了这条直线。
B到E之间弯
矩图也是斜直线,由于ME?
0,故可画出图示斜直线。
FQ?
7kNmax从所得的剪力图(图8-17b)和弯矩图(图8-17c)上,不难确定最大剪力,
Mmax?
20.5kN?
m最大弯矩。
F?
0Mmax要注意的是:
不但可能发生在Q的截面上,也有可能发生在集中力或集中
力偶作用处。
所以求弯矩的最大值
Mmax时,应综合考虑上述几种可能性。
先假设M求为某一方向,(一般我是假设为逆时针,书上好像是把逆时针方向规定为正方向),然后对该分离体(或研究对象)列弯矩平衡方程(当然必须是在分离体弯矩平衡情况下):
M总=0。
即MA+MB+MC+M求=0。
(注意对于MA、MB、MC,如果是逆时针的取正值,顺时针取负值。
),此时如果球出的M求为正值,则它就是逆时针的,如果是负值,那它的方向与假设方向是相反的,是顺时针。
也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加,把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加(其实跟上面是一样的,也是得假设M求为某一方向)列平衡方程。
那还不简单,不同X对应不同的弯矩了,要看X等于多少了。
不知道你的是不是结构构件上的弯矩,结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正,反之为负。
我不知道你的原题是什么样的,X表示的是什么。
如果X表示的是位置坐标,那么M求=AX2+BX+C表示的是构件上的弯矩分布函数,不同位置对应不同的弯矩,也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负,凡是求出是正值的就与假设方向或默认方向相同,反之相反。
如果X表示的是某个构件的长度,也是一样判方法。
还有一个可能是你所算的是一种动态情况,就是某个东西在动,导致弯矩是个变量,也是一样的。
总之一句话,要看X值的情况。
最好把原题放上来,这样更有针对性。
你的应该是结构力学方面的,结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正,反之为负。
所以假设时应假设成如图方向。
弯矩图都是画在受拉一侧的,所以凡是出现正值的区域就把弯矩图画在上面,出现负值的就画在下面,过度地带就是为0的地方。
强调一下,假设没有什么对或错的,M求>0对应的X处弯矩跟假设的方向就是相同的,正的,M求<0对应的X范围处弯矩方向就是跟假设相反,无论假设方向怎么样求出的弯矩都是一样的。
、
一般规定梁的哪侧纤维受拉就画在哪侧的
一般规定下侧受拉为正弯矩。
建筑力学中弯矩剪力图方向
悬赏分:
30-解决时间:
2010-2-211:
27
我不知道画上边还是下边左边还是右边,希望举个简支梁的例子详细说明说的明了给加分
你把梁想象成柔性的,梁的变形和图像要一致!
即往哪儿变形画那边!
!
!
比如,简支梁上面作用一集中力,画下面。
如果作用一力偶,1,力偶顺时针时,左边上,右边下;2力偶逆时针时,相反。
如果作用均布力,也画下面。
(如图)
1.剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度
2.弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。
。
3.弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。
根据上述微分关系,由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。
例如:
1.若某段梁上无分布载荷,即
轴的直线;而弯矩
2.若某段梁上的分布载荷
力图为斜直线;而
当(为为,则该段梁的剪力为常量,剪力图为平行于的一次函数,弯矩图为斜直线。
(常量),则该段梁的剪力为的一次函数,剪坐标中,的二次函数,弯矩图为抛物线。
在本书规定的(向上)时,弯矩图为向下凸的曲线;当向下)时,弯矩图为向上凸的曲线。
3.若某截面的剪力,根据,该截面的弯矩为极值。
利用以上各点,除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外,还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图,而不必再建立剪力方程和弯矩方程,其步骤如下:
1.求支座反力;
2.分段确定剪力图和弯矩图的形状;
3.求控制截面内力,根据微分关系绘剪力图和弯矩图;
4.确定
和
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