中考数学关于圆的基础知识.docx
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中考数学关于圆的基础知识
中考数学关于圆的基础知识
一、圆
1、圆的有关性质
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。
由圆的意义可知:
圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。
就是说:
圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。
心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆
l、过三点的圆
过三点的圆的作法:
利用中垂线找圆心
定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法
反证法的三个步骤:
①假设命题的结论不成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
例如:
求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明:
设有两个以上是钝角
则两个钝角之和>180°
与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推理1:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2:
圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。
推理:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3:
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆
定理:
圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图6—1,连EF后,可得:
∠DEF=∠B
∠DEF+∠A=180°
∴∠A+∠B=18ry
∴BC∥DA
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
直线和圆相交
d<r;直线和圆相切
d=r;直线和圆相离
d>r;直线和圆相交
d<r
例如:
图6-2中,直线与圆O相割,有:
r>d
图6-3中,直线与圆O相切,r=d
图6-4中,直线与圆O相离,r<d
八、切线的判定和性质
切线的判定:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径
推理1:
经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
推理2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
例如图6-5中,O为圆心,AC是切线,D为切点。
∠B=90°
则有BC是切线
OD是半径
OD⊥AC
九、三角形的内切圆
要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切
∵分角线上的点到角的两边距离相等。
∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图6-6
B、C为切点,O为圆心。
AB=AC,∠1=∠2
十一、弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
例如图6-7,AB为切线,
则有:
∠C=∠BAE,∠BAE=∠D
∴∠C=∠D
十二、和圆有关的比例线段
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推理:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推理:
从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图6-8,若F为切点
则有:
AF2=AH·AC,AG·AB=AF2
EM·MD=BM·MG
CN·NH=DN·NE
十三、圆和圆的位置关系如图6-9
若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则:
1、两圆外离
d>R+r;
2、两圆外切
d=R+r;
3、两圆相交
R-r<d<R+r(R>r)
4、两圆内切
d=R-r;(R>r)
5、两圆内含
d<R-r。
(R>r)
定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6-10,O1,O2为圆心,
则有:
AB⊥O1O2,且AB被O1O2平分
十四、两圆的公切线
和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6-11,若A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长
内外公切线中的重要直角三角形,如图6-12,OO1A为直角三角形。
d2=(R-r)2+e2为外公切线长,
又如图6-13,OO1C为直角三角形。
d2=(R十r)2+e’2为内公切线长。
十五、相切在作图中的应用
生活、生产中常常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图6-14
十六、正多边形和圆
各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。
定理:
把圆分成n(n>3)等分:
(l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形;
(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
定理:
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。
正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。
正n边形的每个中心角等于
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。
若n为偶数,则正n边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。
十七、正多边形的有关计算
正n边形的每个内角都等于
定理:
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
十八、画正多边形
1、用量角器等分圆
2、用尺规等分圆
正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。
正五边形的近似作法;
二十、圆周长、弧长
1、圆周长C=2πR;2、弧长
二十一、圆扇形,弓形的面积
l、圆面积:
;
2、扇形面积:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为:
注意:
因为扇形的弧长
。
所以扇形的面积公式又可写为
(3)弓形的面积
由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
若弓形的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图
1、圆柱的侧面展开图
圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的,如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。
(图6一16)
AB叫圆柱的轴,圆柱侧面上平行轴的线段CD,C’D’,…都叫圆柱的母线。
圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高。
圆柱的两个底面是平行的。
圆柱的侧面展开图是一个长方形,如图6-17,其中AB=高,AC=底面圆周长。
∴S侧面=2πRh
圆柱的轴截面是长方形一边长为h,一边长为2R
R是圆柱底半径,h是圆柱的高。
见图6-8
(2)圆锥的侧面展开图
圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。
如图6-19,把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。
旋转轴SO叫圆锥的轴,连通过底面圆的圆心,且垂直底面。
连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线,母线长都相等。
圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB
半径是母线长,AB是2πR。
(底面的周长),所以圆锥侧面积为S侧面=πRL
例题:
例1、如图7.2-1,AB是⊙O的直径,AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB,
1、求证:
⊙O与CD相切;
2、若CD=3,求AD•BC.
[特色]本题来源于教材,主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.
[解答]
(1)过O点作OE⊥CD于E.
∵AD⊥CD,BC⊥CD,∴AD∥OE∥BC,
又∵AO=BO,∴DE=CE,
∴OE=
(AD+BC).而AB=AD+BC,
∴OE=OA,而OE⊥CD,∴⊙O与CD相切.
(2)连结AE、BE,∵⊙O与CD相切,
∴OE⊥CD,∠BAE=∠BEC.而∠BAE=∠OEA,∠OEA+∠DEA=90
,
∴∠DEA+∠BEC=90
.又∵AD⊥CD,∴∠DEA+∠DAE=90
,
∴∠DAE=∠BEC,∴△AED∽△EBC,
∴AD•EC=DE•BC,即AD•BC=DE•EC=
=
.
例2、如图7.1-2.已知,AB为⊙O的直径,D为弦AC的中点,BC=6cm,则OD=.
[特色]以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.
[解答]由三角形的中位线定理知OD=
BC
例3、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆,∠C=
AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于().
A、
B、
C、
D、
[特色]本题考查内心的性质.
[解答]过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则(4-R)∶4=R∶1,解之得R=
选A.
例4、圆内接四边形ABCD,∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3,则这个四边形的最大角是.
[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.
[解答]设A=x,则∠B=2x,∠C=3x.∵∠A+∠C=180
,∴x+3x=180
,∴x=45
.
∴∠A=45
,∠B=90
,∠C=135
,∠D=90
.
∴最大角为135
.
例5、如图7.5-1,O
和O
外切于点C,直线AB分别外切⊙O
于A,⊙O
于B,⊙O
的半径为1,AB=2
,则⊙O
的半径是.
[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型,着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.
[解答]
(1)选B,利用两圆相交,连心线垂直平分公共弦,再根据勾股定理可求得.
例6、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周,所得圆柱的表面积为cm
.
[特色]考查圆柱的表面积的计算,着眼于考查学生思维的全面性.
[解答]以边长为4cm作母线所得到的圆柱的表面积为80
;以边长为6cm作母线所得到的圆柱的表面积为120
.
例7、如图7.6-2,正六边形内接于半径为1的圆,其中阴影部分的面积是.
[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.
[解答]答案:
.作半径,用扇形的面积减去三角形的面积.
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