高三数学一轮复习导数导学案1.docx
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高三数学一轮复习导数导学案1
课题:
导数、导数的计算及其应用2课时
一、考点梳理:
1.导数、导数的计算
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=________
f(x)=sinx
f′(x)=________
f(x)=cosx
f′(x)=________
f(x)=ax
f′(x)=________
f(x)=ex
f′(x)=________
f(x)=logax
f′(x)=________
f(x)=lnx
f′(x)=________
(1).导数的概念:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=__________,称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或
.
(2).导函数:
记为f′(x)或y′.
(3).导数的几何意义:
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为______________.
(4).基本初等函数的导数公式
(5).导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=__________;
(2)[f(x)·g(x)]′=__________;(3)′=__________(g(x)≠0).
(6).复合函数的导数:
2.导数与函数的单调性及极值、最值
(1)导数和函数单调性的关系:
(1)对于函数y=f(x),如果在某区间上f′(x)>0,那么f(x)为该区间上的________;如果在某区间上f′(x)<0,那么f(x)为该区间上的________.
(2)若在(a,b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0,f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为____函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,⇔f(x)在(a,b)上为____函数.
(2)函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极值的方法:
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤:
①____________;②________________;③_________________________.
(3)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在(a,b)上的________;
(2)将函数y=f(x)的各极值与______________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
二、基础自测:
1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于( ).
A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx2
2.曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为( ).
A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(1,1)或(-1,-1)D.(1,-1)
3.(2012陕西高考)设函数f(x)=+lnx,则( ).
A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点
4.若函数y=a(x3-x)的递减区间为,则a的取值范围是( ).
A.a>0B.-1<a<0C.a>1D.0<a<1
5.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为__________.
6.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是__________.
三、考点突破:
考点一、根据导数的定义求函数的导数
【例1-1】已知f′
(2)=2,f
(2)=3,则+1的值为( )A.1B.2C.3D.4
【例1-2】用导数的定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数.
【变式】:
求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并求出其导函数.
考点二、利用求导公式、法则求导
[例2] 求下列函数的导数:
(1)y=(2x-3)2;
(2)y=tanx;(3)y=xex;(4)y=.(5)y=ln(2x+5).
【变式】求下列函数的导数:
(1)y=x2sinx;
(2)y=3xex-2x+e;
(2)y=;
考点三、导数的几何意义
【例3】已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为1的曲线的切线方程.
【变式】:
求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.
考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值
【例4】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;
【变式】(2009·浙江)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
【例5】若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
【变式】设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
【例6】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
【变式】 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.
四、课题巩固:
一、选择题:
1.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为( ).
A.2B.-1C.1D.-2
2.(2012辽宁高考)函数y=x2-lnx的单调递减区间为( ).
A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)
3.如图所示的曲线是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x+x等于( )
A.B.C.D.
4.已知f′(x)是f(x)的导函数,在区间[0,+∞)上f′(x)>0,且偶函数f(x)满足f(2x-1) A.B.C.D. 二、填空题: 5.函数f(x)=x-lnx的单调减区间为________. 6.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是________. 7.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是_____________. 8.若a>2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上有________个零点. 三、解答题 9.已知函数f(x)=xlnx. (1)求f(x)的极小值; (2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数. 10.设f(x)=,其中a为正实数. (1)当a=时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 11.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>1,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 课题: 导数、导数的计算及其应用2课时 参考答案 二、基础自测: 1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于( ). A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx2 2.曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为( ). A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(1,1)或(-1,-1)D.(1,-1) 3.(2012陕西高考)设函数f(x)=+lnx,则( ). A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 4.若函数y=a(x3-x)的递减区间为,则a的取值范围是( ). A.a>0B.-1<a<0C.a>1D.0<a<1 5.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为__________. 6.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是__________. 参考答案: 1.C 解析: ∵Δy=f(1+Δx)-f (1)=2(1+Δx)2-1-1=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx. 2.C 解析: y′=3x2,∴3x2=3.∴x=±1.当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1. 3.D 解析: 由f′(x)=-+==0可得x=2.当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点. 4.A 解析: ∵y′=a(3x2-1)=3a,∴当-<x<时,<0. ∴要使y′<0,必须取a>0. 5.4x-y-3=0 解析: 设切点为(x0,y0),y′=4x3,4x03=4,∴x0=1.∴y0=1.∴l的方程为4x-y-3=0. 6.3 解析: ∵f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,∴f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,而当x∈[1,+∞)时,(3x2)min=3×12=3.∴a≤3,故amax=3. 三、考点突破: 考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f′ (2)=2,f (2)=3,则+1的值为( ). A.1B.2C.3D.4 【例1-2】用导数的定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数. 【例1-1】C 解析: 令Δx=x-2,则+1=+1=f′ (2)+1=2+1=3. 【例1-2】解: Δy=f(1+Δx)-f (1)=-==.∴=-,∴==-.∴f′ (1)=-. 【变式】: 求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并求出其导函数. 解 ∵Δy=-==, ∴=.∴Δx→0时,→.∴y′=. 考点二、利用求导公式、法则求导 [例2] 求下列函数的导数: (1)y=(2x-3)2; (2)y=tanx;(3)y=xex;(4)y=.(5)y=ln(2x+5). 解: (1)y′=(4x2-12x+9)′=8x-12. (2)y′=′===. (3)y′=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1). (4)y′=′===. (5)设u=2x+5,则y=ln(2x+5)由y=lnu与u=2x+5复合而成.∴y′=y′u·u′x=·2==. 【变式】求下列函数的导数: (1)y=x2sinx; (2)y=3xex-2x+e; (2)y=; 考点三、导数的几何意义 【例3】已知曲线y=x3+. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为1的曲线的切线方程. 解: (1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率为: y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为: y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为: =x02.∴切线方程为y-=x02(x-x0),即y=x02·x-x03+.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0),则x02=1,x0=±1,切点为(-1,1)或,∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0. 【变式】: 求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程. 解: f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0=x-3x+2x0,k=f′(x0)=3x-6x0+2,①又k==x-3x0+2,②由①②得x0=,k=-.∴所求曲线的切线方程为y=-x.综上,曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程为y=2x或y=-x. 考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值 【例4】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围; 解: (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-<x<.∴函数f(x)的单调递增 区间是(-,). (2)∵函数f(x)在(-1,1)上单调递增,∴f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立.∵f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, ∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立.∵ex>0,∴-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)都成立,即x2-(a-2)x-a≤0对x∈(-1,1)恒成立.设h(x)=x2-(a-2)x-a,只需满足,解得a≥. 【变式】(2009·浙江)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围. 解 (1)由题意得f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又,解得b=0,a=-3或a=1. (2)由f′(x)=0,得x1=a,x2=-.又f(x)在(-1,1)上不单调,即或 解得或所以a的取值范围为(-5,-)∪(-,1). 【例5】若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围. 解 (1)由题意可知f′(x)=3ax2-b.于是,解得故函数为f(x)=x3-4x+4. (2)由 (1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f′(x)=0得x=2或x=-2, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,当x=2时,f(x)有极小值-, 所以函数的大致图象如右图,故实数k的取值范围为(-,). 【变式】 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解 (1)f′(x)=+2bx+1,∴.解得a=-,b=-. (2)f′(x)=-+(-)+1=-.函数定义域为(0,+∞),列表 x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴x=1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点. 【例6】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l: 3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解: (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b, 当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0;① 当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,可得4a+3b+4=0.② 由①②解得a=2,b=-4,又切点的横坐标为x=1,∴f (1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5. (2)由 (1),得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4.令f′(x)=0,得x=-2或x=,∴f′(x)<0的解集为,即为f(x)的减区间.[-3,-2)、是函数的增区间.又f(-3)=8,f(-2)=13,f=,f (1)=4,∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为. 变式迁移3 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 解 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2. (2)由 (1)知g(x)=-x3+2x,所以g′(x)=-x2+2,令g′(x)=0,解得x1=-,x2=, 则当x<-或x>时,g′(x)<0,从而g(x)在区间(-∞,-),(,+∞)上是减函数; 当- 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,而g (1)=,g()=,g (2)=.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,最小值为g (2)=. 四、课题巩固: 一、选择题: 1.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线斜率为( ). A.2B.-1C.1D.-2 2.(2012辽宁高考)函数y=x2-lnx的单调递减区间为( ). A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞) 3.如图所示的曲线是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x+x等于( ) A.B.C.D. 4.已知f′(x)是f(x)的导函数,在区间[0,+∞)上f′(x)>0,且偶函数f(x)满足f(2x-1) A.B.C.D. 参考答案: 1.B 解析: ==-1,即y′|x=1=-1,则y=f(x)在点(1,f (1))处的切线斜率为-1. 2.B 解析: 对函数y=x2-lnx求导,得y′=x-=(x>0),令解得x∈(0,1]. 因此函数y=x2-lnx的单调递减区间为(0,1].故选B. 3.C [由图象知f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x=x3+bx2+cx+d,∴b=-1,c=-2,d=0.而x1,x2是函数f(x)的极值点,故x1,x2是f′(x)=0,即3x2+2bx+c=0的根,∴x1+x2=-,x1x2=, x+x=(x1+x2)2-2x1x2 =b2-=.] 4.A [∵x∈[0,+∞),f′(x)>0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,又因f(x)是偶函数,∴f(2x-1) ⇔f(|2x-1|) 二、填空题: 5.函数f(x)=x-lnx的单调减区间为________. 6.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是_____. 7.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是_____________. 8.若a>2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上有________个零点. 参考答案: 1.(0,1) 2.-373.4.1个解析: f′(x)=x2-2ax=x(x-2a)=0⇒x1=0,x2=2a>4,易知f(x)在(0,2)上为减函数,且f(0)=1>0,f (2)=-4a<0,由零点判定定理知,在函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有1个零点. 三、解答题 9.已知函数f(x)=xlnx. (1)求f(x)的极小值; (2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数. 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=, 当x∈(0,+∞)时,f′(x),f(x)的变化的情况如下: x f′(x) - 0 + f(x) 极小值 所以,f(x)在(0,+∞)上的极小值是f=-. (2)当x∈,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是;当x∈时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.令y=f(x),y=m,两函数图象交点的横坐标是f(x)-m=0的解,由 (1)知当m<-时,原方程无解;由f(x)的单调区间上函 数值的范围知,当m=-或m≥0时,原方程有唯一解;当- 10.设f(x)=,其中a为正实数. (1)当a=时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 解: 对f(x)求导得f′(x)=ex.① (1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=. x f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 结合①,可知 所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点. (2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号.结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1. 11.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>1,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1
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- 数学 一轮 复习 导数 导学案
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