人教版四年级数学下册第九单元数学广角鸡兔同笼.docx
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人教版四年级数学下册第九单元数学广角鸡兔同笼
第九单元数学广角──鸡兔同笼
教学内容
教材第103~107的内容。
教材分析
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。
其解法包括:
列表法、假设法、方程法。
由于本单元还没学习到方程法,因此,教材主要引导学生通过猜测、列表和假设等方法来逐步解决问题,培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。
其编排特点如下:
1.利用古题激发学习兴趣。
2.体现解决问题的策略和方法多样化。
3.拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识,明确其在生活中的应用。
教学目标
1.了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。
2.经历自主探究解决问题的过程,体验解决问题策略的多样化。
了解列表法、假设法等解决问题的方法,在解决问题的过程中培养逻辑推理能力,增强应用意识和实践能力。
教学建议
1.了解“鸡兔同笼”问题的本质,渗透化繁为简的数学思想。
2.引导学生探索解决问题的策略和方法,丰富解题策略。
单元课时安排
约2课时。
教案A
第1课时
教学内容
鸡兔同笼问题:
教材第103~104页例1。
教学目标
1.了解“鸡兔同笼”问题的结构特点,渗透化繁为简的思想,掌握用列表法、假设法解决问题,初步形成解决此类问题的一般性策略。
2.经历猜测的过程,尝试用列表、假设的方法解决“鸡兔同笼”问题,引导学生有序思考,使学生体会解题策略的多样性。
3.在解决问题的过程中,培养学生的迁移思维能力,感受古代数学问题的趣味性。
教学重点
渗透化繁为简的思想,体会用假设法的逻辑性和一般性。
教学难点
理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
教学过程
一、导入新课
师:
同学们,大约一千五百多年前,我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。
出示主题图:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
师:
这道题是以文言文的方式表述的,哪位同学看懂它的意思了?
生:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。
鸡和兔各有几只?
师:
从题中获取信息,你知道了什么,要求什么问题?
二、新课教学
1.尝试解决,交流想法。
既然“鸡兔同笼”问题能流传至今,就应该有它独特的思考方式和解题方法。
问题:
同学们想一想,算一算鸡和兔各有多少只?
2.感受化繁为简的必要性。
师:
大家在刚才猜了好几组数据,经过验证都不正确,为什么猜不对呢?
数据大了不好猜,我们应该怎么办?
我们把数字改小些,先从简单的问题入手。
(课件出示例1)“笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。
鸡和兔各有几只?
”
师:
从题中你们能获取哪些信息?
和生活常识联系在一起,你还能说出哪些信息?
预设:
生1:
鸡和兔共8只,鸡和兔共有26只脚。
生2:
鸡有2只脚,兔有4只脚。
3.猜想验证。
师:
有了这些信息,我们先来猜猜,笼子可能会有几只鸡?
几只兔?
猜测需要抓住哪个条件?
生:
鸡和兔一共有8只。
师:
每组都有一张表格,请大家来填一填,看看谁能又快又准确地找出答案来。
学生汇报。
小结:
这个方法挺好,能帮我们解决鸡兔同笼的问题,我们把这种方法叫做列表法。
(板书:
列表法)
师:
老师刚才发现,很多同学都完成得非常快,很了不起!
那么,同学们,你们觉得用列表法解决“鸡兔同笼”问题怎么样呢?
生1:
列表法能很清晰地解决这个问题。
生2:
因为数字比较简单,所以列表法还可以用,但是数字变大时,列表法就会比较麻烦,会浪费很多时间。
师:
说得非常好,那我们就来尝试研究一下更简洁的方法吧。
同学们再来观察自己刚才列的表格,看看这些数量之间是否存在着一些数学规律,请将你的想法跟同组的同学相互交流一下。
学生小组交流汇报。
生1:
鸡的数量每减少1只,兔的数量就增加1只,脚的数量也跟着增加2只。
生2:
兔的数量每减少1只,鸡的数量就增加1只,脚的数量反而减少2只。
4.数形结合理解假设法。
教师:
同学们的想法非常好,我们一起继续来看这张表格,通过分析表格来将同学们的想法表述得更加清晰。
(1)假设全是鸡。
教师:
我们先看表格中左起的第一列,8和0是什么意思?
学生:
就是有8只鸡和0只兔,也就是假设笼子里全是鸡。
教师:
那笼子里是不是全是鸡呢?
这也就是把什么当什么来算了?
学生:
不是,我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。
教师:
这样算会有什么结果呢?
学生:
每少算一只兔就会少算2只脚。
教师:
假设全是鸡,一共是16只脚。
实际有26只脚,这样笼子里就少了10只脚,这说明什么呢?
学生:
每只鸡比兔少2只脚,少了10只脚说明笼子里有5只兔。
教师:
你们能列出算式吗?
学生尝试列算式。
师以画图法进行演示:
8×2=16(只)。
(如果把兔全当成鸡,一共就有8×2=16只脚。
)
26-16=10(只)。
(把兔看成鸡来算,4只脚的兔当成2只脚的鸡算,每只兔就少算了2只脚,10只脚是少算的兔的脚数。
)
4-2=2(只)。
(假设全是鸡,就是把4只脚的兔当成2只脚的鸡。
所以4-2表示一只兔当成一只鸡,就要少算2只脚。
)
10÷2=5(只)兔。
(那把多少只兔当成鸡算,就会少10只脚呢?
就看10里面有几个2,也就是把几只兔当成了鸡来算,所以10÷2=5就是兔的只数。
)
8-5=3(只)鸡。
(用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数,8-5=3只鸡。
)
(2)假设全是兔。
师:
我们再回到表格中,看看右起第一列中的0和8是什么意思?
生:
就是有0只鸡和8只兔,也就是假设笼子里全是兔。
师:
笼子里是不是全是兔呢?
这个时候是把什么当什么算的?
生:
把里面的鸡当成兔来计算的。
师:
那把一只2只脚的鸡当成一只4只脚的兔来算,会有什么结果呢?
生:
就会多算2只脚。
师:
请同学们像老师那样画一画,算一算。
学生汇报:
8×4=32(只)。
(如果把鸡全看成兔,一共就有8×4=32只脚。
)
32-26=6(只)。
(把鸡当成兔来算,2只脚的鸡当成4只脚的兔算,每只鸡就多了2只脚,6只脚是多算了鸡的脚数。
)
4-2=2(只)。
(假设全是兔,就是把2只脚的鸡当成4只脚的兔。
所以4-2表示一只鸡当成一只兔,多算了2只脚。
)
6÷2=3(只)鸡。
(那要把多少只鸡当成兔来算,就会多算6只脚呢?
就看6里面有几个2,也就是把几只鸡当成了兔来算,所以6÷2=3就是现在鸡的只数了。
)
8-3=5(只)兔。
(用鸡兔的总只数减去鸡的只数就是兔的只数,8-3=5只兔。
)
(3)提出假设法概念。
刚才我们通过假设都是鸡或都是兔来解决例1的,所以把这种方法叫做假设法。
这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法,也是算术方法中较为普遍的一般方法。
(板书:
假设法)
5.小结:
现在你能从新总结一下这些方法的优势和适用范围吗?
数目比较小时,用列表法。
数目比较大时,列表法计算量大,就有局限性,比较麻烦,最好用假设法比较好。
用假设法时要特别注意:
如果假设是鸡而先求出的就是兔子,如果假设的是兔子那先求出的是鸡,两者相反。
6.课件出示:
* 古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的?
(1)假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起两只脚,还有26÷2=13只脚。
(2)这时每只鸡一只脚,每只兔子两只脚。
笼子里只要有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。
(3)这时脚的总数与头的总数之差13-8=5,就是兔子的只数。
三、知识运用
学生独立完成古代趣题。
方法展示:
1.列表法:
答:
鸡有23只,兔有12只。
2.假设法:
假设笼子里全都是鸡。
35×2=70(只)94-70=24(只)4-2=2(只)
兔:
24÷2=12(只)。
鸡:
35-12=23(只)
答:
鸡有23只,兔有12只。
假设笼子里全都是兔。
35×4=140(只)140-94=46(只)4-2=2(只)
鸡:
46÷2=23(只)
兔:
35-23=12(只)
答:
鸡有23只,兔有12只。
四、课堂小结
这节课我们一起用列表法和假设法研究了古代著名的“鸡兔同笼”问题。
你学会了吗?
第2课时
教学内容
龟鹤同游问题:
教材第105页“做一做”第1题。
教学目标
1.了解“龟鹤同游”问题,进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质,了解其在生活中的广泛应用。
2.通过“龟鹤同游”问题,巩固解决“鸡兔同笼”问题的方法,进而建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
教学重点
渗透化繁为简的思想,体会用假设法的逻辑性和一般性。
教学难点
理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理,建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
教学过程
一、导入新课
1.说一说,议一议。
(1)鸡兔共五只,腿有()条。
(2)笼子里有8只兔,有()个头,有()只脚。
(3)笼子里有5只鸡和4只兔,有()个头,有()只脚。
得出关系式:
鸡的数量×2+兔的数量×4=腿的数量。
足数×2-头数=兔数
头数-兔数=鸡数
质疑:
如果知道了腿的总数能知道鸡兔各几只吗?
2.师:
不但我国古代的数学著作《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼问题,日本人对鸡兔同笼问题也有研究,不过日本怕别的国家笑话他们学中国的东西,所以日本人就把“鸡兔同笼问题”改称为“龟鹤同游问题”。
有龟和鹤共40只,龟的腿和鹤的腿共有112条。
龟、鹤各有几只?
师:
日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗?
生:
是一样的意思:
龟就相当于兔,都是四只脚;鹤就相当于鸡,都是两只脚。
师:
抓住了本质的东西!
看来这里的鸡不仅仅代表鸡,这里的兔也不仅仅是指兔!
二、新课教学
师:
那这道“龟鹤同游”问题会解决?
学生试做后,交流算法。
方法一:
假设全是鹤。
4-2=2(假设全是鹤,是把4条腿的龟有当成两条腿的鹤。
所以4-2表示是一只龟当成一只鹤就要少算2条腿。
)
(112-40×2)÷2=24(只)鹤(那把多少只龟当成鹤算就会少48条腿呢?
就看48里面有几个2就是把几只龟当成了鹤来算,所以48÷2=24就是鹤的只数。
)
40-24=16(只)龟(用鹤龟的总只数减去龟的只数就是鹤的只数,40-24=16(只)龟。
师:
看来做对了,最后写上答语。
方法二:
假设全是龟。
则有40×4=160(条)腿,比实际多160-112=48(条)腿,每有一只鹤比一只龟少4-2=2(条)腿,所以有鹤48÷2=24(只),有龟40-24=16(只),答:
龟有16只,鹤有24只。
小结:
比较后得出:
“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。
古人法:
龟:
112÷2-40=16(只)
鹤:
40-16=24(只)
假设法:
龟:
(112-40×2)÷2=16(只)
鹤:
40-16=24(只)
三、应用反馈
这个信封里放的是5分和2分的硬币,共8枚,34分,你能算出信封里5分和2分的硬币各有多少枚吗?
师:
这道题你能用刚才学过的方法来解决吗?
1.学生尝试。
2.汇报假设法。
师:
可以用古人的方法吗?
为什么?
学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况,发现古人算法不好用了。
教师引导思考揭示:
古人算法只能用于2腿、4腿的“鸡兔问题”。
回应前面提示的:
古人的方法也是有局限的。
师:
这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗?
生:
其实这也是鸡兔同笼问题,这里的2分硬币的就相当于鸡有2只脚,而5元的硬币就相当于兔,这里的兔是五只脚的,我们把他叫做“怪兔”!
师:
你能把这个题目改成“鸡兔同笼”的数学问题吗?
(显示:
鸡有2脚,怪兔有5脚。
共8头,34脚。
鸡有多少只?
怪兔有多少只?
)
看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”不一定是2只脚的鸡和4只脚的兔,也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。
那些可以变成“怪鸡”和“怪兔”,能联系实际举个例子吗?
四、课堂小结
经
- 配套讲稿:
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