金融数学课件3变额年金.docx

金融数学课件3变额年金.docx

《金融数学课件3变额年金.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金融数学课件3变额年金.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

金融数学课件3变额年金

*

孟生旺

中国人民大学统计学院

变额年金

〔VaryingAnnuities〕

*

主要内容

递增年金〔离散支付，离散递增〕

递减年金〔离散支付，离散递减〕

复递增年金：

按几何级数递增的年金

每年支付m次的递增年金〔略去递减年金〕

连续支付的变额年金：

连续支付，离散递增〔或递减〕

连续支付连续递增〔或递减〕的年金

一般的连续支付连续变额现金流

*

回忆：

等额年金公式

年金

根本年金

永续年金的现值

现值

累积值

期末付

期初付

*

年金

每年支付m次的年金

永续年金的现值

现值

累积值

期末付

期初付

*

连续支付的年金〔连续年金〕

连续支付的

永续年金的现值

现值

累积值

*

1、递增年金〔increasingannuity〕

期末付递增年金：

第一期末支付1元，第二期末支9>2元，…，第n期末支付n元。

按算术级数递增。

假如用表示其现值，那么有

上式两边同时乘以（1+i）那么有

*

用第二式减去第一式那么有

所以递增年金的现值为

*

递增年金分解表

时期?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2

0

1

2

3

…

n–1

n

递增年金

1

2

3

…

n–1

n

等

额

年

金

1

1

1

…

1

1

1

1

…

1

1

1

…

1

1

…

…

…

1

1

1

递增年金=n年定期年金

+延期1年的（n–1）年定期年金

+延期2年的（n–2）年定期年金

+…

+延期（n–1）年的1年定期年金

*

将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为

*

根据现值求得其累积值为

期初付递增年金的现值

期初付递增年金的累积值

建议：

只记忆期末付年金的现值公式。

*

当时，还可以得到递增永续年金的现值为

在计算上述极限时，

*

例：

某人希望购置一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。

假如年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？

解：

年金分解如下：

1000

1100

1800

1900

900

900

900

900

100

200

900

1000

*

例：

写出下述年金的现值公式

设A表示此年金的现值，那么

*

例：

证明以下关系式成立：

〔1〕

〔2〕

*

〔2〕由于，因此

〔1〕

*

时期?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2

0

1

2

3

…

n–1

n

递减年金

n

n–1

n–2

…

2

1

等

额

年

金

1

1

1

…

1

1

1

1

1

…

1

1

1

1

…

…

…

…

1

1

1

1

1

1

期末付递减年金：

第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。

按算术级数递减。

2、递减年金〔decreasingannuity〕

*

因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：

*

递减年金的其他公式：

*

例：

一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。

从第n+1年开场，每年递减1元，直至最后一年付款1元。

试计算该项年金的现值是多少？

1

2

n

n-1

1

*

*

3、复递增年金〔compoundincreasingannuity〕

含义：

付款金额按照某一固定比例增长的年金。

期末付复递增年金：

在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年末支付（1+r）n-1。

*

上述年金的现值：

变形可得：

假设r?

?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2i,令，那么现值为：

假设r=i,那么现值为n/（1+i）

其中

*

例：

某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为111>.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。

解：

本例年金的现金流如以下图所示：

*

现值：

其中

因此该项年金的现值为：

*

期初付复递增年金：

假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第n年初给付金额为元。

*

此项年金的现值表达式：

假设r?

?

Bstyle='color:

white;background-color:

#990099'>2i，那么可令，上式变形为：

其中

假设r=i,那么现值为n

*

问题：

对于等额年金，期初付年金的现值是期末付年金的（1+i）倍，对于复递增年金而言，期初付与期末付存在什么关系？

假设r=i,期末付的现值为n/（1+r）=n/（1+i），期初付的现值为n.

假设r≠i,期末付的现值为：

期初付的现值为：

结论：

期初付的现值是期末付的（1+i）倍〔参见下页图示〕。

*

期末付：

期初付：

*

例：

一份20年期的年金，在第1年初给付200元，以后给付金额按10％的递增，假设年实际利率为5%，请计算此项年金在时刻零的现值。

解：

本例年金的现金流如以下图所示：

*

此项年金的现值为：

其中

因此，此项年金的现值为：

*

10年期期末付年金的现值a与利率i的关系

*

4、每年支付m次的递增年金

假如每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：

同一年的每次付款一样

同一年的每次付款也是递增的

*

每年支付m次的递增年金：

同一年的每次付款一样

现值：

注：

见下页说明

*

第一年内所有付款的现值为

第二年内所有付款的现值为

……

第n年内所有付款的现值为

因此该项年金的现值为：

*

每年支付m次的递增年金：

同一年的每次付款递增

两种方法计算现值：

〔1〕看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。

〔2〕建立新公式〔理解〕

*

〔1〕应用递增年金公式计算现值：

*

令

在式两边同时乘以，那么有

〔2〕建立新公式〔理解〕

*

上式两边同时乘以m，那么有

所以

*

比拟：

请写出累积值的公式。

问题：

如何应用上述公式？

〔每年付款m次，第一年的每次付款为1/m，第一年的付款总额为1〕

〔每年付款m次，第一次付款为1/m2〕

*

例：

写出下述年金的现值计算公式〔年利率i=10%）：

100

100

100

100

200

200

200

200

0

1

2

*

100

200

300

400

500

600

700

800

0

1

2

例：

写出下述年金的现值计算公式〔年利率i=10%）：

*

每年支付m次的递减年金〔理解，课外练习〕

*

5、连续支付的变额年金

（continuouslypayablevaryingannuity）

含义：

支付次数趋于无穷，即支付是连续进展的，但支付金额随时间呈离散变化。

连续支付的递增年金

连续支付的递减年金

假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如以下图所示：

*

连续支付的递增年金的现值为：

*

例：

一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。

解：

可以把这项年金分解为两项年金:

*

本例年金的现值为：

可以计算出

*

连续支付的递增年金的终值：

连续支付的递增永续年金的现值：

第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。

其现值为

*

连续支付的递减年金：

支付是连续进展的，但支付金额随时间离散递减。

第1年连续支付n元，第2年连续支付n-1元，直到第n年连续支付1元。

该年金的现金流如以下图所示。

*

上述年金的现值：

*

例：

一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6％，求其现值。

解：

其现值的表达式为：

因此本例年金的现值为：

*

变额年金公式小结

年金

递增年金

永续年金的

现值

现值

累积值

每年支付

1次

每年支付

m次

连续支付

*

年金

递减年金

现值

累积值

每年支付

1次

每年支付

m次

连续支付

*

6、连续支付连续递增的年金〔简称：

连续递增年金〕

〔continuouslyincreasingannuity〕

假设在时刻t的付款率〔paymentrate〕为t，常数利息力为d，那么连续支付连续递增年金的现值为：

注:

I和a上都有横线。

在时刻t的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.

*

上式右边可用分部积分法展开：

*

连续支付连续递增年金的终值为

*

例：

一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。

解：

分解成两局部：

连续支付连续递增的年金

连续支付的等额年金

其中：

*

例：

一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。

解：

假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，那么其终值可表示为：

从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：

因此，本例年金的终值为：

*

通过计算可得：

故本例年金的终值为：

*

连续支付连续递增的永续年金：

在连续支付连续递增年金的现值公式中，令n趋于无穷大，那么可以得到连续支付连续递增永续年金的现值公式：

*

例：

一项连续支付的永续年金在时刻t的付款比率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，那么其现值为：

*

7、连续支付连续递减的年金〔简称：

连续递减年金〕

（continuouslydecreasingannuity）

含义：

年金的支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，固定利息力为d。

其现值用符号表示。

连续支付连续递减年金的现值公式：

*

例：

一项10年期的年金，在时刻t的付款率为10-t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。

解：

现值：

终值〔累积值〕：

*

8、一般的连续支付连续变额现金流

现值：

假设付款时间是从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为rt，利息力为dt。

时刻t支付的1在时刻a的现值为〔下页图示〕

从时刻a到时刻b内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进展积分：

*

a

b

c

0

t

1

在0点的现值

累积到a点

在a点的现值

*

例：

一个连续支付的现金流

在时刻t的支付率为

利息力为

试计算此现金流在时刻零的现值。

解：

*

令

那么其现值为：

*

非立即支付现金流的现值：

一个现金流的起始时刻为a>0，完毕时刻为b，计算在0点的现值：

方法一：

计算此现金流在时刻a的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。

方法二：

改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：

*

例：

一个连续支付现金流的支付率为rt=3元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。

解：

改变对利息力积分的积分限，有：

*

另一种方法：

先计算现金流在时刻2的现值：

从时刻2到时刻零的贴现因子为：

因此上述现金流在时刻零的现值为：

*

终值：

在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为〔下页图示〕

为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进展积分：

*

a

b

c

0

t

1

在0点的现值

累积到b点

在b点的累积值

*

为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一时点c，有两种方法：

方法一：

计算在时刻b的终值，再累积到时刻c。

方法二：

改变积分上限得到在时刻c的终值：

*

例：

一个连续支付的现金流，其支付比率为，支付期间从时刻1到时刻6，并有固定利息力，试计算此现金流在时刻9的终值。

解：

现金流在时刻9的终值为：

*

另一种解法：

首先计算此现金流在时刻6的终值：

从时刻6到时刻9的累积因子为：

因此，该现金流在时刻9的终值为：

*

年金小结

*

年金

等额年金

永续年金的现值

现值

累积值

每年支付1次

每年支付m次

连续支付

*

年金

递增年金

递增永续年金的现值

现值

累积值

每年支付1次，每年递增1次

每年支付m次，每年递增1次

连续支付，

每年递增1次

连续支付，

连续递增

*

年金

递减年金

现值

累积值

每年支付1次，

每年递减1次

每年支付m次，

每年递减1次

连续支付，

每年递减1次

连续支付，

连续递减

*

考虑题：

比拟下述公式，指出它们之间的关系