义务教育阶段数学课程标准内容与阐释.docx
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义务教育阶段数学课程标准内容与阐释
第二篇《标准》的主要内容与阐释
第四章内容领域及其框架分析
第一节数与代数
数与代数的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,有着重要的教育价值。
与传统的中小学数学的有关部分相比,《标准》中“数与代数”这一学习领域,无论从目标、内容、结构还是教学活动等方面都有比较大的变化。
理解九年义务教育数学课程中“数与代数”部分的教育价值、设计思路、内容安排以及教学方法的特点等,对于有效地实施和贯彻《标准》是非常重要的。
长期以来,数与代数的内容在中小学数学中占有很大的比重,我们在这方面也积累了许多教学经验。
但按照新的时代要求和新的教育理念来看,其中的问题也不少。
例如,过分追求科学性和系统性,内容庞杂甚至显得繁琐臃肿;过分追求“形式化”,忽视与生活实际的联系,课程中充斥着繁琐的计算和推导,但是学生不理解问题的本质,看不到数学的用处,体会不到数学的价值,更不会用学到的知识去解决问题;许多学生感到数学“枯燥无味”;失去对数学学习的兴趣和信心。
《标准》对“数与代数”部分的改革进行了认真的研究和思考,进一步明确了改革的方向,特别表现在:
重视对数的意义的理解,培养学生的数感和符号感;淡化过分“形式化”和记忆的要求,重视在具体情境中去体验、理解有关知识;注重过程,提倡在学习过程中学生的自主活动,培养发现规律、探求模式的能力;注重应用,加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养;提倡使用计算器,降低对运算复杂性和速度的要求,注重估算等。
一、“数与代数”的教育价值
“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数,它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界。
这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面:
(1)能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系,认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言,方程、不等式与函数是现实世界的数学模型,从而认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,从中感受到数学的价值,初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活和其他学科学习中的问题,增强应用意识,培养初步的应用能力。
(2)在“数与代数”的学习过程中,通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索,数的概念的建立、扩充以及数的运算,公式的建立和推导,方程的建立和求解,函数关系的探究等活动,促进学生对数学学习的兴趣,提高解决问题的能力和自信心,培养学生初步的创新意识和发现能力。
(3)在“数与代数”中,不仅知识中存在着对立和统一(例如,正数与负数、加法与减法、乘方与开方、常量与变量、精确与近似等),而且研究过程中也充满了对立与统一(例如,已知与未知、特殊与一般、具体与抽象、实践与理论等)。
同时,在变量和函数的研究中还充满着运动、变化的思想,而且在“数与代数”的其他部分的研究中,从运动和变化的观点来考察,也能使认识更加深刻。
因此,这部分的学习,必将有助于培养学生的辩证唯物主义观点,有利于学生用科学的观点认识现实世界。
《标准》理念指导下的数与代数,将呈现给学生大量丰富的现实背景,并以学生已有的经验为出发点,关注知识的形成过程,关注学生的学习兴趣和自信心,关注学生探究和运用数学能力的发展,将改变“数与代数”这部分内容烦琐乏味的状况。
《标准》理念指导下的数与代数,将能够发展学生的数感、符号感、估算意识以及把现实问题数学化的能力,并逐渐形成理性的力量。
字母表示的思想,深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性,把认识和推理提到一个更高的水平。
代数式、表格、图像等多种表示手段,不仅为数学表示和交流提供了有效的途径,而且为解决问题提供了重要的工具。
方程、不等式中反映的数学模型的思想和方法,将帮助人们更准确、更清晰地认识和描述现实世界,并解决有关的实际问题。
凡此种种,都将对培养学生良好的素质、促进学生的全面发展具有重要的价值。
二、课程内容加强的方面及其依据
与传统的数与代数的内容相比,虽然《标准》的某些标题从表面看来似乎没有多大变化,但是,《标准》在“数与代数”各部分内容的具体要求和处理方式上,有了许多实质性的改变。
究竟《标准》增加了哪些内容?
加强了哪些方面?
减少了哪些要求?
淡化了哪些方面?
为什么要做这样的改变?
这些问题是我们领会《标准》、贯彻《标准》必须解决的。
1.强调通过实际情境使学生体验、感受和理解数与代数的意义。
《标准》在总体目标中提出,要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌握数与代数的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题”,“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维”(《标准》第6页)。
“经历”是数学学习的过程性目标,是指“在特定的数学活动中,获得一些初步的经验”。
让学生经历就必须有一个实际的情境,使学生在实际情境中通过活动体会数学、了解数学、认识数学。
“数与代数”的重要概念,例如数、代数式、方程、不等式、函数等,都是从人们生活和生产的需要中产生和发展起来的。
数与代数本身具有抽象性,但所反映的内容又是非常现实的,与人们的生活、生产有着十分密切的联系。
数与代数的学习不仅要使学生掌握必要的知识和技能,而且要使学生在学习过程中体验、感受、理解这些知识的来源、现实背景和本质,形成数感和符号感,认识数学与生活的密切联系,了解数学的价值,提高提出问题、分析问题和解决问题的能力。
因此,数与代数的学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的,应该通过实际情境使学生了解数与代数的意义,让学生经历探索和发现的过程,在现实背景下感受和体验有关的知识。
在第一学段中,《标准》提出:
“在教学中,要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物,通过观察、操作、解决问题等丰富的活动,感受数的意义,体会数用来表示和交流的作用,初步建立数感”(《标准》第12页)。
在第二学段中,《标准》提出:
“教学时,应通过解决实际问题进一步培养学生的数感,增进学生对运算意义的理解”;“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系,并运用所学知识解决问题的过程”(《标准》第20页)。
在第三学段中,《标准》提出:
“在教学中,应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律,注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程,应加强方程、不等式、函数等内容的联系,介绍有关代数内容的几何背景”(《标准》第31页)。
《标准》在各学段数与代数内容的具体目标中更是十分强调这一点,诸如“在具体情境中认识……”“结合现实情境感受……”“通过具体问题认识……”“在解决具体问题的过程中体会……”“能找出生活中的……并进行交流”等等提法在《标准》的叙述中随处可见。
例如,对于“数的认识”,《标准》在第一学段中提出这样的要求:
“结合现实素材感受大数的意义,并能进行估计”“能结合具体情境初步理解分数的意义”“能运用数表示日常生活中的一些事物,并进行交流”(《标准》第12页)。
在第二学段又提出:
“在热悉的生活情境中了解负数的意义,会用负数表示一些日常生活中的问题”“结合现实情境感受大数的意义,并能进行估计”“进一步体会数在日常生活中的作用,会运用数表示事物,并能进行交流”(《标准》第20页)。
对于“数的运算”,《标准》在第一学段中提出这样的要求:
“结合具体情境,体会四则运算的意义”“能结合具体情境进行估算,并解释估算的过程”“经历与他人交流各自算法的过程”“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题,并能对结果的合理性进行判断”(《标准》第13页)。
在第二学段又提出:
“能结合现实素材理解运算顺序,并进行简单的整数四则混合运算”“在具体运算和解决简单实际问题的过程中,体会加与减、乘与除的互逆关系”“在解决具体问题的过程中,能选择合适的估算方法,养成估算的习惯”(《标准》第21页)。
“数的运算”非常重要,以致于占据子现行小学数学教学的绝大部分空间,因此有必要做进一步的讨论。
要正确认识计算在数学教育中的作用。
计算是帮助我们解决问题的工具,在具体的情境中才能真正认识计算的作用。
如果把计算放在整个数学体系之中,让学生了解为什么要计算,选择什么方法进行计算,学生就会将计算作为解题的一个组成部分,把计算与实际问题情境联系起来。
有学者认为,“因为直到近来,机器才能做一些运算,所以很久以来一直有必要教会人们用一些缓慢的而又不可靠的纸笔方法进行这些运算。
在这一过程中,我们一直(并不聪明地)将几乎所有我们在教学上的努力和测试项目投入于这些运算。
”●美国NCTMl989年《学校数学课程与评价标准》中对计算问题有一段论述(见下页图),我们从中可以得到一些启示。
(●格劳斯.数学教与学研究手册.上海:
上海教育出版社,1999)
如果按这种观念认识数学i认识计算在数学教育中的作用,就可以看到,首先应当让学生理解的是面对具体的情形,确定是否需要计算,然后再确定需要什么样的计算方法。
口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方式,都可以达到箅出结果的目的。
运算概念的建立,需要时间充分和情境丰富的过程。
在学生获得丰富经验后,抽象的运算式才对他们有意义。
如,减法意味着什么?
人们可能会回答,就是“取走”的意思。
乘法是什么?
回答很可能会是“重复的加法”,因为这是大部分小学教科书中给出的定义。
类似地,除法的意思是分为相等的部分,或重复的减法,求幂的运算意味着重复的乘法。
这些定义能够很好地运用于整数,但是它们不适用于分数、小数、百分数和负数。
“取走”并不能解释为什么6℃比—4℃要高10℃;“重复的加法”并不能很好地解释为什么用9.25×12.417(或
)去计算长方形房间的面积;分为相等的部分,或重复的减法也不能很好地解释为什么用除法去确定一个用11.35秒跑完100米的赛跑者的速度。
类似地,重复的乘法不能解释为什么算式500~1.062.5给出了本金为500元、以每年6%的利率、在两年半的时间里本息的情况。
因此,重要的是,利用情境、操作工具、图片、图表、符号等,探索小数、分数、百分数、有理数、实数等之间的关系,使学生理解运算的意义,这个过程不是短时间可以奏效的。
计算器的无处不在,已不再需要学生完全运用纸和笔对问题进行解答,但是一些基本的联系仍然需要学生很好地理解。
如减法和比较相联系、乘法和面积(或体积)相联系、除法和变化率相联系、幂运算和增长相联系等。
对于“式与方程”,《标准》在第二学段中提出这样的要求:
“在具体情境中会用字母表示数”“会用方程表示简单情境中的等量关系”(《标准》第21页)。
在第三学段中,对于“数与式”,《标准》提出这样的要求:
“在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义”“能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示”“能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义”(《标准》第32页)。
比如,在某地,人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系:
记录蟋蟀每分叫的次数,用这个次数除以7,然后再加上3,就得到当时的温度。
温度(℃)与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是:
温度=蟋蟀每分叫的次数÷7+3。
试用字母表示这一关系(《标准》第35页)。
如果用a表示蟋蟀每分叫的次数,用t表示温度,则t=a÷7+3,或
。
当把这个表达式与“温度=蟋蟀每分叫的次数÷7+3”对比时,学生就会很好地理解字母所表示的含义。
又比如,本书前面曾提到的问题(参见本书第136页):
6p可以表示什么?
当把字母表达式与实际背景联系起来时,学生可以有多种解释。
对于“方程与不等式”,《标准》提出这样的要求:
“能够根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”“经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程”“能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理”“能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质”“能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题”(《标准》第33页)。
对于“函数”,《标准》提出这样的要求:
“探索具体问题中的数量关系和变化规律”“通过简单实例,了解常量、变量的意义”“能结合实例,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例”“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”“能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系”“结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测”“结合具体情境体会一次函数的意义”“能用一次函数解决实际问题”“结合具体情境体会反比例函数的意义”“能用反比例函数解决某些实际问题”“通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义”(《标准》第33~34页)。
如,温度的变化是人们经常谈论的话题。
为了能够更直观地了解温度的变化情况,人们经常把温度与时间的关系用曲线表示出来。
请你根据下图,与你的同伴谈论一下一天之内温度变化的情况。
(1)上午9时的温度是多少?
12时呢?
(2)这一天的最高温度大约是多少?
是在几时达到的?
最低温度
呢?
(3)这一天的温差是多少?
从最低温度到最高温度经过了多长时
间?
(4)在什么时间范围内温度升高?
在什么时间范围内温度下降?
(5)图中的点A表示什么?
点B呢?
这一问题选用了学生熟悉的实际生活背景,利用问题串的形式引导学生逐步获得图象所传达的信息,逐步熟悉图象语言。
图象对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义,图象表示以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。
以上所列举的《标准》中对于数与代数内容的具体目标,既是对有关内容的要求,也反映了学习有关内容的过程。
按照《标准》的这些要求,在实施和贯彻《标准》的过程中,应该充分认识通过现实情境来理解有关概念的意义,提供切合学生实际的问题情境。
在《标准》中,每一学段都提供了相当多的“案例”,“数与代数”的案例可以说多半是关于这方面的。
如第一学段“数与代数”总共8个案例,其中6个案例(例2~例7,《标准》第13--14页)是说明上述要求的,第二学段中的例1--例4、例6和例8(《标准》第22--23页),第三学段中的例1、例3一例5和例8一例10(《标准》第35--36页)也都是反映这些要求的。
通过这些案例,我们可以更好地领会和贯彻这些要求。
2.增强应用意识,渗透数学建模思想。
对于新课程来说,最重要的是使学生真正理解数学。
在这个意义下,数学建模和数学应用被证明是非常成功的。
众所周知,数学有着广泛的应用,这是数学的基本特征之一。
生产和科学技术的不断发展,为数学的应用提供丁广阔的前景。
应用数学的地位日益上升,数学建模成了数学和科学工作者面临的重大课题。
100年前,就有许多数学家和数学教育家提出了“注重应用”的口号,并提出了许多具体的建议。
20世纪80年代,美国提出了“问题解决”(ProblemSolving)的口号,并为各国数学教育界所普遍接受。
在这样的背景下,相对于大量的数学计算和推理,相对于数学知识和技能的积累,数学的应用或者说数学建模在学校教育中的作用显得越来越重要了。
那么,什么是数学模型呢?
按照徐利治先生在(数学方法论选讲)一书中的提法,可以做这样的解释:
所谓数学模型,是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系,采用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
徐利治先生在该书中还对数学模型作了广义解释:
凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程(代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程……)以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为数学模型。
数学建模的过程,大致可用如下框图来说明:
“数与代数”的一些重要课题(如方程、不等式、函数等),都是刻画现实世界的数学模型,方程(或不等式)是刻画现实世界数量关系(相等或大小)的数学模型,函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型,一次函数反映了均匀(等速、线性)变化的规律,二次函数则反映了等加速的变化规律。
现实世界的这些问题是常见的,并且对它们的研究具有典型的意义,这就决定了这些内容的重要性。
在数与代数的教学中,应该结合具体的教学内容采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程来进行。
在教师的指导下,让学生投入解决问题的实践活动,自己去研究、探索,经历数学建模的全过程,从而体会方程、不等式、函数等是现实世界的数学模型,初步领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。
应该看到,数与代数的一些内容,在传统数学中也占有重要的地位。
但在传统的数学中,重视的往往是这些数学内容本身,而忽视了这些内容所反映的重要的数学思想和教育价值。
就拿方程来说,在传统的教学中,注重的是有关的概念和技能,如方程的等价性、方程解的讨论、方程的解法等等。
尽管有相当一部分内容讲“列方程解应用题”,而且历来被看做是教学的重点和难点,但在教学中,教师满足于头头是道地给学生分析等量关系,机械地列出方程、解答问题;更有甚者,给学生把问题分类,并就每一类问题提供主要的等量关系和解题套路,什么行程问题、浓度问题、工程问题,行程问题又分成什么同向(追及)问题、相向(相遇)问题、圆周运动问题等等,不一而足。
这样的教学,没有探索,没有研究,也没有挑战性,有的只是被动的接受和机械的模仿、操练,使具有良好教育作用的课题变了味,学生体会不到方程是现实世界的数学模型,更没有经历数学建模的过程,应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。
我们应该按照《标准》的要求,“能够根据具体问题中的数量关系,列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”“经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程”(《标准》第33页)。
在教材编写和教学活动中,千万不要把各种应用题的解法当做现成的结论来教,而是应尽可能给学生提供合适的问题,鼓励学生积极参与解决问题的活动,自己去探索、研究、寻求具体问题中的数量关系,进而列出方程,解决问题。
在经历若干次这样的活动后,使学生感受到方程与实际问题的联系,体会到方程是刻画现实世界的数学模型,领会数学建模的思想和基本过程,提高解决问题的能力和自信心。
同样的思想用于不等式和函数的研究,《标准》提出了类似的要求。
例如,要求“能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题”“探索具体问题中的数量关系和变化规律”“能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系”“结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测”以及要求能用一次函数、反比例函数、二次函数等解决简单的实际问题。
除了教材和教师提出合适的实际问题外,特别应该鼓励教师积极创造条件,组织学生深入社会调查、收集、提出生活或生产中的实际问题,并尝试用所学的知识予以解决。
顺便要说的是,在建立实际问题的数与代数模型时,字母(表示数)符号是基本的数学语言。
用x表示实际问题中的未知量,通过分析问题中已知量与未知量的相等(或大小)关系,“翻译”成表示未知数x和已知数之间相等(或大小)关系的方程(或不等式),即得到刻画实际问题的相等(或大小)关系的数学模型。
同样,在研究一个变化过程的变化规律时,为了用数学来刻画,我们用字母x,y分别表示实际问题中的自变量和因变量,通过分析问题中变量之间的关系,“翻译”成表示变量x和y之间的关系式,即得到刻画实际问题中变化规律的数学模型。
解决这些数学问题,实际上也就归结为数与式的运算以及等式(不等式)的变形,而通过具体问题的数学建模活动,又反过来促使学生数感和符号感的形成。
由此我们看到,在数与代数的教学中,数学建模是一条主线。
当然,我们并不提倡用过多的有关“数学建模”的术语,主要还是通过具体问题的提出和解决过程让学生体会到数学建模的思想。
3.加强学生的自主活动,重视对数与代数规律和模式的探求。
当代学习理论告诉我们,学习不再被看成是一种被动地吸收知识、通过反复练习强化储存知识的过程,而是用学生原有的知识处理新的任务,并构建他们自己的意义的过程。
数学是关于模式的科学,数与代数中有大量的规律、公式和算法。
对于数与代数的学习来说,重要的是要让学生学会探求模式、发现规律,而不是死记结论,死套公式和法则。
只有经过自己的探索,才能不仅“知其然”,而且知其“所以然”,才能真正获得知识,懂得公式的意义,掌握公式的应用。
而且通过探求若干公式的活动,可以提高探索能力,也有利于掌握数与代数的运算和规律。
《标准》在“数与代数”的内容目标中,作了许多具体的规定。
在第一、二学段都把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面(《标准》第11页),要求“探索并理解简单的数量关系”(《标准》第12页),“探索和理解运算律”(《标准》第20页),“探索具体问题中的数量关系和变化规律”(《标准》第33页)等等,井提供了不少案例,如《标准》第14页例8,第22页例8~例10,第35页例4、例8、例9、例11等。
在数与代数的教学中,应给学生留有充分的自主活动的时间和空间,激发学生的学习积极性,提供从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数与代数的最基本的知识、技能和思想方法,获得广泛的数学活动经验,提高探索、发现和创新能力。
4.重视计算器和计算机的使用。
计算器和计算机的逐步普及,对数学教育产生了深刻的影响。
因此《标准》强调,“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”(《标准》第2页)。
一方面,计算器可以使学生从繁琐的纸笔计算中解放出来,也为解决实际问题提供了有力的工具。
另一方面,计算器和计算机对学生的数学学习方式也有很大的影响。
计算器可以帮助学生探索数学规律,理解数学概念和法则。
第二学段的具体目标中规定,“能借助计算器进行较复杂的运算,解决简单的实际问题,探索简单的数学规律”(《标准》第21页)。
在第三学段,初学有理数的运算法则时,可以将纸笔计算(或口算)与计算器计算的结果相对照,对于数值(绝对值)较复杂的运算应鼓励学生尽量使用计算器。
在学习实数时,要求“会用计算器求千方根和立方根”“能用有理数估计一个无理数的大致范围”“在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值”(《标准》第32页)。
学生应当了解什么样的问题需要用计算器,以及如何运用计算器。
在探索现实问题和需要进行较复杂的计算时,就应当鼓励学生使用计算器,慢慢养成像使用纸笔那样使用计算器的习惯。
这里我们也看到,在加强使用计
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