追及与相遇问题知识详解及典型例题.docx
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追及与相遇问题知识详解及典型例题
追及与相遇问题知识详解及典型例题(精品)
知识要点
追及和相遇问题要紧涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系,所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。
追及、相遇问题常常涉及到临界问题,分析临界状态,找出临界条件是解决这种问题的关键。
速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。
在两物体沿同一直线上的追及、相遇或幸免碰撞问题中关键的条件是:
两物体可否同时抵达空间某位置。
因此应别离对两物体研究,列出位移方程,然后利历时刻关系、速度关系、位移关系解出。
解答追及、相遇问题时要专门注意明确两物体的位移关系、时刻关系、速度关系,这些关系是咱们依照有关运动学公式列方程的依据。
1.追及
追和被追的二者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。
如匀减速运动的物体追从不同地址动身同向的匀速运动的物体时,假设二者速度相等了,尚未追上,那么永久追不上,现在二者间有最小距离。
假设二者相遇时(追上了),追者速度等于被追者的速度,那么恰能追上,也是二者幸免碰撞的临界条件;假设二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度,那么被追者还有一次追上追者的机遇,其间速度相等时二者的距离有一个较大值。
再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地址动身同向匀速运动的物体时,当二者速度相等时二者有最大距离,位移相等即追上。
“追上”的要紧条件是两个物体在追赶进程中处在同一名置,常见的情形有三种:
一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时,必然能追上,在追上之前二者有最大距离的条件是两物体速度相等,即v甲=v乙;二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时,存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件:
两物体速度相等,即v甲>v乙,此临界条件给出了一个判定此种追赶情形可否追上的方式,即可通过比较两物体处在同一名置时的速度大小来分析,具体方式是:
假定在追赶进程中二者能处在同一名置,比较现在的速度大小,假设v甲>v乙,那么能追上去,假设v甲<v乙,那么追不上,若是始终追不上,当两物体速度相等时,两物体的间距最小;三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时,情形跟第二种相类似。
两物体恰能“相遇”的临界条件:
两物体处在同一名置时,两物体的速度恰好相同。
2.相遇
同向运动的两物体追及即相遇,分析同1。
相向运动的物体,当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
三.解题方式指导:
1.解“追及”“相遇”问题的思路:
解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方式,即数学方式和物理方式求解进程中能够有不同的思路,例如考虑图象法等等。
解题的大体思路是:
①依照对两物体运动进程的分析,画出物体的运动示用意;②依照两物体的运动性质,别离列出两个物体的位移方程。
注意要将两物体运动时刻的关系反映在方程中。
③由运动示用意找出两物体位移间关联方程。
④联立方程求解。
运动物体的追赶、相遇问题,一样解法较多:
解析法、图象法、极值法等。
应适本地做些一题多解的练习,以开启思路,培育发散思维的能力。
但平常训练仍应以物理意义突出的解析法为主。
通过适当的练习后,总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方式,专门是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题,应在试探的基础上总结出临界状态的特点,找出临界条件。
2.分析“追及”“相遇”问题应注意:
①分析“追及”“相遇”问题时,必然要抓住一个条件,两个关系:
一个条件是两物体的速度知足的临界条件,如“两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等”。
两个关系是时刻关系和位移关系。
其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的冲破口,也是解题经常使用方式。
因此,在学习中必然要养成画草图分析问题的良好适应,对帮忙咱们明白得题意,启发思维大有裨益。
养成依照题意画出物体运动示用意的适应。
专门对较复杂的运动,画出草图可使运动进程直观,物理图景清楚,便于分析研究。
②分析研究对象的运动进程,弄清整个运动进程按运动性质的转换可分为哪几个运动时期,各个时期遵循什么规律,各个时期间存在什么联系。
专门是,假设被追赶的物体做匀减速运动,必然要注意追上前该物体是不是停止运动。
③认真审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐合条件,如“恰好”、“刚巧”、“最多”、“至少”等。
往往对应一个临界状态,由此找出知足相应的临界条件。
还要注意:
由于公式较多,且公式间有彼此联系,因此,题目常可一题多解。
解题时要思路开阔,联想比较,挑选最简捷的解题方案。
解题时除采纳常规的公式解析法外,图象法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动)等也是解题中经常使用的方式。
【典型例题】
[例1]火车以速度v1向前行驶。
司机突然发觉,在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动,于是他当即便车作匀减速运动,加速度大小为a,要使两车不致相撞,那么a应知足的关系式为_____________________。
分析:
司机使火车作匀减速运动,当后面的火车与前方火车时的速度相等时,两车再也不能接近了,也确实是后面的火车与前面火车的速度相等时,后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时,两车才不致相撞,此题解法中有四种。
解法一:
当两车速度相等时,两车没有相撞,以后再也可不能相撞,前车减速的时刻为t,那么
解法二:
以前车为参照系,后车的速度为
,当后车的速度减为零时,其位移小于s,两车可不能相撞,即
解法三:
作出两车运动的速度—时刻图像如下图,由图像可知:
在两图像相交前与时刻轴所围面积之差(即图中阴影部份)小于s时,两车可不能相撞。
即
解法四:
后车的位移为
,前车的位移为
,要使两车不相撞,即
说明此二次函数无解,即
以上四种解法中,以第二种解法最简捷。
[例2]甲、乙两车相距s,同时同向运动,乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动,甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动,试讨论两车在运动进程中相遇次数与加速度的关系。
解析:
由于两车同时同向运动,故有v甲=v0+a2t,v乙=a1t
①当a1
③当a1>a2时,a1t>a2t,v甲和v乙的大小关系会随着运动时刻的增加而发生转变,刚开始,a1t和a2t相差不大且甲有初速v0,因此,v甲>v乙,随着时刻的推移,a1t和a2t相差愈来愈大;当alt—a2t=v0时,v甲=v乙,接下来a1t—a2t>v0,那么有v甲 解法一: 由于x甲=v0t+ a2t2,x乙= a1t2, 相遇时有x甲—x乙=x, 那么: v0t+ a2t2- a1t2=x, (a1—a2)t2—v0t+x=0 因此t= ① ①当a1 ②当a1=a2时,x甲—x乙=v0t十 a2t2— a1t2=v0t=x, 因此t= ,t只有一个解,那么相遇一次。 ③当a1>a2时,假设 <2(a1—a2)x,①式无解,即不相遇, 若 =2(a1—a2)x,①式t只有一个解,即相遇一次。 若 >2(a1—a2)x,①式t有两个正解,即相遇两次。 解法二: 利用v—t图象求解, ①当a1 的I和Ⅱ,其中划斜线部份的面积表示t时刻内甲车比乙车多发生的位移,假设此面积为S,那么t时刻甲车追上乙车而相遇,以后在相等时刻内甲车发生的位移都比乙车多,因此只能相遇一次。 ②当a1 ③当a1=a2时,甲、乙两车的运动图线别离为如上右图中的I和Ⅱ,其中划实斜线部份的面积表示甲车比乙车多发生的位移。 假设划实斜线部份面积小于S,那么不能相遇;假设划实斜线部份面积等于S,说明甲车刚追上乙车又被反超,那么相遇一次;假设划实斜线部份的面积大于s,如图中0─t1内划实斜线部份的面积为S,说明t1时刻甲车追上乙车,以后在t1 —t时刻内,甲车超前乙车的位移为t1─t时刻内划实斜线部份的面积,随后在t─t2时刻内,乙车比甲车多发生划虚线部份的面积,若是二者相等,那么t2时刻乙车反超甲车,故两车前后相遇两次。 【模拟试题】 1.甲、乙两物体由同一名置动身沿同一直线运动,其速度图象由图所示,以下说法正确的选项是( ) A.甲做匀速直线运动,乙做匀变速直线运动 B.两物体两次相遇的时刻别离为2s末和6s末 C.乙在前4s内的平均速度等于甲的速度 D.2s后甲、乙两物体的速度方向相反 2.在足够长的平直公路上,一辆汽车以加速度a启动时,有一辆匀速前进的自行车以速度v0从隔壁通过,那么以下说法正确的选项是( ) A.汽车追不上自行车,因为汽车启动时速度小 B.以汽车为参考系,自行车时向前匀速运动的 C.汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的,直到两车速度相等,然后距离减小,直到两车相遇 D.汽车追上自行车的时刻是 3.甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时通过某一个路标,从此开始甲车一直匀速运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们通过下一个路标时速度又相等,那么( ) A.甲车先通过下一个路标 B.乙车先通过下一个路标 C.丙车先通过下一个路标 D.条件不足,无法判定 4.两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为v0,假设前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车的加速度开始刹车。 已知前车在刹车进程中所行驶的距离为s,假设要保证两辆车在上述情形中不相撞,那么两车在匀速行驶时维持的距离至少应为( ) A.1s B.2s C.3s D.4s 5.汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以m/s2的加速度做匀加速运动,通过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8m/s的速度从A车隔壁驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,那么从绿灯亮时开始( ) A.A车在加速进程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇 6.同一直线上的A、B两质点,相距s,它们向同一方向沿直线运动(相遇时互不阻碍各自的运动),A做速度为v的匀速直线运动,B从现在刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动。 假设A在B前,二者可相遇______次,假设B在A前,二者最多可相遇______次。 7.从相距30km的甲、乙两站每隔15min同时以30km/h的速度向对方开出一辆汽车。 假设首班车为早晨5时发车,那么6时从甲站开出的汽车在途中会碰到 辆从乙站开出的汽车。 8.一矿井深125m,在井口每隔一段时刻落下一个小球,当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好抵达井底,那么: (1)相邻两个小球下落的时刻距离是 s; (2)这时第3个小球与第5个小球相距 (g取10m/s2) 9.如图,某时刻A、B两物体相距7m,A以4m/s的速度向右做匀速直线运动,现在B的速度为10m/s,方向向右,在摩擦力作用下以2m/s2的加速度做匀减速运动。 从该时刻经多长时刻A追上B? 10.一辆巡逻车最快能在10s内由静止加速到最大速度50m/s,并能维持那个速度匀速行驶,问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2000m处正以35m/s的速度匀速行驶的汽车,至少需要多长时刻? 11.A球自距地面高h处开始自由下落,同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛,空气阻力不计。 问: (1)要使两球在B球上升进程中相遇,那么v0应知足什么条件? (2)要使两球在B球下降进程中相遇,那么v0应知足什么条件? 12.已知自行车速度为6m/s作直线运动,汽车从同时同地以初速10m/s,加速度a=-s2直线运行,试求自行车追上汽车前,两车的最大距离。 13.摩托车以速度v1沿平直公路行驶,突然驾驶员发觉正前方s处,有一辆汽车正以v2 为了幸免发生碰撞,摩托车也同时减速。 求其加速度至少需要多少? 14.在某市区内,一辆汽车在平直的公路上以速度v向东匀速行驶,一名参观游客正由南向北从斑马线上横过马路,汽车司机发觉前方有危险(游客正在D处向北走),经s作出反映,从A点开始紧急刹车,但仍将正步行至B处的游客撞伤,该车最终在C处停下。 为了清楚了解事故现场,现以图示之: 为了判定汽车司机是不是超速行驶,并测出肇事汽车的速度v,警方派一车胎磨损情形与肇事汽车相当的车以法定最高速度vm=/s行驶在同一马路的同一地段,在肇事汽车的出事点B急刹车,恰好也在C点停下来,在事故现场测得AB=m、BC=、BD=m。 问: (1)该肇事汽车的初速度vA是多大? (2)游客横过马路的速度是多大? 15.如下图,长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球,筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下,大小为21N的恒力,使筒竖直向下运动,经t=时刻,小球恰好跃出筒口。 求: 小球的质量。 (g=10m/s2) 16.如下图,起落机以匀加速度a上升,当上升速度为v时,有一螺帽自起落机天花板上松落,已知天花板距起落机底面为hm,求落至底面的时刻。 17.杂技演员把三只球依次竖直向上抛出,形成持续的循环,在循环中,他每抛出一球后,再过一段与刚抛出的球在手中停留时刻相等的时刻,又接到下一个球,如此,在总的循环进程中,便形成有时空中有3个球,有时空中有两个球,而演员手中那么有一半时刻内有球,有一半时刻内没有球。 设每一个球上升的高度为,取 ,求每一个球每次在手中停留的时刻是多少? 18.某起落机以s的速度匀速上升,机内一人自离起落机地板高处将一小球释放,球与底板间的碰撞无任何损失,那么第一次反弹的最高点比释放点高(或低)了多少? 19.将两小石块A、B同时竖直上抛,A上升的最大高度比B的高出35m,返回地面的时刻比B迟2s。 问: (1)A、B的初速度别离为多少? (2)A、B别离达到的高度最大值各为多少? ( ) 20.甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上,车速别离为6m/s、8m/s、9m/s。 当甲、乙、丙三车依次相距5m时,乙驾驶员发觉甲车开始以1m/s2的加速度做减速运动,于是乙也当即做减速运动,丙车亦一样处置。 如下图。 直到三车都停下来时均未发生撞车事故。 求丙车减速运动的加速度至少应为多大? 【试题答案】 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.1;2 7.7辆 8.;35m 9.8s 10.150s 11. (1)v0> (2) <v0< 解析: 两球相遇时位移之和等于h。 即: gt2+(v0t- gt2)=h 因此: t= 而B球上升的时刻: t1= ,B球在空中运动的总时刻: t2= (1)欲使两球在B球上升进程中相遇,那么有t<t1,即 < ,因此v0> (2)欲使两球在B球下降进程中相遇,那么有: t1<t<t2 即 < < 因此: <v0< 12.解析: 画出两车v—t图象如下图,可知,在自行车追上汽车前,二者速度相同时,相距最大,为阴影三角形面积。 且由图可知,t=16s时,自行车追上汽车。 13.解: (1)如图(甲)所示,其相对位移为 即 (甲) (2)如图(乙)所示,当两车间距较小,即 时,两车不发生碰撞的条件是,其相对速度为0,即二者有一起速度 。 因为 ,因此 , 由此可得摩托车的加速度为 (3)如图(丙)所示,两车间距较大,即 ,汽车通过时刻 先停下,摩托车经时刻 后停下,这种情形下两车不发生碰撞的条件为 。 有 这时摩托车的加速度为 14. (1)2lm/s (2)m/s 15.解: 筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动,且加速度大于重力加速度;而小球那么是在筒内做自由落体运动,小球跃出筒口时,筒的位移比小球的位移多一个筒的长度。 设筒与小球的总质量为M,小球的质量为m,筒在重力及恒力的一起作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动,设加速度为a;小球做自由落体运动设在时刻t内,筒与小球的位移别离为h1、h2(球可视为质点),如下图。 由运动学公式得 又有: ,代入数据解得 又因为筒受到重力(M-m)g和向下作使劲F,据牛顿第二定律 得 16.解: 选起落机为参考系,螺帽受重力作用,相对加速度大小为g+a,竖直向下,相对运动可视为以g+a为加速度的自由落体,有 因此 为所求。 17.解: 设一个球每次在手中停留的时刻为 ,那么手中持续抛出两球之间的时刻距离为 ,而关于同一个球,它持续两次自手中抛出的时刻距离那么为 。 在这段时刻内,此球有 的时刻停留在手中,那么有 的时刻停留在空中,依照竖直上抛运动的规律得: 代入数值得: ∴球一次竖直上抛运动的时刻 ,那么它每次在手中停留时刻为。 18.解: 设从放球到球与底板相碰需要时刻t,放球时,球与底板的距离为h,起落机速度为 ,在此期间球下降距离 ,起落机上升距离为 ,如下图,因此有 代入数据得 解之得 (负根舍去) 这时球相关于地面的速度为 而球相关于底板的速度 由题意知,球与底板碰撞前后速度大小不变,即球被弹回时,球相关于底板的速度应为s。 由于起落机质量较小球大得多,因此碰撞对起落机速度不阻碍,仍为 向上,因此碰撞后小球相关于地面向上的速度 由此可知球第一次上升的高度为 因此第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为 19.解析: 设A、B初速度别离为 、 ,二者上升的最大高度别离为 、 ,A、B上升到最高点所经历的时刻依次为 、 。 在最高点, 有 将两式代入 得 , 由题意知 因此 20.解: 先研究两车行驶中的一种特殊临界状态,两车同时停下且恰好接触在一路。 那么 (1)假设 ,要使其同时停下那么必然相碰。 即是说 仍要增大, 按DC线所示规律转变,在D处时二者相距最近,如下图。 由题意知, 有 (1) (2)若是 ,那么 还可再小些,二者不同时停下,停止时相对位移为 ,如图中 线那样转变。 有 三式联立得 (2) 将题中数据代入可得 由 (1)式得 乙、丙两车间距 由 (2)式得 一道“追及和相遇问题”试题的试探和引申 A、B两列火车在同一轨道上同向行驶,A在前,速度为vA=10m/s,B在后,速度为vB=30m/s,因大雾能见度低,B车在距A车500m时,才发觉前方有A车,这时B车当即刹车,但要通过1800mB车才能停下,问: (1)车假设要仍按原速前进,两车是不是相撞? 试说明理由。 (2)B在刹车的同时发出信号,A车司机在收到信号后加速前进,A车加速度为多大时,才能幸免事故发生? (不计信号从A传到B的时刻) 第一问的解法如下: 解: 先求B车从刹车到停下来所需时刻tB 由sB= vB·tB得BAA’B’ tB= =2× s=120s 再求在相同的时刻内A车通过的位移sA sA=vA·tB=10×120m=1200m 最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判定结果 由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0<sB由位置关系图可知两车会相撞。 提问1: 通过上面的计算咱们明白两车能相撞,试问它们何时相撞? 解: 设B车刹车后通过时刻t两车相遇,依题意有sA+s0=sB 而sA=vA·t,sB=vB·t+ at2(其中a为B车刹车进程中的加速度,依照已知条件很易求出a=s2), 将sA、sB的表达式代入上式解得 t1=31s, t2=129s 提问2: 什么缘故有两个解? t2是不是成心义? 答: A、B两车相撞两次,第一次是B车追上A车,第二次是A车追上B车。 两车只能相撞一次,故t2没成心义。 提问3: B车追上A车时,哪车的速度大? 答: B车的速度大,因为B车从减速到和A车的速度相等所需的时刻为: t’= = s=80s,因为t’>t1,故B车的速度大。 提问4: 假设A、B两车相遇但可不能相撞,A车又追上B车时,B车的速度是多大? 从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时刻? 答: 由于B车刹车后通过120s后就停下来,故129s时它的速度仍为零。 由于B车停止后不能往后倒,故第二次相遇所需时刻为: t2’= = s=130s。 这是一个实际问题,要注意解的合理性。 提问5: 假设开始两车相距700m,试问两车是不是会相撞? 答: 由于sA+s0=1200+700m=1900m,而sB=1800m,即sA+s0>sB,故两车可不能相撞。 提问6: 假设用第二种方式,即设B刹车后通过时刻t两车相撞,方程是不是有解呢? 答: 由sA+s0=sB得 vA·t+s0=vB·t+ at2 即10t+700= 移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程的判别式为 △=1602-4×5600=3200>0, 故该方程有解,即相撞,而且有相遇两次的可能。 原先先是B超过A,后来A又超过B,咱们不能以为开始时A在B的前面,后来A仍在B的前面,就得出两车不相撞的结论。 由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。 提问7: 试问: 假设要使两车不相撞,开始时两车间的距离s0至少为多少? 解: 设两车通过时刻t后相撞,由位置关系易患出: vA·t+s0=vB·t+ at2 即10t+s0= 移项并整理得 t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞,即要使该方程无解,即△<0 即 1602-4×8s0<0 故s0>800m,即开始时两车间的距离至少为800m。 提问8: 假设两车恰好能相撞,相撞时两车的速度有何关系? 答: 应该恰好相等,刚开始时B车的速度比A车的速度大,两车之间的距离减小,当两车的速度达到相等时,距离最小,以后两车之间的距离将变大,假设速度相等时尚未相遇,那么两车可不能再相遇。 假设
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