四年级奥数题.docx
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四年级奥数题
第20讲长方形和正方形的周长
同学们都知道,长方形的周长=(长+宽)x2,正方形的边长=边长x4.通过周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用知识巧求表面上看起来不是长方形和正方形的周长,掌握转化的思考方法,把复杂图形转化为标砖图形,来求周长。
长方形和正方形
(一)
例1.有一块长8分米,宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正方形。
拼成的正方形的周长是多少分米?
练习:
两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后,周长比原来的两个正方形周长的和减少6厘米。
原来一个正方形的周长是多少厘米?
例2:
求图3的周长。
(单位:
米)
图3
例3:
图7是一座厂房的平面图,求这座厂房平面图的周长。
练习1:
图9是个多边形,图中每个角都是直角,它的周长是多少?
练习2:
一个正方形被分成3个大小、形状完全一样的长方形(如图10),每个小长方形的周长都是24厘米,求这个正方形的周长。
图10
例4:
图11是由四个一样大的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形。
每个长方形的长和宽各是多少?
周长是多少?
练习题:
1.把一个长10厘米,宽5厘米的长方形,分成两个大小一样的正方形,每个正方形的周长是多少?
2.用一个长8厘米,宽4厘米的长方形与7个边长4厘米的正方形,拼成一个大正方形。
拼成的大正方形的周长是多少?
3.求图12、图13的周长。
4.图14是一座楼房的平面图,这座楼房平面图的周长是多少米?
5.
有两个相同的长方形,长7厘米,宽3厘米,把它们按图(16)的样子重叠在一起,这个图形的周长是多少厘米?
6.一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形(如图17),每个长方形的周长都是14厘米。
原来正文武的周长是多少厘米?
7.一块长方形布,周长是18米,长比宽多1米,这块布的长是几厘米?
宽是几米?
例5:
用一个长8厘米、宽4厘米的长方形与7个边长为4厘米的正方形,拼成一个大正方形。
拼成的大正方形的周长是多少?
练习1:
把一个正方形分成甲、乙两部分,比较甲、乙两部分周长的长短,求出乙的周长。
长方形和正方形
(二)
例1.一块长方形土地,长是宽的2倍,中间有一座雕塑,雕塑的底面是一个正方形,周围是草坪(如图1),草坪的面积是多项式少平方米?
例2.图2是由6个相等的三角形拼成的图形,求这个图形的面积。
例3.如图4,正方形中套着一个长方形,正方形的边长是15厘米,长方形的四个角的顶点,恰好分别把正方形四条边都公成两段,其中长的一段是短的2倍。
这个长方形的面积是多少?
∵长方形的四个角的顶点恰好分别把四条边都分成两段,其中长的一段是短的一段的两倍,
∴在组成的大三角形中,两条直角边均为15×2/3=10(厘米)
在组成的小三角形中,两条直角边均为15×1/3=5(厘米)
利用勾股定理,求出长方形的长和宽:
长^2=10^2+10^2=200
长=10√2(厘米)
宽^2=5^2+5^2=50
宽=5√2(厘米)
长方形面积=长×宽=10√2×5√2=100(平方厘米)
例4.如图5,已知正方形ABCD的边长为6分米,长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米,求阴影部分和面积。
分析:
长方形BCEF的面积=长方形BCHG的面积+阴影部分面积=24(平方分米)
(1)
长方形AGHD的面积=长方形AFDE的面积+阴影部分面积=20(平方分米)
(2)
正方形ABCD的面积=长方形AFDE的面积+阴影部分面积+长方形BCHG的面积=36(平方分米)(3)
(1)式+
(2)式得到:
长方形BCHG的面积+长方形AFDE的面积+2阴影部分面积=44(平方分米)(4)
你用(4)式-(3)式可以得到:
阴影阴影部分面积=12(平方分米)
所以阴影阴影部分面积等于12平方分米。
1.用长36厘米长的一根铁丝围成一个正方形,它的面积是多少?
用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形,它的面积是多少?
2.有一个长方形的市民广场,长100米,宽80米。
广场中间留了宽4米的人行道,把广场平均分成四块(如图6),每一块的面积是多少?
3.图7是由12个相等的三角形拼成的,这个图形的面积是多少?
4.如图10,一个正方形中套着一个长方形,已知正方形的边长是16分米,长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段,其中长的一段是短的3倍。
阴影部分的面积是多少?
5.图11中阴影部分的面积是多少?
【题目】:
【解析】:
解法一:
先由大正方形的面积,求出其边长,再求出这个大正方形周长。
大正方形的面积就是拼成大正方形的8个图形的面积之和:
8×4+4×4×7=144(平方厘米)。
对144分解因数:
144=12×12,即正方形的边长为12。
所以正方形的周长为:
12×4=48(厘米)。
解法二:
按题中条件,剪出一个长8厘米、宽4厘米的长方形与7个边长为4厘米的正方形,让孩子拼一拼,拼出一个正方形,如下图:
根据拼成的图形,很容易求出大正方形的周长为:
(8+4)×4=48(厘米)或4×3×4=48(厘米)。
《奥赛天天练》第29讲,模仿训练,练习2
【题目】:
把一个正方形分成甲、乙两部分,比较甲、乙两部分周长的长短,求出乙的周长。
【解析】:
如下图二,把原图中,乙图凹进去的四条线段平移出来,正好与外围四条线段围成了一个正方形与原正方形重合,乙图的周长就等于原正方形的周长:
5×4=20。
如上图三,把原图中,甲图凹进去的两条线段平移出来,正好与外围四条线段围成了一个长方形,甲图的周长就等于这个长方形的周长。
通过对比,这个长方形的每条边长都小于5,所以甲图的周长比乙图的周长要短。
《奥赛天天练》第29讲,巩固训练,习题1
【题目】:
一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形,每个长方形的周长是14厘米。
原正方形的周长是多少厘米?
【解析】:
解题的关键是充分利用图形中隐藏的条件:
正方形四边相等,正方形的边长既等于被分成的长方形的长,又等于这个长方形的宽的6倍。
所以被分成的长方形的长是宽的6倍。
如果把长方形宽的长度看着1份,长就是6份,周长就是14份,则小长方形的宽为:
14÷(1+6+1+6)=1(厘米);长为:
1×6=6(厘米)。
所以原正方形的周长:
6×4=24(厘米)。
《奥赛天天练》第29讲,巩固训练,习题2
【题目】:
下图是由4个一样的长方形和1个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形,每个长方形的长与宽各是多少分米?
周长是多少分米?
【解析】:
仔细观察图形,认真审题,是解题的前提。
从图中可以看出:
长方形的长与宽的和就是大正方形的边长为11分米;长方形的长与宽的差就是小正方形的边长为4分米。
根据和差问题的数量关系,可以求出长方形的长、宽和周长。
长方形的长是:
(11+4)÷2=7.5(分米);
长方形的宽是:
(11-4)÷2=3.5(分米);
长方形的周长是:
(7.5+3.5)×2=22(分米)。
《奥赛天天练》29讲,拓展提高,习题1
【题目】:
由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形,如果这个图形的面积是400平方厘米,它的周长是多少厘米?
【解析】:
每个小正方形的面积为:
400÷16=25(平方厘米)。
把25分解因数:
25=5×5,即每个小正方形的边长为5厘米。
如果把小正方形的边长看着1个单位长度。
通过平移,题中图形的周长就相当于一个长为7个单位长度,宽为4个单位长度的长方形周长,再加上4条长为3个单位长度的线段的长度。
原图形的周长为:
(4+7)×2+3×4=34(份);34×5=170(厘米)。
另:
也可以直接数出题中图形的周长是由34个小正方形边长围成。
《奥赛天天练》第29讲,拓展提高,习题2
【题目】:
求下面这个图形(每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心,且边相互平行)的周长?
【解析】:
如下图,把原图形外周围凹进行的线段平移出来,围成了一个正方形,原图形周长就等于下图围成的正方形的周长。
从图中可以看出这个围成的大正方形的边长就等于1个小正方形的边长加上小正方形边长一半的7倍。
这个大正方形的边长为:
2+2÷2×7=9(厘米)。
所以原图形的周长就等于:
9×4=36(厘米)。
例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米,DG=4厘米,求阴影部分的面积。
分析与解:
组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和,因为CG部分重合了。
用组合图形的周长减去DG,就得到大、小正方形边长之和的三倍,所以两个正方形的边长之和等于(52-4)÷3=16(厘米)。
又由两个正方形的边长之差是4厘米,可求出
大正方形边长=(16+4)÷2=10(厘米),
小正方形边长=(16-4)÷2=6(厘米)。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积,就得到阴影部分的面积。
102+62-(10×10÷2)-(10+6)×6÷2=38(厘米2)。
例3如左下图所示,一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2,在底边上任意取一点,这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。
求a+b的长。
分析与解:
a,b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。
连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点,把等腰三角形分为两个小三角形,它们的底都是20厘米,高分别为a厘米和b厘米(见右上图)。
大三角形的面积与a,b的关系就显露出来了。
根据三角形的面积公式,两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。
因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积,所以有
20×a÷2+20×b÷2=140,
10×(a+b)=140,
a+b=14(厘米)。
例5一个正方形,将它的一边截去15厘米,另一边截去10厘米,剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2,求剩下的长方形的面积。
分析与解:
根据已知条件画出下页左上图,其中甲、乙、丙为截去的部分。
由左上图知,丙是长15厘米、宽10厘米的矩形,面积为15×10=150(厘米2)。
因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长,乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长,所以可将两者拼成右上图的矩形。
右上图矩形的宽等于10+15=25(厘米),长等于原正方形的边长,面积等于
(甲+丙)+(乙+丙)
=甲+乙+丙)+丙
=1725+150
=1875(厘米2)。
所以原正方形的的边长等于1875÷25=75(厘米)。
剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900(厘米2)。
例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片,放在一个正方形盒的底部,它们之间互相叠合(见右图)。
已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10,求正方形盒子底部的面积。
分析与解:
把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。
由于三个正方形纸片面积相等,所以原题图可以转化成下页右上图。
此时露出的黄、绿两部分的面积相等,都等于
(14+10)÷2=12。
因为绿:
红=A∶黄,所以
绿×黄=红×A,
A=绿×黄÷红
=12×12÷20=7.2。
正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。
练习20
1.等腰直角三角形的面积是20厘米2,在其中做一个最大的正方形,求这个正方形的面积。
2.如左下图所示,平行四边形ABCD的周长是75厘米,以BC为底的高是14厘米,以CD为底的高是16厘米。
求平行四边形ABCD的面积。
3.如右上图所示,在一个正方形水池的周围,环绕着一条宽2米的小路,小路的面积是80米2,正方形水池的面积是多少平方米?
4.如右图所示,一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分,它们的面积差是28厘米2,梯形的上底长是多少厘米?
5.如下图,在三角形ABC中,BD=DF=FC,BE=EA。
若三角形EDF的面积是1,则三角形ABC的面积是多少?
第21讲用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(厘米2)
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变
1.左下图中,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米,以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?
2.右上图(单
影部分的面积和。
第22讲用割补法求面积
在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积:
分析与解:
(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
(2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
分析与解:
因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。
所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧(见下图),直角边长4厘米,求图中阴影部分的面积。
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