函数单调性最值问题1.docx
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函数单调性最值问题1.docx
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函数单调性最值问题1
1、已知函数y=f(x),x属于A,若对任意a,b属于A,当a小于b时,都有fa小于fb,则方程fx等
于0有几个根
inh0772014-12-01
优质解答下载作业帮App,拍照秒答
若对任意a,b属于A,当a小于b时,都有fa小于fb
即函数是单调递增函数
所以
方程f(x)=0最多有1个根.
整理帖子3792014-12-01
2、已知函数y=f(x),x∈A,若对任意a,b∈A,当a<b时,都有f(a)<f(b),则方程f(x)=0的根有几个?
窝窝小鱼952014-11-29
优质解答下载作业帮App,拍照秒答因为当a<b时,都有f(a)<f(b),所以y=f(x)是单调递增函数,所以它的根有1个或0个2跨跨9332014-11-29
3、已知函数y=f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当a<b时都有f(a)<f(b),则方程f(x)=0的实数根?
[C]
A.有且只有一个
B.一个都没有
C.至多有一个
D.可能会有两个或两个以上
-------.条件告诉我们F(X)是单调增函数。
那么有可能与X轴有一个交点,或无交点。
------因为对于任意a、b∈A,当a<b时,都有f(a)<f(b),所以可以是0<f(a)<f(b)或f(a)<0<f(b)所以C对。
4、已知函数y=fx的定义域是数集A,若对于任意ab∈A,当a
好的加分!
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!
2013-02-2302:
27
提问者采纳
1、
0或1个。
假设方程f(x)=0有两个根m,n,则有m≠n,且f(m)=f(n)=0,
当m
这与f(m)=f(n)相矛盾,所以方程f(x)=0的根有0或1个
因为对于任意a,b∈A,当a
所以,函数y=f(x)在定义域A上是单调递增函数,
所以,若两端点值对应的函数值的乘积是非正数,则存在1个实数根使f(x)=0,
若是正数,则f(x)=0没有实数根。
2、f(xy)=f(x)+f(y),x>0,y>0
当x>1时,f(x)>0
令x2>x1>0,则x2/x1>1,f(x2/x1)>0
因为,f(x2)-f(x1)=f((x2/x1)×x1)-f(x1)
=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)
=f(x2/x1)>0
所以,f(x)在(0,∞)上是增函数
因为,f(1/3)=-1
所以,f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=-2
f(x)-f(1/(x-2)≥2
可化为,f(x)-2≥f(1/(x-2))
即,f(x)+f(1/9)≥f(1/(x-2))
即,f(x/9)≥f(1/(x-2))
所以,原不等式可化为不等式组
①x/9≥1/(x-2),即x²-2x-9≥0,解得x≥1+√10,或x≤1-√10
②x>0
③x-2>0,即,x>2
综合可得,x≥1+√10
所以,x的取值范围为[1+√10,+∞)
5、已知函数y=f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当a
2010-10-1322:
54
提问者采纳
因为对于任意a,b∈A,当a
所以函数y=f(x)在定义域A上是单调递增函数,
所以
若两端点值对应的函数值的乘积是非正数,则存在实数根使f(x)=0,
若是正数,则不存在。
6、
(本小题满分12分)
已知:
函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.
证明:
(1)函数y=f(x)是R上的减函数.
(2)函数y=f(x)是奇函数.
题型:
解答题难度:
偏易来源:
不详
答案(找作业答案--->>上魔方格)
(1)见解析;
(2)见解析。
试题分析:
(1)设x1>x2,则x1-x2>0,而f(a+b)=f(a)+f(b),
所以f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2),
即f(x1)<f(x2),所以函数在R上是减函数. ……6分
(2)由f(a+b)=f(a)+f(b)得:
f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0),而f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. ……12分
点评:
本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义,其中利用“凑配法”得到f(0)=0及f(-x)=-f(x)是解答的关键.
∙
∙
∙
∙
∙
∙函数零点的定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=o,则a叫做这个函数的零点,有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点。
∙函数零点具有的性质:
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的,则有:
(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,
∙方程的根与函数的零点的联系:
方程f(x)=0有实根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
7、已知定义在R上的函数f(x)是增函数,且经过A(0,-1),B(3,1)两点,那么|f(x+1)|<1的解集是?
2009-10-1812:
33miss_sore分类:
教育/科学|浏览1423次
附带计算过程哦
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2009-10-1812:
43
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因为函数在R上时单调增函数的,所以只需求出
满足f(x1+1)=1和满足f(x2+1)=-1的x1,x2即可
此时的[x2,x1]就是解集
恰好:
f(0)=-1所以x2+1=0,所以x2=-1
f(3)=1所以x1+1=3,所以x1=2
所以解集是(-1,2)
8、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≧0时,
.
(I)求f(-1)的值;
(II)求函数f(x)的值域A;
(III)设函数
的定义域为集合B,若A
B,求实数a的取值范围.
题型:
解答题难度:
中档来源:
辽宁省月考题
解:
(I)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数
∴f(-1)=f
(1)
又x≥0时,
∴
,即f(-1)=
.
(II)由函数f(x)是定义在R上的偶函数,可得函数f(x)的值域A即为x≧0时,f(x)的取值范围,
当x≧0时,
故函数f(x)的值域A=(0,1].
(III)∵
定义域B={x|﹣x2+(a﹣1)x+a≧0}={x|x2-(a﹣1)x﹣a≦0}
由x2-(a-1)x-a≦0
得(x-a)(x+1)≦0
∵A
B
∴B=[-1,a],且a≧1
∴实数a的取值范围是{a|a≧1}
9、二题=====
1.
(1)若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)大于0,求a的取值范围
(2)若函数是定义在R上的偶函数,且在区间(负无穷,0)上是增函数,又f(2a-1)大于f(3-a),求a的取值范围
2.已知函数f(x)=(ax2+1)/(bx+c)(a,b,c属于Z)是奇函数,且f
(1)=2,f
(2)小于3
(1)求a,b,c的值
(2)当x小于0时,讨论函数f(x)的单调性.
凌风筛乔332014-12-13
优质解答下载作业帮App,拍照秒答
1
(1).
注意“定义域”!
f(1-a)+f(1-a²)>0推出
f(1-a)>-f(1-a²)即
f(1-a)>f(a²-1)
所以,有如下不等式组
-1≤1-a≤1
-1≤a²-1≤1
1-a<a²-1
综合可解出
0≤a≤2
0≤a2≤2即-√2≤a≤0或0≤a≤√2
a²+a-2>0即a>1或a<-2.
综上所述:
1<a≤√2
(2).因为f(x)为偶函数且在(负无穷,0】上递增,
由对称性可得f(x)在【0,正无穷)上单调递减
因为函数是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|)
f(2a-1)>f(3-a)可化为:
f(|2a-1|)>f(|3-a|)
因为f(x)在【0,正无穷)上单调递减,
所以|2a-1|
bbGH10CV052014-12-13
10、
已知函数f(x)是 R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x)|<1的解集是( )
A.(-3,0)
B.(0,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
题型:
单选题难度:
中档来源:
不详
答案(找作业答案--->>上魔方格)
|f(x)|<1等价于-1<f(x)<1,
∵A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,
∴f(0)<f(x)<f(3)
∵函数f(x)是R上的增函数,
∴0<x<3
∴|f(x)|<1的解集是(0,3)
故选B.
11、求函数f(x)=x平方-2x-3,x属于(-1,2]的值域
zyjwfvuf2014-10-22
优质解答下载作业帮App,拍照秒答f(x)=(x-1)²-4
所以f(x)最小=f
(1)=-4
当x趋近于-1时,f(x)趋近于0
所以值域为[-4,0)
12、函数y=x^2-2x-3/x^2-1的值域为多少落幕的光华|14-02-091条回答
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好评回答大道臸简|14-02-10解:
【法一】
定义域x²-1≠0
解得x≠±1
y=(x²-2x-3)/(x²-1)
=[(x+1)(x-3)]/[(x+1)(x-1)]
=(x-3)/(x-1)
=1-2/(x-1)
当x=-1时,y=1-2/(-1-1)=2
又x≠-1,所以y≠2
因为2/(x-1)≠0,所以y≠1
所以值域为(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞)
【法二】
判别式法:
y=(x²-2x-3)/(x²-1)
yx²-y=x²-2x-3
(y-1)x²+2x+3-y=0①
①y-1≠0时,
因为x存在
所以
△=2²-4(y-1)(3-y)≥0
即y²+2y+2≥0
因为y²+2y+2=(y+1)²+1>0恒成立
②y-1=0时,即y=1
将y=1代入①得2x+2=0,解得x=-1
又当x=-1时,x²-1=0不满足定义域,舍去
故y≠1
由①知y≠2
综上:
值域y∈(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞)
复合函数的函数定义域求法、单调性的判定、。
2010-05-1321:
49_ナ兰|分类:
数学|浏览2355次
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2010-05-1414:
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复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
①若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:
内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:
外函数的定义域是内函数的值域。
复合函数的话
可以把函数化成几个单一的函数。
比如说y=4/(x+5)
我们可以看成是y=5/x和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间,当然前边那个只是举例,事实上一般都比那个复杂。
确定完单一函数的单调区间后取交集,比如:
第一个单一函数的单调区间是
(3,6)递增,[6,12)递减,(13,15)递增(假设这就是定义域)
第二个函数的单调区间是(3,12)单调递减,(13,15)递增
那么我们就要取他们的单调交集
因为第二个函数的递减区间是(3,12)
而第一个正好是(3,6)和[6,12)
那么就可以直接划分成(3,6),[6,12),(13,15)三个集合
第一个集合是增减(即第一个函数是增,第2个函数是减)
依此类推,第二个集合是减减,第三个增增
有一个定理是复合函数的单调性是
增增得增
减减得增
增减得减
其实就是正负号相乘,正正得正,负负得正
关键在于找到单一函数和取对交集
最后,说明:
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。
2、函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题;另外,中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数,对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以;还要注意,对于在某些点上不连续的函数,单调区间不包括不连续点。
2013-11-03最新采纳
对于两个函数的复合,要求内层函数的值域和外层函数的定义域交集不空才有意义。
例如lg(1-x^2)有意义,而lg(-1-x^2)就没有意义。
对于多个函数进行的多层复合也有类似要求。
如果进行复合的各层函数单调性是明确的,那么复合函数的单调性类似乘法运算的符号规则:
同号相乘得正,异号相乘得负。
并且规定增函数对应正号,减函数对应负号。
那么增函数复合的结...展开全部
收起
完整例题13、求函数y=2x-1-√13-4x的最大值.
√为根号下.
方法:
1、先求定义域,由根号里的式子得x。
先求根号的定义域。
由根号里的式子得x<=13/4。
当y=2x-1-0时是最大的.
所以13-4x=0
x=13/4
y=2*13/4-1-√13-4*13/4=11/2
2、另一种办法:
令a=√(13-4x)
则a>=0,a2=13-4x
x=(13-a2)/4
y=2*(13-a2)/4-1-a
=-a2/2-a+11/2
=-(1/2)(a+1)2+6
a>=0,则对称轴在定义域的左边,开口向下
所以a>=0时,y递减
所以a=0时,y最大=11/2。
14、已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.又f
(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)求f(3)在区间[-3,3]上的最大值.
(3)解关于x的不等式f(ax^2)-2f(x)<f(ax)+4
夏末秋凉丶遄2014-09-29
优质解答下载作业帮App,拍照秒答
(1)
令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
又令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),对任意的x都恒成立
所以f(x)为奇函数
(2)
设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)
又因为当x>0,f(x)<0
所以f(x1-x2)
惷公子2014-09-29
其他回答
令x,y均等于0,f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(-x),即函数为奇函数
令x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)<0,所以f(x)>0,[-3,3]上的最大值在-3处取得,
f(3)=f
(1)+f
(2)=3f
(1)=-6,最大值f(-3)=-f(3)=6
f(ax^2)-2f(...
祸祸19872014-09-30
全部展开令x,y均等于0,f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(-x),即函数为奇函数
令x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)<0,所以f(x)>0,[-3,3]上的最大值在-3处取得,
f(3)=f
(1)+f
(2)=3f
(1)=-6,最大值f(-3)=-f(3)=6
f(ax^2)-2f(x)=f(ax^2)-f(x)-f(x)=f(ax^2-2x)
f
(2)=2f
(1)=-4,f(-2)=4,f(ax)+4=f(ax)+f(-2)=f(ax-2)
即f(ax^2-2x)ax^2-(2+a)x+2>0
(x-1)(ax-2)>0
a<0,(x-1)(-ax+2)<0,2/aa>0,(x-1)(ax-2)>0,
0a>=2,2/a
祸祸19872014-09-30
收起
15、已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,
f(x)>1.
(1)求证:
函数f(x)在R上是增函数;
(2)若关于x的不等式
的解集为{x|-3<x<2=,求f(2009)的值;
(3)在
(2)的条件下,设
若数列
从第k项开始的连续20项之和等于102,求k的值.
(1)证明:
设x1>x2,则x1-x2>0,从而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0.………2分
故f(x)在R上是增函数.…4分
(2)设2=f(b),于是不等式为
.
则
即
.………6分
∵不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3 ∴方程x2-ax+5a-b=0的两根为-3和2, 于是 解得 ∴f (1)=2.………8分 在已知等式中令x=n,y=1,得f(n+1)-f(n)=1. 所以{f(n)}是首项为2,公差为1的等差数列. f(n)=2+(n-1)×1=n+1,故f(2009)=2010.………10分 (3) . 设从第k项开始的连续20项之和为Tk,则 . 当k≥13时,ak=|k-13|=k-13,Tk≥T13=0+1+2+3+…+19=190>102. (11分) 当k<13时,ak=|k-13|=13-k. Tk=(13-k)+(12一k)+…+1+0+1+…+(k+6)=k2一7k+112. 令kk+112=102,解得k=2或k=5.………14分 (注: 当k≥13时,ak=|k一13|=k一13,令 无正整数解.得11分) 16、----同18题。 设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0。 (1)证明f(x)是奇函数 (2)证明f(x)在(-无穷,+无穷)上是增函数 (3)若f(2x)>f(x+3),求实数x的取值范围 解答: (1)函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0 取y=-x f(x+y)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2)∵x>0时,f(x)>0 取x2>x1,∴x2-x1>0 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0 ∴证明f(x)在(-无穷,+无穷)上是增函数。 ∴f(x1)x+3 ∴x>3 实数x的取值范围是(3,+∞) 若离〃偩蕫2014-09-28 其他回答 对于出现了f(x+y)=f(x)+f(y)这种状态的函数,我们如果是遇见填空题单选题之类,就可以设函数为正比例函数y=kx,或y=x的形状。 下面就可以处理了。 lje4211082014-09-29 17、 ∙ 已知函数f(x)定义在R上,并且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y),当x不等于y时,f(x)不等f(y)证若x>0f(x)>0 ∙ ∙ 郭老师 管理员 发表于: 2012-09-0113: 20: 08 完整例题18、设二次函数y=f(x),对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立 且当x>0时f(x)>0,f(-1)=-2。 (1)证明f(x)在R上是奇函数,又是增函数 (2)求区间【-2,1】上的值域 解答: (1)函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0 取y=-x f(x+y)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数。 又∵x>0时,f(x)>0 设存在x1,x2∈R且x2>x1,∴x2-x1>0 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0 ∴证明f(x)在R上是增函数。 (2)f(x)在R上是奇函数。 因此f (1)=-f(-1)=2, f(-2)=2f(-1)=-4, f(x)在R上是增函数。 所以所求值域为【-4,2】 19、已知定义域为R的函数f(x)满足对于任意实数x,y.均有f(x+y)=f(x)*f(y),(f(0)≠0),且当x<0时,f(x)>1.求证f(x)是R上的减函数。 因为对于任意实数x,y.均有f(x+y)=f(x)f(y),所以f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0),且f(0)≠0,所以f(0)=1。 固有f(x-x)=f(x)*f(-x)=1,所以f(-x)=1/f(x)当x<0时,-x>0.因为f(x)>1所以f(-x)=1/f(x),0 使x1>0>x2则f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)是R上的减函数 20、设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f (1)=-2 其他3条回答 解1由任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0 即f(0+0)=f(0)+f(0) 即f(0)=2f(0) 即2f(0)-f(0)=0 即f(0)=0 在令y=-x代入f(x+y)=f(x)+f(y), 得f(x+(-x))=f(x)+f(-x) 即f(x)+f(-x)=f(0)=0 即f(-x)=-f(x) 知f(x)是奇函数 2令x1,x2属于R,且x1<x2 即f(x2)-f(x1) =f(x2)+f(-x1)......利用f(x)是奇函数 =f(x2-x1)...........利用f(x+y)=f(x)+f(y),
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- 函数 调性 问题