高中数学知识精要 16解析几何圆锥曲线教案 新人教A版.docx
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高中数学知识精要16解析几何圆锥曲线教案新人教A版
2019-2020年高中数学知识精要16.解析几何-圆锥曲线教案新人教A版
1.圆锥曲线的定义:
(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;
双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。
若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中,定点和定直线是焦点和准线,要注意定点不在定直线上,否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.
如
已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A.
B.
C.
D.(答:
C);
方程
表示的曲线是_____(答:
双曲线的左支)
(2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系,要善于运用定义对它们进行相互转化。
如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:
2)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:
焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。
方程表示椭圆的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
如
(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为____(答:
);
(2)若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:
)
(2)双曲线:
焦点在轴上:
=1,焦点在轴上:
=1()。
方程表示双曲线的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B异号)。
如
(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:
);
(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______(答:
)
(3)抛物线:
开口向右时,
开口向左时,
开口向上时,
开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
)
(2)双曲线:
由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:
(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;
(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):
①范围:
;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
如
(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:
3或);
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:
)
(2)双曲线(以()为例):
①范围:
或;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:
。
如
(1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:
或);
(2)双曲线的离心率为,则=(答:
4或);(3)设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答:
);
(3)抛物线(以为例):
①范围:
;②焦点:
一个焦点,其中的几何意义是:
焦点到准线的距离;③对称性:
一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:
一条准线;⑤离心率:
,抛物线。
如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:
);
5、点和椭圆()的关系:
(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
如
(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:
(-,-1));
(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:
[1,5)∪(5,+∞));
(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:
3);
(2)相切:
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
特别提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如
(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有______(答:
2);
(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:
);
(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有____条(答:
3);
(4)对于抛物线C:
,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:
与抛物线C的位置关系是_______(答:
相离);
(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_______(答:
1);
(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于)(答:
等于);
(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答:
);
(8)直线与双曲线交于、两点。
①当为何值时,、分别在双曲线的两支上?
②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?
(答:
①;②);
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:
利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。
如
(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
);
(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;
(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:
);(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:
);
(5)抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:
2);
(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,则点M的坐标为_______(答:
);
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中,①=,且当即为短轴端点时,最大为=;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:
①;②
。
如
(1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:
6);
(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:
);(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当
·
<0时,点P的横坐标的取值范围是(答:
);(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则=__________(答:
);(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程(答:
);
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
如
(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:
8);
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:
3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
如
(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:
);
(2)已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:
x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:
);(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:
);
特别提醒:
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
12.你了解下列结论吗?
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:
)
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;②
(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
13.动点轨迹方程:
(1)求轨迹方程的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:
直接利用条件建立之间的关系;如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
或);
②待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:
);
③定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如
(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为(答:
);
(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______(答:
);(3)一动圆与两圆⊙M:
和⊙N:
都外切,则动圆圆心的轨迹为(答:
双曲线的一支);
④代入转移法:
动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:
);
⑤参数法:
当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
如
(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点,使,求点的轨迹。
(答:
);
(2)若点在圆上运动,则点的轨迹方程是____(答:
);(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:
);
注意:
①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(1)设为点P的横坐标,证明;
(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:
在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.(答:
(1)略;
(2);(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF2=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量或;
(2)给出与相交,等于已知过的中点;
(3)给出,等于已知是的中点;
(4)给出,等于已知与的中点三点共线;
(5)给出以下情形之一:
①;②存在实数;③若存在实数
等于已知三点共线.
(6)给出,等于已知是的定比分点,为定比,即
(7)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,
(8)给出
等于已知是的平分线/
(9)在平行四边形中,给出
,等于已知是菱形;
(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)在中,给出
,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在中,给出等于已知通过的内心;
(15)在中,给出
等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16)在中,给出,等于已知是中边的中线;
2019-2020年高中数学知识精要17.立体几何教案新人教A版
1.三个公理和三条推论:
(1)公理1:
一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
(2)公理2:
经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论1:
经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3:
经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理2和三个推论是确定平面的依据。
(3)公理3、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。
如
(1)在空间四点中,三点共线是四点共面的_____条件(答:
充分非必要);
(2)给出命题:
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则lα;②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;③若lα ,A∈l,则Aα ④若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与β重合。
上述命题中,真命题是_____(答:
①②④);(3)长方体中ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,BC=6,在线段BD,A1C1上各有一点P、Q,在PQ上有一点M,且PM=MQ,则M点的轨迹图形的面积为_______(答:
24)
2.直观图与三视图
(1)直观图的画法(斜二侧画法规则):
在画直观图时,要注意:
使,所确定的平面表示水平平面。
已知图形中平行于轴和轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不变,平行于轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半。
如
(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来图形的形状是( )(答:
A)
(2)已知正的边长为,那么的平面直观图的面积为_____(答:
)
(2)三视图画法规则
高平齐:
主视图与左视图的高要保持平齐
长对正:
主视图与俯视图的长应对正
宽相等:
俯视图与左视图的宽度应相等
3.空间直线的位置关系:
(1)相交直线――有且只有一个公共点。
(2)平行直线――在同一平面内,没有公共点。
(3)异面直线――不在同一平面内,也没有公共点。
如
(1)空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的中点,则直线EG和FH的位置关系_____(答:
相交);
(2)给出下列四个命题:
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;②两异面直线,如果平行于平面,那么不平行平面;③两异面直线,如果平面,那么不垂直于平面;④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。
其中正确的命题是_____(答:
①③)
4.判定线线平行的方法:
(1)公理4:
平行于同一直线的两直线互相平行;(找一线和这两线都平行)
(2)线面平行的性质:
如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;
(3)面面平行的性质:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;
(4)线面垂直的性质:
如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
(5)利用中位线的性质;
5.两直线垂直的判定:
转化为证线面垂直;
相交垂直可以考虑勾股定理.
6.直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内;
(2)直线与平面相交。
其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
注意:
任一条直线并不等同于无数条直线;(3)直线与平面平行。
其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
如
(1)下列命题中,正确的是
A、若直线平行于平面内的一条直线b,则//
B、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影,则⊥b
C、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线,则与b是异面直线
D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥(答:
D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是___________(答:
线段B1C)。
7.直线与平面平行的判定和性质:
(1)判定:
①判定定理:
如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行
;
(在平面内找一条直线与已知直线平行:
找一平面过已知直线与已知平面相交,则交线就是)
②面面平行的性质:
若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
(找一平面过已知直线与已知平面平行)
另外,如下方法有时也用:
α、β表示平面,a、b表示直线
①(定义法):
通常反证
②
.
(2)性质:
如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。
在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质。
如
(1)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分不必要条件是
A、α⊥β,a⊥β B、α∩β=b,且a∥b
C、a∥b且b∥α D、α∥β且aβ(答:
D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:
MN∥面AA1B1B。
8.直线和平面垂直的判定和性质:
(1)判定:
①判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。
③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
(2)性质:
①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
如
(1)如果命题“若∥z,则”不成立,那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____(答:
x、y是直线,z是平面);
(2)已知a,b,c是直线,α、β是平面,下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b,a⊥c其中bα,cα B、a⊥b,b∥α C、α⊥β,a∥β D、a∥b,b⊥α(答:
D);
(3)AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证:
BD⊥平面AEF。
9.平面与平面的位置关系:
(1)平行――没有公共点;
(2)相交――有一条公共直线。
10.两个平面平行的判定和性质:
(1)判定:
①判定定理:
一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。
一面内找两相交直线与另一平面平行(线面面面).
②依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.
③利用面面平行传递性依定义
④采用反证法证明两平面没有公共点.
(2)性质:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
如
(1)是两个不重合的平面,在下列条件中,不能判定平面的条件是
A、是内一个三角形的两条边,且
B、内有不共线的三点到的距离都相等
C、都垂直于同一条直线
D、是两条异面直线,,且(答:
B);
(2)给出以下六个命题:
①垂直于同一直线的两个平面平行;②平行于同一直线的两个平面平行;③平行于同一平面的两个平面平行;④与同一直线成等角的两个平面平行;⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行;⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行。
其中正确的序号是___________(答:
①③⑤);
(3)正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=。
①求证:
平面AD1B1∥平面C1DB;②求证:
A1C⊥平
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