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必修一数学家教讲义
人教版高中数学必修一
————各章节知识点与重难点
第一章集合与函数概念
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
(1)元素的确定性;
(2)元素的互异性;(3)元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C,……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,……表示元素
如:
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,如果a不属于集合A记作a
A
3、常用数集及其记法
非负整数集(即自然数集)记作:
N;正整数集记作:
N*或N+;整数集记作:
Z;有理数集记作:
Q;实数集记作:
R
4、集合的表示法
(1)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(2)描述法:
用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:
例:
不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
(3)图示法(Venn图)
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
1.1.2集合间的基本关系
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A
B
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
3、真子集
如果A
B,且A
B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
B(或B
A)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.
【重点】子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系
【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
1.1.3集合的基本运算
【知识要点】
1、交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(2)补集
设U是一个集合,A是U的一个子集(即A
U),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)。
记作:
CUA,即CSA={x|x
U且x
A}
(3)性质
CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U;
(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B),(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B).
【重点】集合的交集、并集、补集的概念
【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
而y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
【注意】函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.(很容易疏忽)
【如何求定义域】
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
2、构成函数的三要素(缺一不可)
定义域、对应关系和值域
3、如何判断两个函数是否相同?
(1)定义域一致;
(2)表达式相同(两点必须同时具备)
4、常用的函数表示法
解析法:
(必须注明函数的定义域)、图象法、列表法
5、分段函数、复合函数y=f(u)u=g(x)
6、函数图象画法
A、描点法
B、图象变换法
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
(Ⅰ)对称变换
①将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:
书上P21例5
②y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。
如
(Ⅱ)平移变换
由f(x)得到f(x
a)左加右减;
由f(x)得到f(x)
a上加下减
7、映射
定义:
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
A
B”
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大(小)值
【知识要点】
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 区间D称为y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 【注意】函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法 ①任取x1,x2∈D,且x1 ②作差f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性: 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 同增异减 5、函数的最大(小)值定义 6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数在x=b处有最大值f(b); 函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数在x=b处有最小值f(b); 【习题传递】 一、选择题: 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是() A.y=2x+1B.y=3x2+1 C.y= D.y=2x2+x+1 2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f (1)等于() A.-7B.1 C.17D.25 3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是() A.(3,8)B.(-7,-2) C.(-2,3)D.(0,5) 4.函数f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是() A.(0, )B.( ,+∞) C.(-2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内() A.至少有一实根B.至多有一实根 C.没有实根D.必有唯一的实根 6.已知函数f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么函数g(x)() A.在区间(-1,0)上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数 7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是() A.(-1,2)B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞)D.(-∞,-1)∪[2,+∞) 8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5+t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的是() A.f(-1)<f(9)<f(13)B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13)D.f(13)<f(-1)<f(9) 9.函数 的递增区间依次是()A. B. C. D 10.已知函数 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围是() A.a≤3B.a≥-3C.a≤5D.a≥3 11.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=0,则() A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(-3)D.f (2)<f(3) 12.函数f(x)=-x3+1在R上是否具有单调性? 如果具有单调性,它在R上是增函数还是减函数? 试证明你的结论. 19.试讨论函数f(x)= 在区间[-1,1]上的单调性. 21.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围. 22.已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞] (1)当a= 时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 1.3.2函数的奇偶性 【知识要点】 1、偶函数定义(关于y轴对称) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 2、奇函数定义(关于原点对称 .) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称(这一步很重要) ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出相应结论: 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 【重点】函数的奇偶性的定义 【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式 【习题传递】 一、填空题 1.已知函数f(x)=1+ 是奇函数,则m的值为________. 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)=________. 3.已知函数f(x)=a- ,若f(x)为奇函数,则a=________. 4.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 5.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间 [0,7]上只有f (1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 第二章基本初等函数 2.1指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 【知识要点】 1、根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 =0. 【注意】 (1) (2)当n是奇数时, ,当n是偶数时, 2、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义,规定: (2)正数的正分数指数幂的意义: (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 【注意】 在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 【重点】分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质 【难点】根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 2.1.2指数函数及其性质 【知识要点】 1、指数函数的概念 一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 2、指数函数的图象和性质 0 a>1 图象 性质 定义域R,值域(0,+∞) (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数
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