第11章 图形的全等.docx
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第11章图形的全等
《第11章图形的全等》2010年单元复习测试卷
(一)
一、选择题(共9小题,每小题3分,满分27分)
1.如图,AB=DB,∠1=∠2,请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是( )
A.BC=BE
B.AC=DE
C.∠A=∠D
D.∠ACB=∠DEB
2.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短
B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
3.如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R、S,若AQ=PQ,PR=PS,则这四个结论中正确的有( )
①PA平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4.如图,要测量河两岸相对的两点A、B间的距离,先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D,使CD=BC,再在过D点的垂线上取点E,使A、C、E在一条直线上,这时,△ACB≌△ECD,ED=AB,测ED的长就得AB得长,判定△ACB≌△ECD的理由是( )
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
5.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图,EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7.△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点),则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形(不含△ABC)的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E;
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
9.如
(1)图,由已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE可证得AC⊥CE,若将CD沿CB方向平移到图
(2)(3)(4)(5)的情形,其余条件不变,则这四种情况下,结论AC1⊥C2E仍然成立的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)
10.如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE= 度.
11.如图,点D、E分别在线段AB、AC上,BE、CD相交于点O,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是.(答案不唯一,只要写一个条件)
12.如图,在等腰在△ABC中,AB=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若在△BCE的周长为50,则底边BC的长为
13.如图,已知正方形的边长为6cm,则图中阴影部分的面积是cm2.
14.已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF.
(1)添加条件∠A=∠D,OE=OF,试说明:
AB=DC;
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“OE=OF”记为②,“AB=DC”记为③.若以①、③为条件,以②为结论构成命题1;若以②、③为条件,以①为结论构成命题2.则命题1是命题,命题2是 命题(填入“真”或“假”).
三、解答题(共7小题,满分53分)
15.已知:
AB=DE,AF=CD,∠A=∠D,EF=BC,试说明:
BF∥CE.
16.如图,AD平分∠BAC,∠BAC+∠ACD=180°,E在AD上,BE的延长线交CD于F,连CE,且∠1=∠2,试说明AB=AC.
17.正方形网格中,小格的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上;
②连接三个格点,使之构成直角三角形.
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并求出这个直角三角形的面积.(要求:
三个网格中的直角三角形互不全等)
18.如图,正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.
(1)连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题“在旋转的过程中,线段DF与BF的长始终相等”是否正确?
若正确,请证明;若不正确,请举例说明;
(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转过程中,
你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等?
并以图为例说明理由.
19.如图:
AB⊥BC,DC⊥BC,E在BC上,AB=EC,BE=CD,EF⊥AD于F,
(1)试说明F是AD中点;
(2)求∠AEF的度数.
20.如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF,BD之间的位置关系为,数量关系为
②当点D在线段BC的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C,F重合除外)画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=4
2
,BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
21.将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
(1)求证:
AB⊥ED;
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.
答案
1
解答:
解:
A、添加BC=BE,可根据SAS判定△ABC≌△DBE,故正确;
B、添加AC=DE,SSA不能判定△ABC≌△DBE,故错误;
C、添加∠A=∠D,可根据ASA判定△ABC≌△DBE,故正确;
D、添加∠ACB=∠DEB,可根据ASA判定△ABC≌△DBE,故正确.
故选B.
2解答:
解:
加上EF后,原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF,故这种做法根据的是三角形的稳定性.
故选D.
3解答:
解:
(1)PA平分∠BAC.
∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,AP=AP,
∴△APR≌△APS,
∴∠PAR=∠PAS,
∴PA平分∠BAC;
(2)由
(1)中的全等也可得AS=AR;
(3)∵AQ=PR,
∴∠1=∠APQ,
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1,
又∵PA平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠1,
∴∠PQS=∠BAC,
∴PQ∥AR;
(4)∵PR⊥AB,PS⊥AC,
∴∠BRP=∠CSP,
∵PR=PS,
∴△BRP不一定全等与△CSP(只具备一角一边的两三角形不一定全等).
故选B.
4解答:
解:
∵AB⊥BC,DE⊥BC,
∴∠ABC=∠EDC=90°,
又CD=BC,
∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC
符合两角一边对应相等,所以利用的判定方法为ASA.
故选B.
5解答:
解:
利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3.
故选A.
6解答:
解:
∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C,AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM.
④CD=DN不能证明成立,3个结论对.
故选B.
7解答:
解:
分三种情况找点,
①公共边是AC,符合条件的是△ACE;
②公共边是BC,符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH;
③公共边是AB,符合条件的三角形有,但是顶点不在网格上.
故选D.
8解答:
解:
根据全等三角形的判定方法可知:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF,用的判定方法是“边边边”;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,用的判定方法是“边角边”;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F用的判定方法是“角边角”;
④AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,用的判定方法是“角角边”;
因此能使△ABC≌△DEF的条件共有4组.
故选D.
9解答:
解:
由题意可得,△ABC≌△CDE,∠ECD+∠ACB=90°,
而
(2),(3),(4),(5)均满足∠EC2D+∠AC1B=90°
∴
(2),(3),(4),(5)均成立
故选D.
10解答:
解:
∵△ABC与△DEF均是直角三角形,BC=EF,AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°.
故填90
11解答:
解:
补充条件为:
∠ADC=∠AEB.
∵∠A=∠A,AE=AD,∠ADC=∠AEB,
∴△ABE≌△ACD.
故填:
∠ADC=∠AEB.
12解答:
解:
∵DE垂直且平分AB,
∴BE=AE.
由BE+CE=AC=AB=27,
∴BC=50-27=23.
13解答:
解:
根据图形的对称性,知
阴影部分的面积=正方形的面积的一半=
1
2
×6×6=18(cm2).
14解答:
解:
(1)由已知,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,且OE=OF,
∴OB=OC,
又∵∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,
∴△ABO≌△DCO,
∴AB=DC,
(2)命题1:
①、③为条件,②为结论;
即∠A=∠D,AB=DC,
又∵∠AOB=∠DOC,
∴△ABO≌△DCO,
∴OB=OC,
又∵E为OB的中点,F为OC的中点,
∴OE=OF.
故命题1为真命题.
命题2:
②、③为条件,①为结论;
即OE=OF,AB=DC,
∴OB=OC,
∠DOC=∠AOB,
三个条件不能证明△ABO≌△DCO,
即得命题2为假命题.
15解答:
证明:
∵AB=DE,AF=CD,∠A=∠D,
则可得△ABF≌△DEC,
∴BF=EC,
又EF=BC,
∴可得四边形BCEF是平行四边形,
∴BF∥EC.
16解答:
证明:
∵∠BAC+∠ACD=180°,
∴AB∥CD,
∴∠1=∠B,
又∵∠1=∠2,
∴∠B=∠2,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE,
∵AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,
∴AB=AC.
17解答:
解:
画二个图供参考:
(每个图画对(3分),面积计算正确得(1分),两种情况共8分)
易得图1三边长为
10
、
10
、
20
,符合两边和的平方等于第三边的平方,面积为:
1
2
×
10
×
10
=5;
图2中三边长分别为
2
、
18
20
符合两边和的平方等于第三边的平方,面积为:
1
2
×
2
×
18
=3.
18解答:
解:
(1)不正确.
若在正方形GAEF绕点A顺时针旋转45°,这时点F落在线段AB或AB的延长线上.(或将正方形GAEF绕点A顺时针旋转,使得点F落在线段AB或AB的延长线上).如图:
设AD=a,AG=b,
则DF=
a2+2b2
>a,
BF=|AB-AF|=|a-
2
b|<a,
∴DF>BF,即此时DF≠BF;
(2)连接BE,可得△ADG≌△ABE,
则DG=BE.如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵四边形GAEF是正方形,
∴AG=AE,
又∠DAG+∠GAB=90°,∠BAE+∠GAB=90°,
∴∠DAG=∠BAE,
∴△DAG≌△BAE,
∴DG=BE.
19解答:
解:
(1)由题意,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=EC,BE=CD;
所以△ABE≌△ECD,
即AE=ED,
又EF⊥AD,
即可得证F是AD是中点.
(2)由
(1)得,∠AEB+∠CED=90°;
所以∠AED=90°,
所以△AED为等腰直角三角形,
所以∠AEF=45°.
20解答:
解:
(1)①CF与BD位置关系是垂直,数量关系是相等
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)当∠BCA=45°时,CF⊥BD(如图)
理由是:
过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
可证:
△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
(3)当具备∠BCA=45°时,
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,(如图),
∵DE与CF交于点P时,此时点D位于线段CQ上,
∵∠BCA=45°,AC=2
2
,
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2.
设CD=x,∴DQ=2-x,
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°,
∴∠ADQ+∠PDC=90°,
又∵在直角△PCD中,∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC,
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP,
∴
CP
DQ
=
CD
AQ
,∴
CP
2-x
=
x
2
-
1
2
.
∴CP=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
.
∵0<x≤
3
2
,
∴当x=1时,CP有最大值
1
2
.
21解答:
证明:
(1)由题意得,∠A+∠B=90°,∠A=∠D,
∴∠D+∠B=90°,
∴AB⊥DE.(3分)
(2)∵AB⊥DE,AC⊥BD
∴∠BPD=∠ACB=90°
∴在△ABC和△DBP,
∠A=∠D
∠BPD=∠BCA
PB=BC
,
∴△ABC≌△DBP(AAS).(8分)
说明:
图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对:
△APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM.
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