物理实验数据处理方法.docx
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物理实验数据处理方法
数据处理方法
数据处理是指从获得的数据得出结果的加工过程,包括
记录,整理,计算,分析等处理方法。
用简明而严格的方法
把实验数据所代表的事物内在的规律提炼出来,就是数据处
理。
正确处理实验数据是实验能力的基本训练之一。
根据不
同的实验内容,不同的要求,可采用不同的数据处理方法。
本章介绍物理实验中较常用的数据处理方法。
1列表法
获得数据后的第一项工作就是记录,欲使测量结果一目了然,避免混乱,避免丢失数据,便于查对和比较,列表法是最好的方法。
制作一份适当的表格,把被测量和测量的数据一一对应地排列在表中,就是列表法。
一、列表法的优点
1.能够简单地反映出相关物理量之间的对应关系,清楚明了地显示出测量数值的变化情况。
2.较容易地从排列的数据中发现个别有错误的数据。
3.为进一步用其他方法处理数据创造了有利条件。
二、列表规则
1.用直尺划线打表,力求工整。
2.对应关系清楚简洁,行列整齐,一目了然。
3.表中所列为物理量的数值(纯数),因此表的栏头也应是一纯数,即物理量的符
号除以单位的符号,例如:
α/ms ̄、2I/10 ̄3A等,其中物理量的符号用斜体字,单位的
符号用正体字。
为避免手写正、斜体混乱,本课程规定手写时物理量用汉字表示,例如:
加速度/m?
s ̄2、电流强度/10 ̄3A。
4.提供必要的说明和参数,包括表格名称、主要测量仪器的规格(型号、量程、
准确度级别或最大允许误差等)、有关的环境参数(如温度、湿度等)、引用的常量和物理量等。
三、应用举例
例1用列表法报告测得值。
(见表1)
列表法还可用于数据计算,此时应预留相应的格位,并在其标题栏中写出计算公式。
表1用伏安法测量电阻
伏特计1.0级,量程15V,内阻15kΩ
毫安表1.0级,量程20mA,内阻1.20Ω
测量序号
电压
电流
k
Uk/V
Ik/mA
1
0
0
2
2.00
3.85
3
4.00
8.15
4
6.00
12.05
5
8.00
15.80
6
10.00
19.90
四、列表常见错误
1.没有提供必要的说明或说明不完全,造成后续计算中一些数据来源不明,或丢
失了日后重复实验的某些条件。
2.横排数据,不便于前后比较(纵排不仅数据趋势一目了然,而且可以在首行之后仅记变化的尾数)。
3.栏头概念含糊或错误,例如将Uk/V写成Uk(V)或Uk,V等。
4.数据取位过少,丢失有效数字,给继续处理数据带来困难。
5.表格断成两截,达不到一目了然。
要按照列表规则养成良好的列表习惯,避免出现以上的错误。
列表法是最基本的数据处理方法,一个好的数据处理表格,往往就是一份简明的实验报告,因此,在表格设计上要舍得下功夫。
.
2作图法
在研究两个物理量之间的关系时,把测得的一系列相互对应的数据及变化的情况用曲线表示出来,这就是作图法。
一.作图法的优点
1.能够形象、直观、简便地显示出物理量的相互关系以及函数的极值、拐点、突变或周期性等特征。
2.具有取平均的效果。
因为每个数据都存在测量不确定度,所以曲线不可能通过每一个测量点。
但对于曲线,测量点时靠近和匀称分布,故曲线具有多次测量取平均的
效果。
3.有助于发现测量中的个别错误数据。
虽然曲线不可能通过所有的数据点,但不
在曲线上的点都应是靠近曲线才合理。
如果某一个点离曲线明显的远了,说明这个数据错了,要分析产生错误的原因,必要时可重新测量或剔除该测量点的数据。
4.作图法时一种基本的数据处理方法,不仅可以用于分析物理量之间的关系,求
经验公式,还可以求物理量的值。
但受图纸大小的限制,一般只有3~4位有效数字,
且连线具有较大的主观性。
所以用作图法求值时,一般不再计算不确定度。
在报告实验结果时,一条正确的曲线往往胜过百个文字的描述,它能使实验中各物
理量间的关系一目了然,所以只要有可能,实验结果就要用曲线表达出来。
二.作图规则
1.列表按列表规则,将作图的有关数据列成完整的表格,注意名称、符号及
有效数字的规范使用。
2
最常用的是直角坐标纸,此外还有对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等。
本节以直角坐标为例介绍作图法,其他坐标可参考本节原则进行。
坐标纸的大小要根据测量数据的有效位数和实验结果的要求来决定,原则是以不损
失实验数据的有效数字和能包括全部实验点作为最低要求,即坐标纸的最小分格与实验数据的最后一位准确数字相当。
在某些情况下例入数据的有效位太少使得图形太小,还
要适当放大以便与观察,同时也有利于避免由于作图而引入附加的误差;若有效位数多,又不宜把该轴取得过长,则应适当牺牲有效位,以求纵横比适度。
3.标出坐标轴的名称和标度通常的横轴代表自变量,纵轴代表因变量,在坐
标轴上表明所代表物理量的名称(或符号)和单位,标注方法与表的栏头相同,即量的符号(可用汉字)除以单位的符号。
横轴和纵轴的标度比例可以不同,其交点的标度值不一定是零。
选择原点的标度值来调整图形的位置,使曲线不偏于坐标的一边或一角;选择适当的分度比例来调整图形的大小。
使图形充满纸。
分度比例要便于换算和描点,
例如,不要用4个格代表1(单位)或用1格代表3(单位)一般取1,2,5,10,,标度值按整数等间距(间隔不要太稀或太密,以便于读数)标在坐标纸上。
3.描点和连线
根据测量数据,用削尖的铅笔在坐标图纸上用“+”或“x”标出各测量点,使各测
量数据坐落在“+”或“x”的交叉点上。
同一图上的不同曲线应当用不同的符号,如“x”、
“+”、“☉”、“△”、“□”等。
用透明的直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑曲线。
连线应反映出两物理量关系
的变化趋势,而不应强求通过每一个数据点,但应使在曲线两旁的点有较匀称的分布,使曲线有取平均的作用。
用曲线板连线的要领是:
看准四个点,连中间两点间的曲线,
依次后移,完成整个曲线。
5.
在图上空旷位置,写出完整的图名、绘制人姓名及绘制日期,所标文
字应当用仿宋体。
三、求直线的斜率和截距
y=b+b1
x。
只要求出斜率
b1和截距b,就可以得到关于
直线时,其方程具有形式
0
0
物理量x,y的经验公式。
在许多实验中也通过求斜率或截距来求得物理量。
例2.测定有一固定转轴的刚体的转动惯量
J,该刚体受到动力矩
M
和阻力矩
μ的作用,
M
根据转动定律
M-Mμ=Jβ,写成M=Mμ+Jβ,设阻力矩为常量,这就是一个直线方
程。
改变动力矩
,测得一系列相应的角加速度
β,作
M-
β曲线,求出斜率和截距,
M
就得到了转动惯量和阻力矩。
1.求斜率
y
=b+b
x
直线方程
1
0
(1)
在曲线上取p1(x1,y2)和p2(x2,y2)两点代入
(1)式,即可求得斜率。
求斜率时要注意:
(1)p1、p2必须是直线上的点,且不可取测量点;
(2)p1、p2在测量范围以内,且相距尽量远;
(3)p1、p2用不同于作图描点的符号标出,例如用△或□,标上字母符号p1或p2
及坐标值。
读数和计算时注意正确使用有效数字;
(4)在实验报告上写出计算斜率的完整过程。
2.求截距
截距b
是对应于x=0的y值。
在曲线上另取一点p
(x
,y
),将x
、y的值和
(1)
0
3
3
3
3
3
式,代入直线方程,求得
y
y
b
y
2
1
.x
3
1
3
x
x
2
1
如果作图时
x轴标度从零开始,截距
b0也可以从图上直接读出。
四、应用举例
例3.
以例1伏安法测电阻为例,用作图法求电阻R。
表2
作图数据列表
测量序号
x
y
Uk(V)
Ik(mA)
k
1
0
0
2
2.00
3.85
3
4.00
8.15
4
6.00
12.05
5
8.00
15.80
6
10.00
19.90
在直角坐标纸上建立坐标,在横轴右端标上“电压/V”,以1mm代表0.1V,原点标
度值为0,每隔20mm依次标出2.00,4.00,6.00,8.00,10.00;在纵轴上端标上电流
/mA,以1mm代表0.2mA,原点标度值为0,每隔25mm依次标出5.00,10.00
,15.00,
20.00。
如图1。
削尖铅笔,按照表
2的数据,用符号“+”描出各测量点,然后用透明的直尺划一
条直线,连线时注意使
6个测量点靠近直线且匀称地分布在该直线的两侧。
在曲线上方空白处写上图名“电阻的伏安性曲线”。
p(1.00,
为求斜率,在曲线上取两点用“○”标出,并在旁边写上符号和坐标值
1
2.02)和p2(9.00,17.98)
图1
电阻的伏安特性曲线
17.98
2.02
斜率
1.995
9.00
1.00
电阻
五、曲线改直
按相关物理量作成曲线虽然直观,但要判断具体函数关系却比较困难。
通过适当的
变换,将曲线改成直线,再作图分析就方便得多,而且容易求得有关的参数。
例4带等量异号电荷的无线长同轴圆柱面之间的静电场中,某点A的电场强度E
的大小和A点到轴线的距离r成反比。
现用实验来验证E∝(1/r)(见实验4)。
实验中
不能直接测电场强度,只能测得A点的电位U,根据场强和电位的关系E=dU/dr,从E
∝(1/r)可推出U∝ln(r)。
实验数据处理时作r-U图线(以U为横轴,r为纵轴),
得到一条曲线,很难看出他们有怎样的函数关系(图2a)。
若仍以U为横轴,而已ln(r)
为纵轴,则图线为一条直线(图2b),这就证明了
U
∝ln(r),从而严正了Ea∝(1/r)
的关系。
(a)r-U曲线(b)lnr-U曲线
图2曲线改直
六、作图中的常见错误
1.原点标度不当,图形偏于一边或一角;坐标比例不当,图形太小或部分实验点超出图纸而丢失。
2.在坐标轴上标出了测量值或在实验点旁标出其坐标值。
3.用“?
”作为描点的符号;用圆珠笔作图或者没有把铅笔削尖;徒手连线或者用直尺连曲线。
4.求斜率,截距使用了测量电。
应注意,即使曲线通过了测量点,该点也不可用来求斜率和截距。
最后应该指出,不要以为作图法仅仅是做完实验之后处理数据的一种方法,从分析
实验任务设计方案时就可以运用作图法的思想。
例3就巧妙地绕开了阻力矩地影响求得了转动惯量。
作图法适用于物理实验的全过程。
在教学中,作图法对于物理思维,实验方法和技能的训练有着特殊的地位和作用。
3逐差法
当两物理量成线性关系时,常用逐差法来计算因变量变化的平均值;当函数关系为多项式形式时,也可用逐差法来求多项式的系数。
逐差法也成为环差法。
一、逐差法的优点
1.
充分利用测量数据,更好地发挥了多次测量取平均值的效果。
2.
绕过某些定值未知量。
3.
可验证表达式或求多项式的系数。
二、逐差法的适用条件
1.
两物理量x,y之间的关系可表达为多项式形式。
例如:
y
=b0+b1x
y
=b+b1x+b2x2
0
y
=b0+b1x+b2x2+b3x3
2.
变量x必须是等间距变化,且较因变量y有更高的测量准确度,
以致通常x
的测量不确定度忽略不计
三、逐项逐差
逐项逐差就是把因变量
y的测量数据逐项相减,用来检查y对于x是否成线性关系,
否则用多次逐差来检查多项式的幂次。
1.
一次逐差
若y=b0+b1x,测得一系列对应的数据
,,,x
x
,x
2
,,,x
k
1
n
1
2
k
,,,
n(3)
y
,y
,,,y
y
逐项逐差,得到:
y=
y
y
1
2-1
y
3-y2=
y2
,,,,
yk+1-yk=
yk
因为y对于x成线性关系,且
x为等间距变化,故
yk=常量。
所以,若对实验测
量值进行逐项逐差,得到
yk≈常量
则证明y对于x成线性关系。
2.二次逐差
若y=b+b1x+b2x2,则逐项逐差后所得结果
yk≠常量,遂将yk再作一次逐项逐
0
差(称为二次逐差)
y
2-
1
=y
1
y
y
3-
2
y
2
y=
,,,,
yk+1-yk=yk
同理,若二次逐差结果yk≈常量,则可证明y对于x为二次幂的关系。
依此类推,还可以进行三次逐差或更高次逐差。
四、分组进行逐差求多项式的系数
用逐差法来求因变量变化的平均值,或求多项式的系数时,不能用逐项逐差,而是把n项测量值分为上、下两组,用下组中的每一个数据与上组中对应的数据一一相减。
1.当y对于x为线性关系y=b0+b1x时,用一次逐差即可求系数
(1)求系数b1
测得值如(3)式,共有n项对应值。
分为上、下两组,每组有l=n/2
相减作逐差:
b0和b1。
项。
隔l项
yk
=
b0+
b1xi
(4)
y
k+1
=b+bx
0
1
k+l
两式相减得到
y
k+1-yk=b1(xk+l-xk)
l倍自变量间隔,记
上式左边为因变量隔
l
项得逐差值,记为
δy;右边括号中为
为l(x-x),则上式写为
l
k
2
1
δ
y
=
b
·l
(x-x
)
1
l
k
1
2
(5)
从k=1到k=l共可得到l个δlyi值,取平均记为δly。
代入(5)式,求得系数
b1得值
ly
b
1
lx2
x1
(2)求系数b0
将系数b值代入(4)式,有
1
=b
+b1
x1
y
1
0
y
2
=b0
+b1
x2
,,,
b
,n个b取平均,即为所求系数
b得值:
一共n个y,每个y都可以求出一个
k
k
0
0
0
1
n
b
y
b
x
k
0
n
k
1
k=1
1
n
1
n
b
y
b
x
0
n
k
1
n
k
k=1
k=1
b
y
bx
0
1
2.
若y=b0+b1x+b2x2,求系数时,则须将第一次逐差得到的
δlyk再分成上、
下两组,进行第二次逐差,从而求得系数
b2,然后依次求出
b1和b。
0
由此类推,也可以进行多次逐差求高次项的系数,但实际上很少使用。
3.系数b1和b0的标准偏差
(1)b1的标准偏差
根据(6)式,b1由δly而来,故通常用于求多次测量平均值标准偏差的公式
S(x)
Sx
n
求出δly的标准偏差s(δly),再用不确定度传播公式
y=f(x1,x2,,)求得系
数b1的标准偏差s(b1)。
(2)b0的标准偏差
由(7)式可见,0的标准偏差由
y和1的标准偏差合成
b
b
ui(y)
y
uxi
xi
得到。
如前所述,计算过程中
x的测量不确定度忽略不计。
五、应用举例
例5
仍以伏安法测电阻为例(见例一)
,用逐差法求电阻
R。
I
=b0+b1U,R=1/b1;共6
项,n=6,l=n/2=3,故隔
3项逐差,δ3Ik=Ik+3
-Ik。
表3
用逐差法处理数据
序号k
I/10 ̄3A
Ik+3/10 ̄3A
δ3Ik/10 ̄3A
1
0
12.05
12.05
2
3.85
15.80
11.95
3
8.15
19.90
11.75
平均
11.917
3l
3
I
11.917
b1
U1
1.986
lU2
6
求系数b1:
R
1
0.5035
k
503.5
b1
求被测量R:
3
2
3
I
I
k
3
s
I
k=1
0.0882
3
l(l
1)
求b的标准偏差
s
I
sb
3
0.0882
0.0147
1
lU
U
32
2
1
求R的标准偏差
s(R)
sb1
0.0147
R
b1
0.00740
1.986
s(R)=503.5*0.740%=3.7Ω
六、逐差法中常见错误
1.
求系数时使用了逐项逐差
上例中,若用逐项逐差求电流变化的平均值,则算式为
I2I1
I3I2
......I6I5
I6I1
5
5
显然,中间各测量值都被抵消掉了,只用了第一次和最后一次测量值,失去了多次
测量取平均值的意义。
2.
奇数项失(n=奇数),上组少分一项
假设上例中共测了
9次,n=9,应分为上组
5项,下组
4项,隔5
项逐差后得到4
项,若按上组少分一项分组,则是隔
4项逐差,似乎最后可多得到一项为
I9-I5。
但仔
细考察可见,该项和第一项
I5-I1的I5抵消掉了,仍旧是没有利用I5。
所以,凡n为奇
数时,应上组多一项,作隔
I=n+1/项逐差。
3.
列表表达不清楚
表中应表达出是隔几项逐差,反映出
l
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