带电粒子在磁场中的运动1114184143.docx
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带电粒子在磁场中的运动1114184143
带电粒子在磁场中的运动
1.(2013烟·台模拟)如图1所示,M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板,相
距为d,其右侧有一边长为2a的正三角形区域,区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,在极
板M、N之间加上电压U后,M板电势高于N板电势。
现有一带正电的粒子,质量为m,
电荷量为q,其重力和初速度均忽略不计,粒子从极板M的中央小孔s1处射入电容器,穿
过小孔s2后从距三角形A点3a的P处垂直AB方向进入磁场,试求:
图1
(1)粒子到达小孔s2时的速度和从小孔s1运动到s2所用的时间;
(2)若粒子从P点进入磁场后经时间t从AP间离开磁场,求粒子的运动半径和磁感应强
度的大小;
(3)若粒子能从AC间离开磁场,磁感应强度应满足什么条件。
解析:
(1)粒子在电场中运动时:
qU=1
2
mv
2
d=
1
2vt
解得:
v=
2qU
m
t=d
2m
qU
2
mv
(2)粒子从进入磁场到从AP间离开:
qvB=
R
πR
t=
v
甲
t
由以上两式解得:
R=
π
2qU
m
πm
B=
qt
(3)粒子从进入磁场到从BC边离开,如图甲所示,做圆周运
动的半径为
乙
R1=3a
2
mv
qvB1=
R1
联立解得B1=
6qUm
3qa
粒子进入磁场从AC边离开,由图乙可知
R2=(3a-R2)sin60°
2
mv
qvB2=
R2
联立解得B2=
2+32qUm
3qa
所以
6qUm
3qa
≤B≤
2+32qUm
3qa
答案:
(1)
2qU
m
d
2m
qU
t
(2)
π
2qU
m
πm
qt
(3)
6qUm
3qa
≤B≤
2+32qUm
3qa
2.(2013济·南模拟)如图2甲所示,带有小孔的平行极板A、B间存在匀强电场,电场
强度为E0,极板间距离为L。
其右侧有与A、B垂直的平行极板C、D,极板长度为L,C、
D板加不变的电压。
C、D板的右侧存在宽度为2L的有界匀强磁场,磁场边界与A、B板平
行。
现有一质量为m,带电量为e的电子(重力不计),从A板处由静止释放,经电场加速后
通过B板的小孔飞出;经C、D板间的电场偏转后恰能从磁场的左侧边界M点进入磁场区
域,速度方向与边界夹角为60°,此时磁场开始周期性变化,如图乙所示(磁场从t=0时刻
开始变化,且以垂直于纸面向外为正方向),电子运动一段不少于
T
2
的时间后从右侧边界上的
N点飞出,飞出时速度方向与边界夹角为60°,M、N连线与磁场边界垂直。
求:
(1)电子在A、B间的运动时间;
(2)C、D间匀强电场的电场强度;
(3)写出磁感应强度B0、变化周期T的大小各应满足的表达式。
图2
eE0
解析:
(1)电子在A、B间直线加速,加速度a=
m
电子在A、B间的运动时间为t则L=
1
2
at
2
所以t=
2mL
eE0
(2)设电子从B板的小孔飞出时的速度为v0,则电子从平行极板
C、D间射出时沿电场方向的速度为vy=v0tan30°
eEL
又vy=
mv0
所以C、D间匀强电场的电场强度E=
23
3E
0
(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°(如图所示),在
磁场变化的半个周期内,粒子在MN方向上的位移等于R,粒子到达
N点而且速度符合要求的空间条件是:
MN=n·R=2L
mv
电子在磁场做圆周运动的轨道半径R=
B0e
电子进入磁场时的速度v=v
=
230
0
cos30°
3v
得B0=n
2mE0
3eL
(n=1,2,3⋯⋯)
2πm
电子在磁场中做圆周运动的周期T0=
B0e
磁场变化周期T与T0间应满足的关系是
T
2
=
T0
6
π
得T=
n
2mL
3eE0
(n=1,2,3⋯⋯)
答案:
(1)2mL
eE0
(2)23
3
E0(3)B0=n
2mE0
3eL
(n=1,2,3⋯⋯)T=
π
n
2mL
3eE0
(n=
1,2,3⋯⋯)
3.(2013保·定模拟)如图3所示,在x≥0的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场,
磁感应强度的大小为B,方向垂直于纸面向里。
假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子
初速度为零,经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进入匀强磁场区域。
有一块厚度不
计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中,截面如图所示,M、N分别为金属板截面的上、
下端点,M点的坐标为(d,2d),N点的坐标为(d,d)。
不计正离子的重力。
(1)加速电场的电压在什么范围内,进入磁场的离子才能全部打在金属板上;
(2)求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值。
(sin37=°0.6,
cos37=°0.8)
图3
解析:
(1)设加速电压为U,正离子初速度为零,经过加速电场加速,根据动能定理得:
qU=
1
2
mv
2
正离子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力:
2
v
qvB=m
R
R=
2mqU
qB
当加速电压较小时,离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小,当离子恰好打到金属板
下端点N点时,圆周运动的半径最小为Rmin,如图甲所示。
根据几何知识可以判断:
Rmin=d
故Umin=
2d2
qB
2m
当加速电压较大时,离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大,当离子恰好打到金属板
上端点M点时,圆周运动的半径最大为Rmax,如图乙所示。
2=d2+(2d-R2根据几何知识可以判断:
Rmax
max)
解得:
Rmax=
5
4
d
22
25qBd
故Umax=
32m
故离子能全部打在金属板上,加速电压的取值范围为:
2d2
qB
≤U≤
2m
2d2
25qB
32m
(2)设离子在磁场中做匀速圆周运动周期为T,根据圆周运动规律得:
T=
2
2πRv
与qvB=m联立得:
T=
vR
2πm
qB
即离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关。
离子在图甲所示的轨迹中运动时间最短:
1
tmin=T
4
离子在图乙所示的轨迹中运动时间最长:
tmax=
90°+θ
360°
T
根据几何知识:
cosθ=
d4
=
Rmax5
则:
θ=37°
所以
tmin90
=
tmax127
2d2
qB
答案:
(1)≤U≤
2m
2d2
25qB
32m
90
(2)
127
4.(2013惠·州模拟)如图4甲所示,建立Oxy坐标系。
两平行极板P、Q垂直于y轴且
关于x轴对称,极板长度和板间距均为l。
在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场,
方向垂直于Oxy平面向里。
位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+
q、速度相同、重力不计的带电粒子。
在0~3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑
极板边缘的影响)。
已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。
上述m、q、l、t0、B为已知量。
(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压U0的大小。
1
(2)求
2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场做圆周运动的半径。
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短?
求此最短时间。
图4
解析:
(1)t=0时刻进入两板间的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动,t0时刻刚好从极
板边缘射出,在y轴负方向偏移的距离为
1
2
l,则有
U0
l
E=
①
qE=ma②
1
2
l=
1
2
2③
at0
联立①②③式,解得两板间偏转电压为
2
ml
U0=
2④
qt0
11
(2)2t0时刻进入两板间的带电粒子,前
2t0时间在电场中偏转,后
1
2t
0时间两板间没有电场,
带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为
v0=
l
t0
⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为
1
vy=a·
t0⑥
2
带电粒子离开电场时的速度大小为
22
+vy
v=v0
⑦
2
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R,则有qvB=mv
⑧
R
联立③⑤⑥⑦⑧式解得
5ml
R=
2qBt0
⑨
(3)2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中运动时间最短。
带电粒子离开电场时沿y轴
正方向的分速度为
vy′=at0⑩
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α,则
v0
tanα=
vy′
?
联立③⑤⑩?
式解得
α=
π
4
带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示,圆弧所对的圆心角2α
π
=
,所求最短时间为tmin=
2
1
4T?
带电粒子在磁场中运动的周期为
T=
2πm
qB
?
联立?
?
式得
πm
tmin=
2qB
?
2
ml5ml
答案:
(1)
2
(2)
qt02qBt0
(3)2t0
πm
2qB
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- 带电 粒子 磁场 中的 运动 1114184143