zdx三角形的证明培优.docx
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zdx三角形的证明培优
高效学习全人发展
三角形的证明(培优)
出题人:
张丹霞姓名:
题型一全等三角形
例1.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF.将这两张三角
形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
(1)当旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是;
(2)当△DEF继续旋转至如图③位置时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(3)在图③中,连接BO、AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系,并证明.
变式1:
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
1
高效学习全人发展
变式2:
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,点B、C、E
在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)求证:
DC⊥BE.
变式3:
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
2
高效学习全人发展
题型二等腰三角形的性质
例2.如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图1中,请你通过观察测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP
所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ,你
认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
变式1:
如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与
CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证:
BF=AC;
(2)求证:
CE=1BF;
2
(3)CE与BG的大小关系如何?
试证明你的结论.
3
高效学习全人发展
变式2:
已知:
如图①,在平面直角坐标xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x
轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P、Q分别
从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度
沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值
范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图②,现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C
点旋转(0°<旋转角<60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周
长是否发生变化?
若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
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高效学习全人发展
题型三等腰三角形的判定
例3.如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.
(1)求证:
CE=CF;
(2)将图①中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置,使点E'落在BC边上,其它条件不变,如图②所
示,试猜想:
BE'与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
变式1:
已知:
在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.
变式2:
如图1,在平面直角坐标系中,
O为坐标原点,直线l:
y=
1
A、
x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点
2
B,过点C(4,4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D,CD=10.
(1)求直线l的解析式;
(2)求证:
△ABC是等腰直角三角形;
(3)如图2,将直线l沿y轴负方向平移,当平移适当的距离时,直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′,
在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
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高效学习全人发展
题型四等边三角形
例4.
(1)
如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形
OAB和等边
三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求∠AEB的大小;
(2)
如图2,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕点O旋转(△OAB和△OCD
不能重叠),求∠AEB的大小.
变式1:
如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC
B不重合),连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段
上任意一点(点P与点
AQ,连接QE并延长交
射线BC于点F.
(1)如图2,当BP=BA时,∠EBF=,猜想∠QFC=;
(2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明;
(3)已知线段AB=23,设BP=x,点Q到射线BC的距离为y,求y关于x的函数关系式.
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高效学习全人发展
题型五直角三角形
例5.已知Rt
ABC中,ACB90o,AC
BC,
MCN
45o.
(1)如图○1
,当M、N在AB上时,求证:
MN2
AM2
BN2;
(2)如图○2,将MCN绕C点旋转,当M在BA的延长线上时,上述结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
CC
AMNBMANB
变式1:
如图,在Rt
ABC中,
A90o,D为斜边BC的中点,DE
DF,求证:
EF2
BE2
CF2
.
A
E
B
F
D
C
变式2:
如图,在Rt
ABC
中,
ACB
90o,CD
AB于D,设AC
b,BC
a,AB
c,CDh.
1
1
1
(2)ab
ch;
求证:
(1)
2
b
2
h
2;
a
(3)以a
b、h、c
h为边的三角形是直角三角形.
C
ADB
7
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