版《试吧》高中全程训练计划数学理 周周测 6.docx
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版《试吧》高中全程训练计划数学理周周测6
周周测6 解三角形与平面向量综合测试
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2,b=-e1+2e2的夹角为( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
答案:
B
解析:
根据题意,设a,b的夹角为θ,因为e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,且a=e1+e2,b=-e1+2e2,所以a·b=(e1+e2)·(-e1+2e2)=-e+2e+e1·e2=,|a|=|e1+e2|==,|b|=|-e1+2e2|==,所以cosθ==,又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|a
答案:
B
解析:
对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反;B正确;对于C,|-λa|=|-λ|·|a|,由于|-λ|的值不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
3.[2019·长春调研]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC-2ccosB=a,且B=2C,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
答案:
B
解析:
∵2bcosC-2ccosB=a,∴2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin(B+C),即sinBcosC=3cosBsinC,∴tanB=3tanC,又B=2C,∴=3tanC,得tanC=C∈(0,π),C=,B=2C=,A=,故△ABC为直角三角形.
4.[2019·东莞模拟]已知△ABC的内角分别为A,B,C,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高为( )
A.B.
C.D.
答案:
B
解析:
由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,得7=AB2+4-4ABcos60°,即AB2-2AB-3=0,得AB=3,得BC边上的高为ABsin60°=,故选B.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A.a=5,b=5,A=50°B.a=3,b=4,A=30°
C.a=5,b=10,A=30°D.a=12,b=10,A=135°
答案:
B
解析:
对于A,a=5,b=5,A=50°,由a=b得,B=A=50°,所以C=80°,故△ABC有唯一解;对于B,a=3,b=4,A=30°,则sinB==,又b>a,所以B>A,故B可以是锐角也可以是钝角,故△ABC有两个解;对于C,a=5,b=10,A=30°,则sinB==1,B为直角,故△ABC有唯一解;对于D,a=12,b=10,A=135°,则sinB==,在△ABC中,A=135°,故B为锐角,所以△ABC有唯一解.故选B.
6.[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4B.
C.D.2
答案:
A
解析:
∵cos=,
∴cosC=2cos2-1=2×2-1=-.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×=32,
∴AB==4.
故选A.
7.[2019·河南南阳一中考试]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB+cosB=,则A的大小为( )
A.或B.
C.或D.
答案:
B
解析:
∵sinB+cosB=sin=,
∴B+=,B=.由正弦定理=得,
sinA==.∵a
8.[2019·广州调研]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cosB=,则△ABC的面积等于( )
A.3B.
C.9D.
答案:
B
解析:
解法一 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入数据,得a=3,又cosB=,B∈(0,π),所以sinB=,所以S△ABC=acsinB=,故选B.
解法二 由cosB=,B∈(0,π),得sinB=,由正弦定理=及b=,c=4,可得sinC=1,所以C=,所以sinA=cosB=,所以S△ABC=bcsinA=,故选B.
9.[2019·四川成都模拟]在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.上述三种情况都有可能
答案:
B
解析:
在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点D,连接AD,OD,OG,如图所示,则OD⊥BC,GD=AD,因为=+,=(+),·=5,所以(+)·=·=-(+)·=5,即-(+)·(-)=5,所以2-2=-30.又BC=5,则||2=||2+||2>||2+||2,由余弦定理得cosC<0,所以 10.[2019·资阳模拟]设e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为( ) A.-B.- C.-D.- 答案: A 解析: 由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,所以解得k=-. 11.[2019·唐山模拟]已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若=λ+(1-λ),则λ=( ) A.-3B.3 C.1D.-1 答案: D 解析: 设=(x,y),则由∥a知x+y=0,于是=(x,-x).若=λ+(1-λ),则有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1,故选D. 12.[2019·北京西城模拟]已知Rt△ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,则·的取值范围是( ) A.[-1,0]B. C.D. 答案: D 解析: 如图,由AB=1,BC=2,可得AC=,以AB所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(1,0),C(0,),直线BC方程为x+=1,则直线AM方程为y=x,联立解得M.由图可知,当P在线段BC上时,·有最大值为0,当P在线段AC上时,·有最小值,设P(0,y)(0≤y≤),∴·=·(-1,y)=-+y≥-,∴·的取值范围是.故选D. 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________. 答案: 解析: 选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,又=λ+μ=+,于是得解得 所以λ+μ=. 14.[2019·北京师范大学附属中学模拟]设向量a=(3,-4),向量b=(2,x),向量c=(2,y),若a∥b且a⊥c,则a-3b与a+2c的夹角大小为________. 答案: 解析: 根据题意,由a∥b,得3x=2×(-4),解得x=-,由a⊥c,得3×2+(-4)×y=0,解得y=,则b=,c=.设a-3b与a+2c的夹角为θ,∵a-3b=(-3,4),a+2c=(7,-1),∴cosθ===-.又∵0<θ<π,∴θ=,即a-3b与a+2c的夹角为. 15.《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写出公式,即已知三角形三边分别为a,b,c则此三角形的面积为S=.现有周长为10+2的△ABC满足sinA: sinB: sinC=2: 3: ,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为________. 答案: 6 解析: 由正弦定理及sinA: sinB: sinC=2: 3: 可知,a: b: c=2: 3: ,由a+b+c=10+2,得a=4,b=6,c=2,代入公式S=可得△ABC的面积为6. 16.[2019·山东德州模拟]在△ABC中,D为BC边上一点,AD=2,∠DAC=60°.若AC=4-CD且△ABC的面积为4,则sin∠ABC=________. 答案: 解析: 在△ACD中,由余弦定理得CD2=4+(4-CD)2-4(4-CD)·cos60°, 解得CD=2,故CD=AC=AD,所以△ACD为正三角形,∠C=60°. 所以S△ABC=BC·AC·sinC=×BC×2×=4,故BC=8. 在△ABC中,由余弦定理得 AB==2, 由三角形的面积公式,得×2×8sin∠ABC=4, 所以sin∠ABC==. 三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) [2017·全国卷Ⅱ,17]△ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cosB; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 解析: 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=. (2)由cosB=得sinB=, 故S△ABC=acsinB=ac. 又S△ABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4. 所以b=2. 18.(本小题满分12分) [2019·衡水模拟] 如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosA=bcosC+ccosB. (1)求角A的大小; (2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长. 解析: (1)由题意及正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA. ∵sinA≠0,∴cosA=.∵A∈(0,π),∴A=. (2)在△ABC中,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,即16=4+AC2-2AC, 解得AC=1+,或AC=1-(负值,舍去). ∵BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4, ∴==,∴AD=AC=. 19.(本小题满分12分) [2019·河南南阳一中考试]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinB(acosB+bcosA)=ccosB. (1)求B; (2)若b=2,△ABC的面积为2,求△ABC的周长. 解析: (1)由题意及正弦定理得 sinB(sinAcosB+sinBcosA)=sinCcosB,∴sinBsin(A+B)=sinBsinC=sinCcosB,∵C∈(0,π),∴sinC>0, ∴sinB=cosB,∴tanB=. 又∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵S△ABC=acsinB=ac=2,∴ac=8. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos, 即12=a2+c2-2×8×=a2+c2-8,∴a2+c2=20, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=36,∴a+c=6. 又∵b=2,∴△ABC的周长为6+2. 20. (本小题满分12分) 如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量. 解析: 设=ma+nb, 则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb, =-=-=-a+b. 又∵A,M,D三点共线,∴与共线. ∴存在实数t,使得=t, 即(m-1)a+nb=t. ∴(m-1)a+nb=-ta+tb. ∴消去t得m-1=-2n, 即m+2n=1.① 又∵=-=ma+nb-a=a+nb, =-=b-a=-a+b. 又∵C,M,B三点共线,∴与共线. ∴存在实数t1,使得=t1, ∴a+nb=t1, ∴消去t1得4m+n=1.② 由①②得m=,n=,∴=a+b. 21.(本小题满分12分) [2019·湖南师大附中月考]已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C-sin2A)tanA. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的外接圆的圆心是O,半径是1,求·(+)的取值范围. 解析: (1)由正弦定理得·=,即sinA=. 又∵A是锐角,∴A=. (2)·(+)=·(+-2) =·+·-22 =cos∠AOB+cos∠AOC-2 =cos2C+cos2B-2 =cos+cos2B-2 =cos2B-sin2B-2 =cos-2. ∵△ABC是锐角三角形,∴∴ ∴<2B<π,则<2B+<, ∴-1≤cos(2B+)<- 故·(+)的取值范围是. 22.(本小题满分12分) [2019·河南长葛月考]已知向量a=(2sinx,1),b=,函数f(x)=a·b,x∈R. (1)若|a|=,x∈(-π,0),求x的值; (2)求f(x)在上的值域; (3)将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,设h(x)=g(x-1)+x2-2x,判断h(x)的图象是否关于直线x=1对称,请说明理由. 解析: (1)∵|a|==, ∴sin2x=,即sinx=±. 又∵x∈(-π,0),∴x=-或-. (2)由题知f(x)=4sinxcos+1 =4sinx+1 =sin2x-2sin2x+1 =sin2x-(1-cos2x)+1 =2sin. ∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈, 故f(x)在上的值域为(-1,2]. (3)由题知g(x)=f=2sin=2cos2x, ∴h(x)=2cos(2x-2)+(x-1)2-1. ∵h(2-x)=2cos(2-2x)+(1-x)2-1=2cos(2x-2)+(x-1)2-1=h(x), ∴h(x)的图象关于直线x=1对称.
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